Слово Кто написал первый учебник геометрии как он назывался - однокоренные слова и морфемный разбор слова (приставка, корень, суффикс, окончание):

Кто считается основателем геометрии?

Кто был основателем геометрии?

Предполагают, что геометрию начинала Ионийская школа, а точнее, сам её основатель — Фалес Милетский, проживший что-то около сотни лет (640–540 или 546 годы до нашей эры).

Кто создал первый учебник по геометрии?

Этот учебник известен также как первая книга, напечатанная гражданским шрифтом. Первый оригинальный (не переводной) печатный учебник по геометрии составил Николай Гаврилович Курганов — увидел свет в 1765 году.

Кто является отцом математики?

Εὐκλείδης, от «добрая слава», время расцвета — около 300 года до н. э.) — древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о Евклиде крайне скудны.

Какие есть виды геометрии?

Где используется геометрия в жизни?

Наука о формах и размерах предметов, а также взаимном размещении фигур называется геометрией. Применение этой науки в жизни встречается очень часто: строительство, ландшафтный дизайн, архитектура и интерьер.

Когда возникла геометрия?

Слово геометрия греческого происхождения. В буквальном смысле оно означает «землемерие». Возникла геометрия в Египте более 4000 лет назад.

Как называется первый учебник геометрии?

Elementa) — главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии и теории чисел.

Кто написал первый учебник по алгебре?

В период с 1919 по 1924 годы Каныш Сатпаев написал учебник по алгебре. Данный труд вошёл в историю как первый школьный учебник по алгебре на казахском языке. За свою жизнь Сатпаев написал свыше 640 научных работ.

Кого считают отцом математики и геометрии почему?

Евклид — древнегреческий математик, «отец геометрии», автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III в.

Кто из великих математиков считается отцом математики?

Греческий математик Пифагор считается одним из самых великих. Пифагора величают отцом математики. Известен он тем, что основал школу пифагорейцев. Ещё в античные времена было немало и женщин, проявлявших себя в науке.

Кто самый великий математик?

Какой раздел геометрии изучающий пространственные фигуры?

Где применяется неевклидова геометрия?

Сам Лобачевский применял неевклидову геометрию для вычисления определенных интегралов при нахождении длины, площади или объема фигуры в своей геометрии. Но применение новых знаний не ограничилось математикой. Также геометрия Лобачевского используется в астрономии: при описании голографической Вселенной или черных дыр.

Сколько аксиом в стереометрии евклидовой геометрии?

Основные понятия стереометрии — точка, прямая и плоскость. В Евклидовой геометрии основные свойства точки, прямой и плоскости, которые относятся к их взаимному расположению, выражены в 20 аксиомах.

Источник

Кто написал первый учебник геометрии как он назывался

Если Нил заливал чей-нибудь участок, то пострадавший обращался к царю и докладывал о случившимся. Тогда царь посылал землемеров (геометров), они измеряли, на сколько уменьшился участок и сообразно этому понижали налог. Вот откуда пришла геометрия и перешла из этой страны в Грецию».

В течение многих веков постепенно накапливали древние египтяне различные научные знания, в том числе знания по геометрии. Они сумели довольно точно определять площади фигур, объемы некоторых тел, решать некоторые другие геометрические задачи.

Цари древнего Египта постоянно вели долгие изнурительные войны, которые ослабляли экономическую мощь страны. Были периоды, когда Египет завоевывался разными другими народами – это были периоды жестокой эксплуатации страны – наука и искусство пришли в упадок.

Но к северу от Египта, уже зародилось новое государство – Греция. Греческие купцы посещали Египет и, возвращаясь, много рассказывали об этой чудесной стране. Вместе с купцами Египет стали посещать ученые. И достижения египетской науки постепенно стали известны древним грекам.

Но Греки не просто усвоили достижения египтян. Они исправили их ошибки и развивали геометрию дальше. Именно в древней Греции около 2500 лет назад геометрия стала математической наукой.

В VII веке до н.э. центром математического творчества становится так называемая пифагорейская школа в южной Италии. Здесь были открыты несоизмеримые отрезки, создано учение о подобии, найдены способы построения некоторых правильных многоугольников и многогранников, доказана теорема Пифагора и т.д.

К 300-м годам до н.э. геометрия становится самостоятельной математической наукой. К этому времени древнегреческий ученый Евклид (III в. до н.э.) написал книгу, называемую им «Начала», написание которой относится к 325-300 годам до н.э.

Евклид собрал почти все, что было создано до него, по геометрии и привел в стройную единую систему. Он взял за основу некоторые положения, так называемые аксиомы (постулаты), и из них путем последовательных рассуждений сумел вывести все теоремы геометрии. Т.о., в этой книге Евклид подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. «Начала» Евклида более полутора тысяч лет переписывались от руки в Греции, Италии, Египте, Индии, Средней Азии и других странах. С возникновением книгопечатания «Начала» сотни раз перепечатывались на всех языках мира. Это одна из наиболее распространенных на земном шаре книг. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет всюду преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по незначитель­ным переработкам книги Евклида. Например, таким пособием был учебник А.П. Киселева, по ко­торому советская школа работала до середины ХХ столетия.

Продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евкли­довой. Немецкий философ-идеалист XVIII в. И. Кант и многие его последователи считали, что понятия и идеи евклидовой геометрии (единственно возможной, чуть ли не божественной) были заложены в человеческое сознание еще до того, как человек научился что-либо осознавать.

Ученые, жившие после Евклида добавили к «Началам» несколько новых теорем, кое-что изменили, но основная масса материала, границы, определяющие ее объем и метод остались прежними. Поэтому геометрия, которую мы изучаем, называется Евклидовой.

Качественно новый этап в развитии геометрии начался лишь много веков спустя – в XVII в. н. э. – и были связаны с накопленными к этому времени достижениями алгебры. Французский математик и философ Р. Декарт (1596 – 1650) предложил новый подход к решению геометрических задач: ввёл метод координат, связав геометрию и алгебру, что позволило решать многие геометрические задачи алгебраическими методами.

На Руси самое древнее сочинение по арифметике, сохранившееся до нас, написано в 1196 году новгородским монахом Кириком. Самое древнее сочинение, сохранившееся до наших дней и содержащее геометрические сведения, написано в начале XVII века (вероятно, в 1607 году), оно называлось «Устав ратных дел». В этом сочинении содержатся правила (рецепты) для решения задач на определение расстояния до предметов. Никаких теорем или доказательств верности не приводится.

В других рукописях («Книга и письма» и другие) даются правила изменения площадей, нахождения расстояний, определение объемов тел. В этих правилах много ошибок и совсем не приводится доказательств.

Распространению на Руси геометрических знаний препятствовала церковь. Попы боялись, что вместе с книгами с запада в Россию будет проникать католическая религия, поэтому вводили жестокие меры против тех, кто занимался математикой. В одном древнерусском поучении говорится: «богомерзостен перед богом всякий, кто любит геометрию».

В течение XVII века геометрические знания на Руси распространялись медленно.

В XVIII веке геометрия получила большое распространение. В России была открыты Академия наук, в Москве был открыт университет, во многих городах открывались школы и гимназии, появились учебники геометрии, как отечественные, так и переводные.

В конце XVIII в. у некоторых геометров возникла мысль о невозможности доказательства пятого постулата Евклида («И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых»), который из-за сложности формулировки обычно заменяют аксиомой параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Н. И. Лобачевский предпринял попытку доказать пятый постулат от противного, но не получил при этом противоречивых утверждений. В 1826 г. он сообщил об открытии новой геометрии, отличной от геометрии Евклида. Такая геометрия получила название геометрии Лобачевского. К аналогичным выводам пришёл венгерский математик Я. Бойяи и немецкий математик К. Ф. Гаусс.

Открытие новой геометрии оказало огромное влияние на развитие науки. Геометрия Лобачевского широко используется в естествознании. Неизмеримо влияние новой геометрии на развитие самой геометрии. Наиболее ярко оно выразилось в дальнейшем углублении наших представлений о пространстве: до Лобачевского казалось, что геометрией окружающего нас мира может быть только евклидова геометрия.

Бурное развитие математики в XIX в. привело к ряду замечательных открытий. Так, выдающимся немецким математиком Б. Риманом (1826 – 1866) была создана новая геометрия, обобщающая и геометрию Евклида, и геометрию Лобачевского.

В настоящее время геометрия широко используется в самых разнообразных разделах естествознания: в физике, химии, биологии и т. д. Неоценимо её значение в прикладных науках: в машиностроении, геодезии, картографии. Методы геометрии широко применяются практически во всех разделах науке и техники и, конечно же, в самой математике.

Источник

Статья «ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ»

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ

Великий немецкий математик Вильгельм Лейбниц сказал: «Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет».

Заглянем в прошлое, когда зародилась наука геометрия.

Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Специальных названий для геометрических фигур, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т.д.

А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна. Сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась.

Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки. И заметили, что перекатка проще, если взять кусок дерева с почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Так люди познакомились с одним из важнейших тел – цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки.

Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные стволы весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо. Но не только в процессе работы знакомились люди с геометрическим фигурами.

Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище (бусинки, браслеты, кольца, украшения из драгоценных камней и металлов, роспись дворцов).

Для того, чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы.

Так практическая деятельность людей привела к дальнейшему углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и площади, и объемы, и длины и т.д.

«Все боится времени, но само время боится пирамид». Все это указывает на чисто опытное происхождение геометрии. Древние египтяне были замечательными инженерами. До сих пор не могут до конца разгадать загадки огромных гробниц Египетских царей – Фараонов.

Геометрия древней Греции

Греческие купцы познакомились с восточной математикой, прокладывая торговые пути. Но люди Востока почти не занимались теорией, и греки быстро это обнаружили. Они задавались вопросами: почему в равнобедренном треугольнике два угла при основании равны; почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах?

К сожалению, не сохранилось первоисточников, описывающих ранний период развития греческой математики. Только благодаря восстановленным текстам четвертого столетия до нашей эры и трудам арабских ученых, которые были богаты переводами сочинений авторов античной Греции, мы располагаем изданиями Евклида, Архимеда, Аполлония и других великий людей. Но в этих произведениях уже представлена вполне развитая математическая наука.

Математика древней Греции прошла длительный и сложный путь развития, начиная с VI столетия до н.э. и по VI век. Историки науки выделяют три периода ее развития в соответствии с характером знаний:

Многие из названий геометрических тел взяты из обихода Древних греков. Например, на языке греков скалку именовали «каландер». Ученые взяли за основу это понятие для определения округлых тел и сейчас такие формы называют цилиндрическими. Шишка ели – «конос». Отсюда – конус – все предметы, похожие по форме на шишки. По подобию египетских пирамид, все тела такого вида называли «пирамиды».

Параллельные прямые получили свое название от понятия «идти рядом». Параллелепипед – близкий родственник этих слов. А столик, трапециевидной формы, называли «тетрапецион». В «трапецию» похожие фигуры превратились позже.

Геометрия в Древнем Китае и Греции

Начало греческой науки положила ионийская школа натурфилософии. Ее основателем считается милетский купец, политический деятель, астроном, математик и философ Фалес.

Легенды рассказывают о том, как Фалес посрамил египетских мудрецов, найдя высоту пирамиды по ее тени: «Когда тень от вертикально столба будет той же длины, что и длина столба, тогда тень от пирамиды будет равна ее высоте». Еще рассказывают, будто Фалес доказал, что расстояния от середины гипотенузы прямоугольного треугольника до вершин этого треугольника равны.

После Анаксагора перспективой занимался автор атомистической теории строения Вселенной, известный философ Демокрит из Абдер во Фракии. Как и Фалес, свои первоначальные знания Демокрит почерпнул на Востоке: «Никто не превзошел меня в построении фигур из линий, сопровождающемся доказательством, даже арпадонапты в Египте».

Известны упоминания систематические изложения геометрии, среди которых данное в 5 в. до н. э. Гиппократом Хиосским. Сохранились же и сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Ещё в Греции к ней добавляются новые результаты, возникают новые методы определения площадей и объёмов (Архимед, 3 в. до н. э.), учение о конических сечениях (Аполлоний Пергский, 3 в. до н. э.), присоединяются начатки тригонометрии (Гиппарх, 2 в. до н. э.) и геометрия на сфере (Менелай, 1 в. н. э.). Упадок античного общества привёл к сравнительному застою в развитии геометрии, однако она продолжала развиваться в Индии, в Средней Азии, в странах арабского Востока.

Возрождение наук и искусств в Европе повлекло дальнейший расцвет геометрии. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й половине 17 в. Р. