Слово Как написать разложение вектора по трем векторам - однокоренные слова и морфемный разбор слова (приставка, корень, суффикс, окончание):

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Теорема. Любой вектор m может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых некомпланарных векторов а, b и с:

Прежде всего отметим, что никакие два вектора из векторов а, b, с не коллинеарны; в противном случае векторы а, b, с были бы компланарны. Поэтому, если вектор m компланарен с какими-нибудь двумя векторами (например, с а и b), то m = ха + уb и, следовательно,

т. е. в этом случае теорема доказана.

Пусть вектор m не компланарен ни с какими двумя векторами из векторов а, b, с (рис. 30).

Приведем все векторы к общему началу О и проведем через точку М (конец направленного отрезка, изображающего вектор \(\overrightarrow\) = т) прямую, параллельную вектору с. Эта прямая пересечет плоскость ОАВ в некоторой точке N. Ясно, что

\(\overrightarrow\) = \(\overrightarrow\) + \(\overrightarrow\).

По свойству коллинеарных векторов \(\overrightarrow\) = zc.

По теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам существуют числа х, у такие, что \(\overrightarrow\) = ха + уb.

\(\overrightarrow\) = \(\overrightarrow\) + \(\overrightarrow\) = xa + yb + zc.

Единственность разложения вектора т по векторам а, b и с: доказывается аналогично тому, как это было сделано в теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Базисом пространства называются любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Числа х, у и z называются координатами вектора а в данном базисе. В этом случае пишут а = (х; у; z).

Из \(\Delta\)AKL имеем \(\overrightarrow\) = \(\overrightarrow\) + \(\overrightarrow\), но

Задача 2. Пусть векторы \(\overrightarrow\), \(\overrightarrow\), \(\overrightarrow\), изображенные соответствующими направленными ребрами треугольной пирамиды ABCD, образуют базис. Найти координаты вектора \(\overrightarrow\) в этом базисе.

Воспользуемся рис. 29a.

откуда \(\overrightarrow\) = (- 1; 1; 0).

Источник

Урок «Разложение вектора по трём некомпланарным векторам»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Если вектор представлен в виде

Докажем теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Отметим произвольную точку О и отложим от нее векторы. Через точку Р проведем прямую параллельную ОС. Р1 точка пересечения прямой с плоскостью АОВ (если Р принадлежит ОС, то в качестве Р1 возьмем точку О). Через Р1 проведем прямую Р1Р2 параллельную ОВ; Р2 точка пересечения этой прямой с ОА (если Р1 принадлежит ОВ то в качестве Р2 возьмем точку О);

2) По правилу многоугольника

Заметим, что векторы ОР2 и ОА, Р2Р1 и ОВ. Р1Р и ОС коллинеарны. Значит, существуют такие числа x, y и z, что. Получаем, что

Существование разложения доказано.

Докажем единственность коэффициентов разложения. Допустим, что имеется ещё одно разложение вектора р;

Вычитая это равенство из ; получим

Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.

По правилу параллелепипеда вектор ВД1 равен сумме векторов ВА, ВС и ВВ1.

Решим эту же задачу под буквой б. Здесь нужно разложить вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1.

По правилу треугольника из треугольника А1В1D1:

Источник

Геометрия

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Разложение векторов

Заметим, что если два вектора a и b коллинеарны, то обязательно найдется такое число k, для которого будет справедливо равенство:

Длина а составляет 6 клеток, а длина b – 9 клеток, при этом они сонаправлены. Получается, что b длиннее a в 9/6 = 1,5 раза, а потому можно записать:

Мы смогли выразить b через а. Иначе можно сказать, что мы разложили вектор b по вектору a. Можно и наоборот, выразить b через a:

Теперь посмотрим на вектора с и d. Их длины составляют 4 и 8 клеток, то есть отличаются в 2 раза, при этом они противоположно направлены. Поэтому эти вектора можно выразить так:

Обратите внимание, что выразить, например, а через с не удастся. Действительно, предположим, что есть такое число k, что

Тогда, по определению операции умножения вектора на число, вектора а и c должны быть коллинеарными, но они таковыми не являются.

