Число Грэма
Число Грэма (Грехема, англ. Graham’s number ) — большое число, которое является верхней границей для решения определённой проблемы в теории Рамсея. Названо в честь Рональда Грэма (англ.).
Оно стало известно широкой публике после того, как Мартин Гарднер описал его в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в ноябре 1977 года, где было сказано: «В неопубликованном доказательстве Грэм недавно установил … границу настолько большую, что ей принадлежит рекорд как наибольшему числу, когда-либо использовавшемуся в серьёзном математическом доказательстве».
В современных математических доказательствах иногда встречаются числа, ещё много бо́льшие, чем число Грехема, например, в работе с конечной формой Фридмана в теореме Краскала.
Содержание
Проблема Грехема
Число Грехема связано со следующей проблемой в теории Рамсея:
Рассмотрим n-мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 
вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в чёрный цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?
Грехем и Ротшильд в 1971 году доказали, что эта проблема имеет решение, N*, и показали что 6 ≤ N* ≤ N, где N — конкретное, точно определённое, очень большое число. На языке стрелочной нотации Кнута оно может быть записано как 
, где 
.
Нижняя граница была улучшена Экзу в 2003 году и Баркли в 2008 году, который показал, что N* должно быть не меньше 13. Таким образом, 13 ≤ N* ≤ N.
Предметом настоящей статьи является верхняя граница G, которая много слабее (то есть больше), чем N; а именно 
, где 
. Именно эта граница, описанная в неопубликованной работе Грехема, и была описана (и названа числом Грехема) Мартином Гарднером.
Определение числа Грехема
Используя стрелочную нотацию Кнута, число Грехема G может быть записано как
где количество стрелок в каждом слое, начиная с верхнего, определяется числом в следующем слое, то есть
и где верхний индекс у стрелки показывает общее количество стрелок. Другими словами, G вычисляется в 64 шага: на первом шаге мы вычисляем g1 с четырьмя стрелками между тройками, на втором — g2 с g1 стрелок между тройками, на третьем — g3 с g2 стрелок между тройками и так далее, в конце мы вычисляем G = g64 с g63 стрелок между тройками.
Это может быть записано как
где верхний индекс у f означает итерации функций. Функция f является частным случаем гипероператоров, 
, и может быть так же записана при помощи цепных стрелок Конвея как 
. Последняя запись так же позволяет записать следующие граничные значения для G:
Масштаб числа Грехема
Для того, чтобы осознать невероятный размер числа Грехема, полезно попробовать представить через возведение в степень хотя бы первый член (g1) стремительно растущей 64-членной последовательности. На языке тетраций 
означает:
где число троек в выражении справа
Теперь каждая тетрация () по определению разворачивается в «степенную башню» как
, где X — количество 3-ек.
, где количество троек — 
записанное на языке степеней
, где число башен — 
и где количество троек в каждой башне, начиная слева, указывается предыдущей башней.
Другими словами, g1 вычисляется путём вычисления количества башен, n = 
(где число троек — 
= 7625597484987), и затем вычисляя n башен в следующем порядке:
Масштаб первого члена, g1, настолько велик, что его практически невозможно осознать, хотя запись выше относительно проста для понимания. Хотя n это всего лишь количество башен в этой формуле для g1, уже это число много больше количества объёмов Планка, которые содержатся в наблюдаемой вселенной (примерно 8.5*10 185 ). После первого члена нас ожидает ещё 63 члена стремительно растущей последовательности.
Число Грэма и взгляд в бесконечность
Вглядываться в бесконечность можно по-разному. Можно представлять себе всё увеличивающиеся астрономические числа и сопоставлять их с физическими явлениями. Можно всматриваться в выбранную точку фрактала Мандельброта, плавно увеличивая масштаб в 10 198 раз (можно и больше, но в угоду скорости страдает наглядность). Фрактал, сколь малую часть его не бери, остаётся самоподобным и сохраняет дробную структуру.
А можно представлять себе число Грэма так, как его представляет автор статьи «Число Грэма на пальцах». Число Грэма настолько велико, что даже если вы представите себе какое-то чудовищно большое астрономическое число, а потом возведёте его в столь же чудовищную степень, а потом повторите всё это чудовищное число раз — то вы даже не стронетесь с места на шкале того пути, что ведёт к числу Грэма. Чтобы сосчитать до числа Грэма, придётся научиться считать совсем иначе, нежели мы привыкли — представляя, что путь в бесконечность лежит через дописывание нулей к известным нам астрономическим числам. В этой системе счёта загибанию пальца на руке будет соответствовать не прибавление к числу единицы или миллиона, не дописывание нуля или сотен нулей разом, но шаг от сложения к умножению, от умножения к возведению в степень и дальше в невообразимые дали.
Сразу предупреждаю, что все эти упражнения небезыздержечны — не увлекайтесь, берегите своё душевное здоровье. Однако иногда полезно всмотреться в бесконечность, чтобы понять, где ты и что ты ей, как человек, можешь противопоставить.
Для меня в своё время взгляд бесконечность, подобный описанному «на пальцах» числу Грэма, дала функция Аккермана (которую приводят как пример сложной рекурсивной функции в теории алгоритмов). Она тесно связана со стрелочной записью Кнута, используемой в статье про число Грэма.
Если мы возьмём натуральное (т.е. неотрицательное целое) число и применим к нему операцию порядка, равного этому числу, то у нас получится примерно функция Аккермана (на самом деле, она определяется сложнее и от трёх или двух аргументов, но не суть).
Функция Аккермана растёт очень быстро, она растёт невыразимо быстро, она растёт быстрее чего угодно, что вы можете себе представить. Уже на пятом шаге она выходит за границы Вселенной. Но чтобы досчитать до числа Грэма за обозримое число шагов, даже её недостаточно. Нужно взять функцию Аккермана «второго порядка». Т.е. функцию Аккермана от функции Аккермана от функции Аккермана — и так Y раз. Получится эдакая «башенка» функций Аккермана. Вот такая «башенка» высотой в 64 этажа как раз до числа Грэма и досчитает.
Кажется, что осознание невыразимой величины этого числа может раздавить человека. Но не спешите с выводами. Автор упомянутой статьи, пытаясь оценить подступы к этому числу, сравнивает его элементы с числом частиц во Вселенной, сравнивает высоту «башенок» с расстоянием между планетами. Но вся эта кажущаяся с виду невыразимость сводится к числу «полтора». Ладно, пусть «два с половиной».
Поясню. Считать «бесконечность» (в кавычках — ибо любое число всё же конечно) нужно не тем, сколько песчинок она в себе содержит, а тем, сколько раз количество переходит в качество, сколько в ней нетривиальных идей. Посчитаем, сколько нетривиальных идей в числе Грэма. Функция Аккермана с её порядком арифметической операции как аргументом функции — идея раз. Применение функции Аккермана к самой себе — даже на полноценную идею не тянет, так, на половинку (а ведь можно представить и функцию Аккермана третьего порядка, чтобы ещё большее число получить — но тем отчётливее вырожденность идеи). Добавим ещё, собственно, описание задачи, в рамках которой появилось число Грэма (покраска в случайную комбинацию двух цветов диагоналей многомерных гиперкубов), чтобы иметь представление, где остановиться в нашем счёте — и получим две с половиной идеи.
Вроде, с одной стороны, почти необозримая бесконечность — а с другой стороны, тривиальность. Поставьте два зеркала друг напротив друга, встаньте между ними — и вы увидите бесконечное количество всё более тускнеющих отражений. Отражений бесконечное количество, но оригинал у них один — отражаетесь лишь вы сами.
Если в каком-то явлении вы замечаете, что с какого-то момента начинают повторяться лишь ухудшающиеся (в лучшем случае, такие же) копии того, что уже было раньше — то это дурная бесконечность, ложная. Движение по её шкале — лишь видимость жизни, но по сути это западня для вашего сознания.
Или вот был хороший оригинал — и сделали ему сиквел, приквел или ответвление сюжета. Чем наполнить? Известно чем — взять всё то же, что в оригинале, но в бОльших количествах и иначе скомбинированное. Была одна идея, стало полторы. Этих сиквелов можно теперь бесконечное число делать, зарабатывая деньги на тех, кому полюбился оригинал. И опять перед нами дурная бесконечность.
Вообще, возьми любой жанр — и большую часть его составят повторения, ухудшенные копии родоначальника жанра. Если вы чувствуете, что задыхаетесь в засилье этих похожих друг на друга отражений — плывите против течения, ищите источник отражений. Лишь так вы сможете в лабиринте дурной бесконечности отыскать истинный путь.
Что такое число Грэма
Вселенная сложна и многогранна. Она содержит много непонятных, а иногда и совершенно бессмысленных вещей. Или кажущихся таковыми непосвященному человеку. Речь пойдет о числах, но не о тех, которые мы привыкли применять в повседневной жизни. Математика не терпит приблизительных значений, но при этом оперирует и числом пи, и бесконечностью.
Существует множество огромных чисел, которые с трудом, но можно куда-либо применить. Есть и такое число, которое не поддается человеческому воображению. Представить эту цифру физически невозможно ни одному живущему на планете. Это число попало в Книгу рекордов Гиннесса. Оно получило название в честь математика Рональда Грэма. Мир узнал о нем в середине 70-х г. г. прошлого века. Тогда ученый нашел необычное решение для невероятно сложной задачи с применением гиперкуба. Это был возможный предел чисел, когда-либо использовавшихся в математических вопросах. Но ведь суть цифр не заключается в том, чтобы писать их до бесконечности. Их значение должно быть равно какой-либо величине. Некоторые совокупности действительно невероятно большие. Но все они ничего не представляют рядом с числом Грэма.
Для начала давайте вспомним об огромных числах, имеющих практическое значение. Обычно они обозначаются цифрой, возведенной в некоторую степень. Такой способ практичен для восприятия и написания. Количественную картинку, связанную с миллионами или даже миллиардами, достаточно легко вызвать с помощью фантазии. Часто их пишут в виде цифры со степенью.
Каждый знает, что нашу планету населяет примерно 7 млрд человек. Многие слышали о 100 млрд звезд, мерцающих в Галактике. Предположительно 1 трлн рыб живет в водах Мирового океана, а в земле роются 1 квадрлн муравьев.
Дальше речь пойдет о более сложных цифрах, представить практическое значение которых довольно сложно:
Казалось бы, куда больше? Однако это далеко не все.
А если то, что сейчас кажется невозможным и абсурдным, спустя века станет понятным и значимым? Как компьютеры и самолеты, в существование которых еще пару веков назад верилось с трудом.
Что такое число Грэма
Вселенная сложна и многогранна. Она содержит много непонятных, а иногда и совершенно бессмысленных вещей. Или кажущихся таковыми непосвященному человеку. Речь пойдет о числах, но не о тех, которые мы привыкли применять в повседневной жизни. Математика не терпит приблизительных значений, но при этом оперирует и числом пи, и бесконечностью.
Существует множество огромных чисел, которые с трудом, но можно куда-либо применить. Есть и такое число, которое не поддается человеческому воображению. Представить эту цифру физически невозможно ни одному живущему на планете. Это число попало в Книгу рекордов Гиннесса. Оно получило название в честь математика Рональда Грэма. Мир узнал о нем в середине 70-х г. г. прошлого века. Тогда ученый нашел необычное решение для невероятно сложной задачи с применением гиперкуба. Это был возможный предел чисел, когда-либо использовавшихся в математических вопросах. Но ведь суть цифр не заключается в том, чтобы писать их до бесконечности. Их значение должно быть равно какой-либо величине. Некоторые совокупности действительно невероятно большие. Но все они ничего не представляют рядом с числом Грэма.
Для начала давайте вспомним об огромных числах, имеющих практическое значение. Обычно они обозначаются цифрой, возведенной в некоторую степень. Такой способ практичен для восприятия и написания. Количественную картинку, связанную с миллионами или даже миллиардами, достаточно легко вызвать с помощью фантазии. Часто их пишут в виде цифры со степенью.
Каждый знает, что нашу планету населяет примерно 7 млрд человек. Многие слышали о 100 млрд звезд, мерцающих в Галактике. Предположительно 1 трлн рыб живет в водах Мирового океана, а в земле роются 1 квадрлн муравьев.
Дальше речь пойдет о более сложных цифрах, представить практическое значение которых довольно сложно:
Казалось бы, куда больше? Однако это далеко не все.
А если то, что сейчас кажется невозможным и абсурдным, спустя века станет понятным и значимым? Как компьютеры и самолеты, в существование которых еще пару веков назад верилось с трудом.
Число Грэма
Число Грэма (англ. Graham’s number ) — гигантское число, которое является верхней границей для решения определённой проблемы в теории Рамсея. Является некоторой очень большой степенью тройки, которая записывается с помощью нотации Кнута. Названо в честь Рональда Грэма.
Оно стало известно широкой публике после того, как Мартин Гарднер описал его в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в ноябре 1977 года, где было сказано: «В неопубликованном доказательстве Грэм недавно установил границу настолько большую, что ей принадлежит рекорд как наибольшему числу, когда-либо использовавшемуся в серьёзном математическом доказательстве».
В 1980 году Книга рекордов Гиннесса повторила утверждения Гарднера, ещё больше подогрев интерес публики к этому числу. Число Грэма в невообразимое количество раз больше, чем другие хорошо известные большие числа, такие, как гугол, гуголплекс и даже больше, чем число Скьюза и число Мозера. На самом деле вся наблюдаемая вселенная слишком мала для того, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грэма (предполагается, что запись каждой цифры занимает по меньшей мере объём Планка). Даже степенные башни вида a b c ⋅ ⋅ ⋅ <\displaystyle a^
бесполезны для этой цели (в том же смысле), хотя это число и может быть записано с использованием рекурсивных формул, таких, как нотация Кнута или эквивалентных, что и было сделано Грэмом. Последние 50 цифр числа Грэма — это 03222348723967018485186439059104575627262464195387.
В современных математических доказательствах иногда встречаются числа, ещё много бо́льшие, чем число Грэма, например, в работе с конечной формой Фридмана в теореме Краскала [en] * — так называемое TREE(3).
Содержание
Проблема Грэма [ | ]
Число Грэма связано со следующей проблемой в теории Рамсея:
Определение числа Грэма [ | ]
При использовании Стрелочной нотации Кнута число Грэма G может быть записано как
G = 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ 3 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ 3 ⋮ ⏟ 3 ↑↑ ⋯ ⋅ ⋅ ↑ ⏟ 3 3 ↑↑↑↑ 3 > 64 слоя <\displaystyle \left.<\begin,
где количество стрелок в каждом слое, начиная с верхнего, определяется числом в следующем слое, то есть
Это может быть записано как
С помощью массивной нотации Бауэрса границы числа Грэма можно записать как:
Масштаб числа Грэма [ | ]
g 1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ ( 3 ↑↑↑ 3 ) = 3 ↑↑ ( 3 ↑↑ ( 3 ↑↑ … ( 3 ↑↑ 3 ) … ) ) <\displaystyle g_<1>=3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow <\Bigl (>3\uparrow \uparrow <\bigl (>3\uparrow \uparrow \ \dots \ (3\uparrow \uparrow 3)\dots <\bigr )><\Bigr )>> ,
где число троек в выражении справа
3 ↑↑ X = 3 ↑ ( 3 ↑ ( 3 ↑ … ( 3 ↑ 3 ) … ) ) = 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ 3 <\displaystyle 3\uparrow \uparrow X\ =\ 3\uparrow <\Bigl (>3\uparrow <\bigl (>3\uparrow \dots (3\uparrow 3)\dots <\bigr )><\Bigr )>\ =\ 3^<3^<\cdot ^<\cdot ^<\cdot ^<3>>>>>> , где X — количество троек.
Оно может быть записано на языке степеней:
g 1 = 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 > 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ 3 > … 3 3 3 > 3 <\displaystyle g_<1>=\left.<\begin, где число башен — 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ 3 > 3 3 3 > 3 <\displaystyle \quad \left.<\begin,
где количество троек в каждой башне, начиная слева, указывается предыдущей башней.
2-я башня: 3↑3↑3 (количество троек — 3) = 7 625 597 484 987
3-я башня: 3↑3↑3↑3↑…↑3 (количество троек — 7 625 597 484 987 ) = …