Деление двузначных, трехзначных и многозначных чисел столбиком
В данной публикации мы рассмотрим правила и практические примеры того, каким образом натуральные числа (двузначные, трехзначные и многозначные) можно делить столбиком – с остатком и без него.
Правила деления в столбик
Без остатка
Чтобы найти частное от деления одного числа на другое (с любым количеством разрядов) можно выполнить это арифметическое действие в столбик.
Рассмотрим правила деления на практическом примере для лучшего понимания. Допустим, нам нужно трехзначное число разделить на однозначное, к примеру 256 на 8. Вот, что мы делаем:
1. Пишем делимое (256), затем немного отступаем от него и в этой же строке дописываем делитель (8). Затем между этими числами дорисовываем уголок. Результат будем записывать под делителем.
2. В делимом слева направо отсчитываем минимально необходимое количество разрядов таким образом, чтобы полученное из содержащихся в них цифр новое число было больше, чем делитель. В нашем случае числа 2 недостаточно, поэтому к нему добавляем 5 и в итоге получаем 25.
Примечание: Если крайняя левая цифра делимого больше делителя, добавлять к нему цифру следующего разряда не нужно, и мы сразу приступаем к следующему шагу.
3. Определяем, сколько целых раз наш делитель содержится в полученном из цифр делимого числе (25). В нашем случае – три раза. Пишем цифру 3 в отведенном для этого месте, затем умножаем ее на делитель Получившееся число (24) отнимаем из 25 и остается единица. Важно, чтобы результат вычитания (остаток) обязательно был меньше делителя, иначе мы неправильно выполнили вычисления.
Примечание: Правила и примеры вычитания чисел столбиком приведены в отдельной публикации.
4. К остатку (1) добавляем следующую цифру делимого (6), чтобы получить новое число, которое снова больше, чем делитель.
Примечание: Если при добавлении следующей цифры образовавшееся новое число все еще меньше делителя, берем еще одну цифру справа (если есть такая возможность), при этом в частном пишем ноль. В противном случае, получается деление с остатком, которое мы рассмотрим далее.
На этом деление столбиком числа 256 на 8 успешно выполнено, и частное равно 32.
С остатком
В целом, алгоритм действий аналогичен вышеописанному. Разница лишь в том, что при последнем вычитании остается неделимой остаток, к которому больше нечего дописывать из делимого, т.к. все его разряды уже были использованы. Остаток обычно записывается справа от результата в скобках.
Например, остаток от деления 112 на 5 равняется двум. То есть
Пояснение: в результате вычитания 10 из 12 получается 2, но к нему больше нечего дописать из делимого.
Примеры деления в столбик
Пример 1
Разделим трехзначное число на двузначное, например 378 на 21.
Пример 2
Найдем частное от деления чисел 1537 и 35.
Пояснение: в данном случае в делимом нужно сразу отсчитать слева не две, а три цифры, т.к. числа 1 и 15 меньше 35.
Деление в столбик с остатком – проверка чисел
Деление – это естественная часть реальной жизни. Без деления не обойтись обычной торговой сделке в продуктовом магазине и программистам в их работе. Но реальный мир не совершенен, поэтому далеко не всегда удается нацело разделить число, именно о таких случаях сегодня пойдет речь.
Деление
Что такое деление? Деление – это процедура, обратная умножению. Деление показывает, сколько раз в делимом повторяется число делителя. Если мы 30 поделим на 6, то узнаем, что для получения числа 30 пришлось 5 раз сложить число 6. Или же число 6 умножить на 5.
Деление с остатком
Деление с остатком подразумевает, что нацело число поделить не удалось и осталась какая-то часть, которая меньше делителя и которую разделить нельзя.
Где это может пригодиться в реальной жизни? Представим себе вполне реальную ситуацию: мы покупаем в магазине конфеты батончики по 38 рублей. Всего у нас 200 рублей, сколько сдачи нам должны дать?
Очевидно, что ровное количество конфет купить не получится, поскольку 200 на 38 нацело не поделится, но и конфету пилить в магазине не будут. Значит, остаток от 200 нам должны будут вернуть в виде сдачи.
$200:38=5 (ост.10)$ – именно 10 рублей остатка и будут сдачей, которую нам должны вернуть.
Долгое время только такие вычисления и производились, до тех пор, пока не возникла надобность в точных расчетах. Тогда на смену делению с остатком пришли десятичные дроби.
Деление в столбик
Но случаются ситуации, когда числа значительно больше, и в уме такие операции выполнить не получится. В этом случае пригодится деление в столбик с остатком. Запись в столбик предполагает запись делимого, вертикальную черту, которая делится пополам горизонтальной чертой, уходящей вправо. Над чертой записывается делитель, а под чертой пишется результат.
Приведем пример деления большого числа с остатком.
Для этого решим задачу.
Геннадий готовится к дальнему походу. В качестве съестного припаса он решил накупить тушенки. Бюджет, отведенный на эту статью, составляет 13800 рублей. Банка тушенки, подходящей под запросы Геннадия стоит 47 рублей. Сколько банок сможет купить Геннадий?
Записываем рядом с 2 и 4 цифру 3, а под 170 подписываем 141.
Это число поделить на 47 не получится, значит именно столько и останется у Геннадия после посещения супермаркета.
Для проверки результатов деления столбиком с остатком, нужно результат умножить на делитель, а после прибавить остаток. Если получившееся число равняется делимому, то все выполнено верно.
Что мы узнали?
Мы узнали, как производится процедура деления в столбик с остатком. Разобрались, в каких случаях стоит использовать эту процедуру, и привели пример.
Деление с остатком
Начнём рассмотрение новой темы с решения задачи.
Мама принесла 8 конфет и разделила их поровну между двумя детьми. Сколько конфет получил каждый?
Каждый ребёнок получил по 4 конфеты.
На следующий день мама опять принесла 8 конфет, но в гостях у её детей была ещё одна подружка. Мама опять разделила конфеты поровну, но уже между тремя детьми. Сколько конфет получил каждый ребёнок?
Каждый получил по 2 конфеты и 2 конфеты остались лишними.
Как сделать проверку?
Правило 1
Деление с остатком — это деление одного числа на другое, при котором остаток не равен нулю.
Правило 2
При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.
Порядок решения
1. Нахожу наибольшее число до 14, которое делится на 5 без остатка. Это число 10.
2. Вычитаю из делимого найденное число: 14 − 10 = 4
3. Сравниваю остаток с делителем
Проверка деления с остатком
1. Умножаю неполное частное на делитель.
2. Прибавляю остаток к полученному результату.
3. Сравниваю полученный результат с делимым, он должен быть МЕНЬШЕ.
Деление в столбик
В 23 содержится 5 раз по 4, и ещё остаётся 3.
Решение записывают так:
23 : 4 = 5 (ост. 3) или так:
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Деление с остатком
Не всегда можно полностью разделить одно число на другое. В примерах на деление может оставаться остаток. Такое деление называется деление с остатком.
Деление с остатком — это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.
Если при делении натуральных чисел остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, или, иначе говоря, делится нацело.
Деление с остатком записывают так:
Читается пример следующим образом:
« 17 » разделить на « 3 » получится « 5 » и остаток « 2 ».
Порядок решения примеров на деление с остатком.
При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.
Если получилось, что остаток больше делителя, значит, вы неверно нашли наибольшее число, которое делится на делитель без остатка.
При решении более сложных примеров не всегда можно легко найти наибольшее число из пункта 1. Иногда для этого необходимо произвести дополнительные расчёты в столбик. Покажем это на примере.
Методом подбора найдём на сколько надо умножить « 27 », чтобы получить ближайшее число к « 190 ».
Попробуем умножить на « 6 ».
Рассчитаем остаток и сравним его с делителем.
Остаток больше делителя. Это означает, что « 6 » как множитель нам не подходит. Попробуем умножить делитель на « 7 ».
Снова рассчитаем и сравним остаток с делителем.
Остаток меньше делителя. Значит пример решён верно. Запишем ответ.
Все вычисления выше можно представить в виде деления в столбик. Правила деления в столбик вы можете освежить в уроке «Деление в столбик» на нашем сайте.
Как проверить деление с остатком
Проверим ответ нашего примера.
Деление с остатком выполнено верно.
Если при делении с остатком делимое меньше делителя, то их неполное частное равно нулю, остаток равен делимому.
Другими словами, если вы делите меньшее число на большее, неполное частное всегда будет равно нулю.
Деление столбиком
Как записывать деление в столбик
Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком.
Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:
За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:
Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:
Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:
Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:
Как делить столбиком
Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:
Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:
это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:
В нашем случае число 78 будет неполным делимым, неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.
Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра — 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.
Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:
Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:
Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.
К получившемуся остатку — 6, сносим следующую цифру делимого — 0. В результате, получилось неполное делимое — 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:
Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное — оно записано под делителем:
Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.
Определяем неполное делимое — это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:
Сносим следующую цифру делимого — 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0 : 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:
Сносим следующую цифру делимого — 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:
Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:
Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:
Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.
Определяем неполное делимое — это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:
Сносим следующую цифру делимого — 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:
Сносим следующую цифру делимого — 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток — 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:
Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:
Деление столбиком с остатком
Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.
Определяем неполное делимое — это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:
Сносим следующую цифру делимого — 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:
Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:
1340 : 23 = 58 (остаток 6).
Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток — 3:
3 : 10 = 0 (остаток 3).