Вектор можно раскладывать не на один, а на два вектора, которые ему не коллинеарны. Покажем это на примере:

Здесь вектора р, а и b не коллинеарны, при этом р выражен через а и b:

В данном случае говорят, что р разложен на вектора а и b, а числа 2 и 4 именуют коэффициентами разложения.

Верно следующее утверждение:

Продемонстрируем, как можно осуществить такое разложение. Пусть заданы вектора с, а и b, и требуется разложить c на а и b:

На первом шаге просто отложим все три вектора от одной точки. Далее построим прямые, проходящие через вектора а и b:

Далее через конец вектора с проведем прямые, параллельные построенным на предыдущем шаге прямым. В результате у нас получится некоторый параллелограмм АВСD:

Заметим, что вектор с оказался диагональю в этом параллелограмме. Тогда, согласно правилу параллелограмма, можно записать:

Ясно, что вектора АВ и b коллинеарны, так как лежат на одной и той же прямой. Тогда найдется такое число k, для которого будет верно отношение:

Конкретно в данном случае видно по рисунку, что АВ вдвое длиннее вектора b, поэтому

Аналогично коллинеарными являются вектора а и АD, поэтому существует число m, при котором справедливо равенство:

Понятно, что числа k и m определяются единственным образом. В общем случае они могут быть не только целыми, но и дробными (в том числе иррациональными) и даже отрицательными числами. Проще говоря, они могут быть любыми действительными числами.

Задание. Найдите коэффициенты разложения вектора d на вектора e и f:

Решение. Отложим все три вектора от одной точки. Далее проведем прямые, на которых лежат вектора e и f:

Теперь через конец d проводим ещё две прямые, параллельные двум уже построенным прямым, и в результате получаем параллелограмм:

Вектор d можно представить в виде суммы:

Особняком стоит случай, когда раскладываемый вектор коллинеарен одному из тех векторов, на которые он раскладывается. В этом случае один из коэффициентов разложения оказывается равным нулю. Например, пусть с надо разложить на а и b:

Строить параллелограмм в данном случае не нужно. Так как а и с коллинеарны, то найдется некоторое число k, при котором будет выполняться равенство:

Координаты векторов

Из курса алгебры нам известна прямоугольная система координат. В ней есть оси Ох и Оу, а каждая отмеченная на плоскости точка имеет свои координаты:

Естественно, что на координатной плоскости можно отметить и вектора. Построим два вектора, которые начинаются в начале координат, имеют длину, равную единице, и направление которых совпадает с направлениями осей координат. Тот вектор, который лежит на оси Ох, обозначают буквой i, а тот, который лежит на оси Оу, обозначают как j.

Эти вектора называют единичными векторами, или ортами (ещё используется термин координатный вектор). Они не коллинеарны друг другу, а это означает, что любой вектор на плоскости можно разложить на единичные вектора. Коэффициенты такого разложения как раз и являются координатами вектора.

Посмотрим на примере, как находить координаты вектора. Пусть задан вектор а:

Нам надо разложить а по векторам i и j. Для этого их следует отложить от одной точки. Удобно перенести вектор а к началу координат:

Теперь надо через конец а провести прямые, параллельные векторам iи j. В результате получится прямоугольник АВСD:

Можно записать равенство:

Значит, и координаты данного вектора – это числа 3 и 2. Записывается это так:

Обратите внимание, что порядок чисел в скобках принципиально важен. Первое число – это коэффициент разложения, стоящий перед вектором i. Эту координату можно называть координатой х (по аналогии с координатами точек). Второе число – это коэффициент при векторе j, оно является координатой у. Также заметим очевидный факт, что координаты равных векторов одинаковы.

В приведенном выше примере легко заметить, что после того, как мы перенесли вектор в начало координат, координаты его конца (он обозначен точкой С) совпали с координатами самого вектора. Действительно, точка С имеет координаты (3; 2).

Это правильно несколько упрощает определение координат вектора. Достаточно просто отложить вектор от точки начала координат, после чего посмотреть на координаты его конечной точки. Отметим, что вектор, чье начало совпадает с началом координат, имеет особое название – радиус-вектор.

Задание. Определите координаты векторов a, b, c и d, отмеченных на рисунке:

Решение. Во всех случаях будем просто переносить вектора к началу координат, получая радиус вектора. Далее будем просто смотреть, каковы координаты конца радиус-вектора. Начнем с а:

После переноса а его конец оказался в точке А(4; 3), поэтому и координаты всего вектора можно записать так:

После переноса вершина радиус-вектора попала в точку B (1; – 3), поэтому вектор имеет координаты <1; – 3>.

Выполним построение и для с:

Конец вектора попал в точку С (3,5; 0), а потому и координаты вектора составляют <3,5; 0>.

Осталось рассмотреть d:

Здесь координаты вектора будут равны <– 2,5; – 2,5>, так как такие же координаты имеет точка D.

Рассмотрим решение обратной задачи, в которой необходимо построить вектор по заранее заданным координатам.

Задание. Даны координаты вектора:

Постройте по три вектора, имеющие заданные координаты.

Решение. Проще всего построить радиус-вектор, вершина которого будет иметь те же координаты, что и требуемый вектор:

Чтобы построить ещё два вектора с такими же координатами, надо просто отложить уже построенный вектор от любых других точек:

Аналогично поступаем и во второй задаче – сначала откладываем радиус-вектор с заданными координатами, а потом добавляем ещё два равных ему вектора, отложенных от других точек:

Отдельно отметим нулевой вектор. Очевидно, что все его координаты равны нулю, так как для него можно записать такое разложение на орты:

Также можно сказать, что если отложить нулевой вектор от начала координат, то его конец также будет находиться в начале координат (так как у нулевого вектора начало и конец совпадают), то есть в точке с координатами (0; 0).

Сложение и вычитание векторов

Пусть у нас есть векторы a1; у₁> и b2; у₂>. Можно ли, зная только их координаты, определить их сумму и разность? Оказывается, можно. Действительно, по определению координат векторов (напомним, они являются коэффициентами разложения вектора на орты) можно записать:

Эта запись означает, что с имеет координаты <х₁ + х₂; у₁ + у₂>. В результате мы можем сформулировать правило сложения векторов:

Проиллюстрируем правило на примере. Пусть надо сложить вектора а <2; 3>и b <4; 5>. Понятно, что в результате получится новый вектор, который мы обозначим как с <х; у>. Чтобы найти его первую координату, надо сложить первые координаты векторов a и b:

Для нахождения второй координаты складываем соответственно вторые координаты векторов:

В итоге получился вектор с <6; 8>.

Задание. Сложите вектора, имеющие координаты:

Решение. Сначала просто складываем первые числа в скобках (и получаем координату х), а потом – вторые (и получаем координату у):

Теперь попытаемся понять, как вычислять разность двух векторов. Пусть есть вектора с заранее заданными координатами a1; у₁> и b2; у₂>. Снова запишем их разложение на единичные вектора:

Теперь мы можем сформулировать правило вычитания векторов:

Например, пусть надо вычесть из вектора а <5; 3>вектор b<2;1>. Искомая разность будет представлять собой вектор, чья координата х будет равна разности первых координат векторов а и b:

Аналогично вычисляем и координату у:

В итоге получили вектор с координатами <3; 2>.

Задание. Вычтите из вектора а вектор b, если известны их координаты:

Решение. Во всех случаях мы сначала из первой координаты вектора а вычитаем первую координату b, в результате чего получаем координату х искомого вектора. Далее повторяем процесс со второй координатой (то есть с у):

Далее рассмотрим такую операцию, как умножение вектора на число. Снова запишем, что вектор а с координатами х₁и у₁ можно разложить на орты следующим образом:

Это означает, что при умножении вектора на число надо просто умножить на это число каждую его координату.

Например, есть вектор а<3; 7>, который надо умножить на 5. Умножим на 5 по отдельности каждую координату:

В результате получился вектор <15; 35>.

