Системы уравнений
Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:
Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.
Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.
Способ подстановки
Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.
Рассмотрим решение системы уравнений:
Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:
Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:
| 3x | — 2y = 16; |
| 3( 2 + 4y ) | — 2y = 16. |
Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.
Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:
x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.
Способ сравнения
Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.
Например, для решение системы:
найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):
Составляем из полученных выражений уравнение:
Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:
Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:
Способ сложения или вычитания
Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.
Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.
Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.
Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:
Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:
Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:
Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.
Системы уравнений: определение, виды, примеры решения
Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.
Определение системы уравнений
Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.
Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.
Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.
Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.
Основные виды систем уравнений
Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.
Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.
При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений
2 x + 0 · y + 0 · z = 11
Третья классификация уравнений – это вид. В школе проходят простые уравнения и системы уравнений, начиная с систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Имеется в виду, что система включает в себя 2 линейных уравнения. Для примера рассмотрим
Это основные простейшие линейные уравнения. Далее можно столкнуться с системами, содержащими 3 и более неизвестных.
В 9 классе решают уравнения с двумя переменными и нелинейные. В целых уравнениях повышается степень для увеличения сложности. Такие системы называют системами нелинейных уравнений с определенным количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим примеры таких систем
Обе системы с двумя переменными и обе являются нелинейными.
При решении можно встретить дробно-рациональные уравнения. Например
Могут называть просто системой уравнений без уточнения, каких именно. Редко уточняют сам вид системы.
Старшие классы переходят к изучению иррациональных, тригонометрических и показательных уравнений. Например,
Высшие учебные заведения изучают и исследуют решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Левая часть таких уравнений содержит многочлены с первой степенью, а правая – некоторые числа. Отличие от школьных в том, что количество переменных и количество уравнений может быть произвольным, чаще всего несовпадающим.
Решение систем уравнений
Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара переменных, которая при подстановке обращает каждое уравнение в верное числовое неравенство, то есть является решением для каждого уравнения данной системы.
Сформулируем определение для систем, содержащих одну и более переменных.
Решение системы уравнений с одной переменной – это значение переменной, которая является корнем уравнений системы, значит, все уравнения будут обращены в верные числовые равенства.
Рассмотрим на примере системы уравнений с одной переменной t
Решение системы с тремя и более переменными называют тройку, четверку и далее значений соответственно, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.
Системы уравнений могут не иметь решений вовсе или иметь бесконечное множество. В этом можно убедиться при углубленном изучении данной тематики. Можно прийти к выводу, что системы уравнений – это пересечение множеств решений всех ее уравнений. Раскроем несколько определений:
Несовместной называют систему уравнений, когда она не имеет решений, в противном случае ее называют совместной.
Неопределенной называют систему, когда она имеет бесконечное множество решений, а определенной при конечном числе решений либо при их отсутствии.
Такие термины редко применяются в школе, так как рассчитаны для программ высших учебных заведений. Знакомство с равносильными системами углубит имеющиеся знания по решению систем уравнений.
Системы уравнений
Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.
Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют « x » и « y »), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Например, система уравнений может быть задана следующим образом.
| x + 5y = 7 |
| 3x − 2y = 4 |
Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и « x », и « y ».
Как решить систему уравнений
Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.
Способ подстановки
или
«железобетонный» метод
Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».
Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.
Разберем способ подстановки на примере.
| x + 5y = 7 |
| 3x − 2y = 4 |
Выразим из первого уравнения « x + 5y = 7 » неизвестное « x ».
Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:
Перенесём в первом уравнении « x + 5 y = 7 » всё что содержит « x » в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.
При « x » стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.
| x = 7 − 5y |
| 3x − 2y = 4 |
Теперь, вместо « x » подставим во второе уравнение полученное выражение
« x = 7 − 5y » из первого уравнения.
| x = 7 − 5y |
| 3(7 − 5y) − 2y = 4 |
Подставив вместо « x » выражение « (7 − 5y) » во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным « y ». Решим его по правилам решения линейных уравнений.
| x = 7 − 5y |
| 3(7 − 5y) − 2y = 4 (*) |
Мы нашли, что « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению « x = 7 − 5y » и вместо « y » подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти « x ». Запишем в ответ оба полученных значения.
| x = 7 − 5y |
| y = 1 |
| x = 7 − 5 · 1 |
| y = 1 |
| x = 2 |
| y = 1 |
Ответ: x = 2; y = 1
Способ сложения
Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.
| x + 5y = 7 |
| 3x − 2y = 4 |
По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.
Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.
При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.
| x + 5y = 7 | (x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4 |
| + => | x + 5y + 3x − 2y = 11 |
| 3x − 2y = 4 | 4x + 3y = 11 |
При сложении уравнений мы получили уравнение « 4x + 3y = 11 ». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.
Вернемся снова к исходной системе уравнений.
| x + 5y = 7 |
| 3x − 2y = 4 |
Чтобы при сложении неизвестное « x » взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при « x » стоял коэффициент « −3 ».
Для этого умножим первое уравнение на « −3 ».
При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.
| x + 5y = 7 | ·(−3) |
| 3x − 2y = 4 |
| x · (−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3) |
| 3x − 2y = 4 |
| −3x −15y = −21 |
| 3x − 2y = 4 |
Теперь сложим уравнения.
| −3x −15y = −21 | (−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4 |
| + => | − 3x − 15y + 3x − 2y = −21 + 4 |
| 3x − 2y = 4 | −17y = −17 |:(−17) |
| y = 1 |
Мы нашли « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо « y » полученное числовое значение и найдем « x ».
| x = 7 − 5y |
| y = 1 |
| x = 7 − 5 · 1 |
| y = 1 |
| x = 2 |
| y = 1 |
Ответ: x = 2; y = 1
Пример решения системы уравнения
способом подстановки
Выразим из первого уравнения « x ».
| x = 17 + 3y |
| x − 2y = −13 |
Подставим вместо « x » во второе уравнение полученное выражение.
| x = 17 + 3y |
| (17 + 3y) − 2y = −13 (*) |
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = −30 » и найдем « x ».
| x = 17 + 3y |
| y = −30 |
| x = 17 + 3 · (−30) |
| y = −30 |
| x = 17 −90 |
| y = −30 |
| x = −73 |
| y = −30 |
Ответ: x = −73; y = −30
Пример решения системы уравнения
способом сложения
Рассмотрим систему уравнений.
| 3(x − y) + 5x = 2(3x − 2) |
| 4x − 2(x + y) = 4 − 3y |
Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.
| 3x − 3y + 5x = 6x − 4 |
| 4x − 2x − 2y = 4 − 3y |
| 8x − 3y = 6x − 4 |
| 2x −2y = 4 − 3y |
| 8x − 3y − 6x = −4 |
| 2x −2y + 3y = 4 |
| 2x − 3y = −4 |
| 2x + y = 4 |
Мы видим, что в обоих уравнениях есть « 2x ». Наша задача, чтобы при сложении уравнений « 2x » взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только « y ».
Для этого достаточно умножить первое уравнение на « −1 ».
| 2x − 3y = −4 | ·(−1) |
| 2x + y = 4 |
| 2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1) |
| 2x + y = 4 |
| −2x + 3y = 4 |
| 2x + y = 4 |
Теперь при сложении уравнений у нас останется только « y » в уравнении.
| −2x + 3y = 4 | (−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4 |
| + => | − 2x + 3y + 2x + y = 4 + 4 |
| 2x + y = 4 | 4y = 8 | :4 |
| y = 2 |
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = 2 » и найдем « x ».
Решение системы уравнений (ЕГЭ 2022)
Решение уравнений и систем уравнений — на самый легкий, но зато универсальный метод решения задач.
Этим методом можно решить буквально любую задачу.
Поэтому им стоит овладеть в совершенстве.
Читай эту статью и ты научишься решать системы уравнений.
Решение систем уравнений — коротко о главном
Определение:
Система уравнений –это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.
Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:
3 метода решения систем уравнений:
А теперь подробнее…
Что такое система уравнений
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.
Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.
Например, ты хочешь сходить на концерт любимой группы вечером. Для этого тебе нужно согласие мамы и папы одновременно. Мама запретит – уже не идешь. ?
Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:
\( \left\< \begin
3 метода решения систем уравнений
1. Метод подстановки
Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной, повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.
2. Графический метод
Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.
Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида \( y=ax+b\)), графиками которых являются прямые.
Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то использовать графический метод не рекомендуется.
3. Метод сложения
Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.
Но ни в коем случае не наоборот:
\( a+c=b+d\text< >\triangleleft \ne \triangleright \text< >\left\< \begin
Решение систем уравнений
Содержание:
Графический метод решения систем уравнений
Вспоминаем то, что знаем
Что такое график уравнения с двумя неизвестными?
Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?
Решите графическим методом систему линейных уравнений:
Открываем новые знания
Решите графическим методом систему уравнений:
Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту
В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.
Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Начнём с графического метода
Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.
Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.
Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Примеры с решением
Пример 1:
Решим систему уравнений:
Построим графики уравнений 
Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).
Парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).
Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.
Пример 2:
Выясним количество решений системы уравнений:
Построим графики уравнений 
Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.
Окружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.
Решение систем уравнений методом подстановки
Вспоминаем то, что знаем
Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.
Решите систему линейных уравнений методом подстановки:
Открываем новые знания
Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?
Решите систему уравнений методом подстановки:
Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?
Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?
Ранее вы решали системы уравнений первой степени.
Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.
Пример 3:
Пусть (х; у) — решение системы.
Выразим х из уравнения 
Подставим найденное выражение в первое уравнение:
Решим полученное уравнение:
Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.
Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.
Пример 4:
Решим систему уравнений:
Пусть (х; у) — решение системы.
Выразим у из линейного уравнения:
Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:
После преобразований получим:
Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».
Пример 5:
Подставим во второе уравнение 
тогда его можно переписать в виде:
Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:
Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:
Корни этого уравнения: 
.
Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.
Пример 6:
Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:
.
Корни этого уравнения: 
Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:
1) 
2) 
, получим уравнение 
корней нет.
Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.
Пример 7:
Решим систему уравнений:
Обозначим 
Второе уравнение системы примет вид:
Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:
Осталось решить методом подстановки линейные системы:
Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями
Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:
1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;
2) решают полученную систему;
3) отвечают на вопрос задачи.
Пример 8:
Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — 
см.
Воспользуемся теоремой Пифагора: 
Решим систему. Выразим из первого уравнения у:
Подставим во второе уравнение:
Корни уравнения: 
Найдём 
С учётом условия 
получим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.
Пример 9:
Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.
Пусть х — первое число, у — второе число.
Тогда: 
— произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.
Вычтем из второго уравнения первое. Получим:
Дальше будем решать методом подстановки:
Подставим в первое уравнение выражение для у:
Корни уравнения: 
(не подходит по смыслу задачи).
Найдём у из уравнения:
Получим ответ: 16 и 7.
Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными
Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение 
симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид 
, то есть не меняется. А вот уравнение 
не симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид 
, то есть меняется.
Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.
Например, если в системе уравнений
переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:
Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.
Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:
Сначала научитесь выражать через неизвестные 
выражения:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.