Задание. Умножьте вектор а на число k, если известно, что:

Решение. Надо всего лишь умножить каждую координату а на число k, и таким образом получить новые координаты:

Признак коллинеарности векторов

Напомним, что если два вектора (обозначим их как a и b) коллинеарны, то обязательно существует такое число k, что

Из равенства (1) и рассмотренного нами правила умножения вектора на число вытекают два соотношения между этими координатами:

Если числа х₂ и у₂ не равны нулю, то можно выразить из каждого уравнения число k, после чего выражения можно будет приравнять:

Получили соотношение, которое можно считать свойством коллинеарных векторов. Это правило работает и в обратную сторону – если координаты векторов удовлетворяют выведенному отношению, то можно смело утверждать, что вектора – коллинеарны.

Примечание. Формулировка «тогда и только тогда» означает, что правило действует в обе стороны – из пропорциональности координат следует коллинеарность векторов, а из коллинеарности векторов следует пропорциональность координат.

Покажем, как пользоваться этим признаком коллинеарности векторов. Пусть вектор а имеет координаты <8; 5>, а у вектора b они равны <24; 15>. Нам надо определить, коллинеарны ли они. Для этого поделим друг на друга их координаты х:

Получили число 3. Далее поделим и координаты у:

Снова получили тройку. То, что в обоих случаях получилось одно и тоже число, указывает на то, что вектора коллинеарны. Более того, можно даже записать, что вектор b втрое больше a:

В данном примере мы делили координаты второго вектора b на координаты первого вектора a. Но можно было поступить и наоборот, делить координаты а на координаты b:

Естественно, снова получилось одинаковое число.

Особняком стоит случай, когда одна из координат вектора равна нулю. Например, пусть вектор имеет координаты <0; у₁>, причем у₁≠ 0. Любой коллинеарный ему вектор можно получить, умножив вектор на какое-то число k. В этом случае его координаты 2; у₂> составят:

Получается, что и у коллинеарного вектора координата х обязательно будет равняться нулю. В свою очередь координаты у₂ и у₁ могут быть любыми, ведь мы всегда можем найти такое число k, для которого будет выполняться условие

Например, есть вектор <0; 5>. Можно сказать, что ему будет коллинеарен любой вектор, у которого первая координата также равна нулю, в частности,

Но любой вектор, у которого координата х НЕ равна нулю, НЕ будет коллинеарен вектору <0; 5>. В частности, ему не будут коллинеарны вектора:

Аналогичная логика действует и тогда, когда нулю равна не координата х, а координата у.

Если же у вектора обе координаты равны нулю, то он является нулевым вектором, то есть точкой. Напомним, что такой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

Задание. Определите, являются ли коллинеарными два вектора, если их координаты равны:

Решение. В первых пяти случаях все координаты – ненулевые, а поэтому надо просто проверить их пропорциональность. Для этого надо делить координаты друг на друга:

Числа различны, поэтому вектора НЕ коллинеарны.

В следующих примерах как минимум одна из координат равна нулю, поэтому делить координаты уже не нужно.

У обоих векторов координаты х нулевые, этого достаточно, чтобы утверждать, что они коллинеарны.

У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

Здесь у первого вектора нулю равна координата х, а у второго она ненулевая, поэтому вектора не коллинеарны.

Здесь имеет место особый случай, ведь первый вектор – нулевой, то есть представляющий собой точку. Считается, что он коллинеарен любому вектору, поэтому в данном примере вектора коллинеарны.

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) да; ж) нет; з) да; и) нет; к) да.

Пока что мы рассматривали задачи, в которых фигурируют только вектора. Однако в будущем мы научимся с помощью метода координат решать и другие задачи, в которых рассматриваются отрезки, треугольники, окружности и прочие геометрические фигуры.

Источник

5.6.5 Компланарные векторы. Разложение по трём некомпланарным векторам

Видеоурок: Компланарные векторы

Лекция: Компланарные векторы. Разложение по трём некомпланарным векторам

Компланарные векторы

Если некоторые векторы принадлежат одной плоскости или параллельны ей, то их называют компланарными векторами.

Смешанное произведение – это значение определителя, состоящего из этих векторов:

Разложение по трём некомпланарным векторам

Х, у, z – это коэффициенты.

Получившиеся три вектора будут выходить из начала координат и будут направлены вдоль трех осей.

Оставить комментарий

Три документа, с изучения которых следует начать подготовку к ЕГЭ и ОГЭ 2019:

Официальный канал нашего сайта в Telegram.
Новости в сфере образования
Объяснение различных тем
Помощь в подготовке

Источник

10 класс. Геометрия. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Задачи.

10 класс. Геометрия. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Задачи.

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

1. Основные определения по теме векторы

Опре­де­ле­ние:

Век­то­ром на­зы­ва­ет­ся на­прав­лен­ный от­ре­зок. У век­то­ра точка А – на­ча­ло век­то­ра, точка В – конец.

Для век­то­ра важна не толь­ко длина, но и на­прав­ле­ние.

Опре­де­ле­ние:

Кол­ли­не­ар­ны­ми на­зы­ва­ют век­то­ры, при­над­ле­жа­щие одной и той же или па­рал­лель­ным пря­мым.

Кол­ли­не­ар­ные век­то­ры могут быть со­на­прав­лен­ны­ми и про­ти­во­на­прав­лен­ны­ми.

Опре­де­ле­ние:

Рав­ны­ми на­зы­ва­ют кол­ли­не­ар­ные со­на­прав­лен­ные век­то­ры, длины ко­то­рых равны.

Любой век­тор можно един­ствен­ным об­ра­зом от­ло­жить от про­из­воль­ной точки.

Для сло­же­ния век­то­ров при­ме­ня­ют­ся пра­ви­ла тре­уголь­ни­ка, па­рал­ле­ло­грам­ма, мно­го­уголь­ни­ка и па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

При умно­же­нии век­то­ра на по­ло­жи­тель­ное число его длина умно­жа­ет­ся на это число, а на­прав­ле­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным. При умно­же­нии век­то­ра на от­ри­ца­тель­ное число его длина умно­жа­ет­ся на это число, а на­прав­ле­ние ме­ня­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ное.

Новым для век­то­ров в про­стран­стве от­но­си­тель­но век­то­ров на плос­ко­сти яв­ля­ет­ся по­ня­тие ком­пла­нар­но­сти.

Опре­де­ле­ние:

Век­то­ры на­зы­ва­ют­ся ком­пла­нар­ны­ми, если при от­кла­ды­ва­нии их от одной и той же точки они будут ле­жать в одной плос­ко­сти.

2. Разложение вектора на плоскости и в пространстве

Мы знаем, что если за­да­ны два некол­ли­не­ар­ных век­то­ра на плос­ко­сти, то любой тре­тий век­тор на той же плос­ко­сти можно од­но­знач­но раз­ло­жить по этим век­то­рам (рис. 1, 2):

Рис. 1. Век­то­ры на плос­ко­сти

Рис. 2. Раз­ло­же­ние век­то­ра через два некол­ли­не­ар­ных

Дан­ный факт легко до­ка­зы­ва­ет­ся. Пусть . Из точки С про­во­дим пря­мую CB, па­рал­лель­но век­то­ру . По­лу­ча­ем век­тор , кол­ли­не­ар­ный век­то­ру . Ана­ло­гич­но из точки С про­во­дим пря­мую CА, па­рал­лель­но век­то­ру . По­лу­ча­ем век­тор , кол­ли­не­ар­ный век­то­ру . Это озна­ча­ет, что су­ще­ству­ют такие два числа х и у, при­чем един­ствен­ные, что:

Во­прос на по­ни­ма­ние ком­пла­нар­но­сти век­то­ров. Если век­тор можно пред­ста­вить в виде , где х и у – кон­крет­ные числа, то век­то­ры и ком­пла­нар­ны.

Если за­да­ны три неком­пла­нар­ных век­то­ра, то мы можем од­но­знач­но раз­ло­жить любой за­дан­ный чет­вер­тый век­тор через три за­дан­ных. На­при­мер, за­да­ны неком­пла­нар­ные век­то­ры и . Тогда любой век­тор можно пред­ста­вить в виде суммы: , где х, у и z – кон­крет­ные числа, при­чем для за­дан­но­го век­то­ра един­ствен­ные. Эти числа на­зы­ва­ют­ся ко­эф­фи­ци­ен­та­ми раз­ло­же­ния.

3. Решение задачи на разложение вектора по трем некомпланарным

За­да­ча 1: дан куб с реб­ром m. Точка К – се­ре­ди­на ребра . Раз­ло­жить век­тор по век­то­рам и найти его длину.

Ре­ше­ние: по­стро­им за­дан­ный куб (рис. 3).

Рис. 3. Куб, за­да­ча 1

Век­то­ра­ми и за­да­ет­ся плос­кость квад­ра­та . Тре­тий век­тор не лежит в этой плос­ко­сти, от­сю­да за­клю­ча­ем, что три за­дан­ных век­то­ра , и неком­пла­нар­ны, и мы можем вы­ра­зить через них ис­ко­мый век­тор . Най­дем век­тор по пра­ви­лу мно­го­уголь­ни­ка. Оче­вид­но, что в дан­ной за­да­че для этого есть мно­же­ство спо­со­бов, но мы вы­би­ра­ем самый ко­рот­кий путь: . век­тор мы по усло­вию обо­зна­чи­ли как век­тор . Век­тор со­глас­но свой­ствам куба равен век­то­ру , обо­зна­чен­но­му за век­тор .

век­тор со­став­ля­ет по­ло­ви­ну век­то­ра , так как точка К – се­ре­ди­на ребра по усло­вию: . Век­тор со­глас­но свой­ствам куба, равен век­то­ру , обо­зна­чен­но­му как век­тор . Имеем:

Так, за­дан­ный век­тор вы­ра­жен через три неком­пла­нар­ных век­то­ра. Оста­лось найти его длину. Здесь нужно при­ме­нить тео­ре­му Пи­фа­го­ра. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник . Он пря­мо­уголь­ный по­то­му, что ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но всей плос­ко­сти ос­но­ва­ния , зна­чит и любой пря­мой в этой плос­ко­сти, зна­чит пря­мой . Один из ка­те­тов равен m как ребро куба. Катет най­дем из дру­го­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка – , где он уже яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой. Здесь катет равен m как ребро куба. Катет равен , так как точка К – се­ре­ди­на ребра . Имеем:

Вер­нем­ся к пер­во­му тре­уголь­ни­ку:

4. Задача на усвоение понятия компланарности

За­да­ча 2: век­то­ры , и ком­пла­нар­ны. Ком­пла­нар­ны ли век­то­ры , и ? Ком­пла­нар­ны ли век­то­ры ?

Ре­ше­ние: тот факт, что век­то­ры , и ком­пла­нар­ны, озна­ча­ет, что, бу­дучи от­ло­жен­ны­ми от одной точки, они рас­по­ло­же­ны в одной плос­ко­сти (ри­су­нок 4.а). Это зна­чит, что один из век­то­ров, на­при­мер, век­тор , можно од­но­знач­но раз­ло­жить по двум дру­гим: . Оче­вид­но, что век­то­ры , и тоже ком­пла­нар­ны, т. к. умно­же­ние век­то­ра на по­ло­жи­тель­ное число не ме­ня­ет его на­прав­ле­ния, а ме­ня­ет толь­ко длину, и век­то­ры оста­нут­ся в той же плос­ко­сти (ри­су­нок 4.б).

Оче­вид­но, что трой­ка век­то­ров также ком­пла­нар­на, по­то­му что вся­кая ли­ней­ная ком­би­на­ция ком­пла­нар­ных век­то­ров есть век­тор, им ком­пла­нар­ный. Мы имеем три век­то­ра, ком­пла­нар­ных за­дан­ным век­то­рам, оче­вид­но, что они ком­пла­нар­ны между собой.

Итак, мы вспом­ни­ли все ос­нов­ные опре­де­ле­ния и тео­ре­мы ка­са­тель­но век­то­ров в про­стран­стве, по­дроб­но оста­но­ви­лись на по­ня­тии ком­пла­нар­но­сти век­то­ров и рас­смот­ре­ли ти­по­вые за­да­чи на эту тему.

Источник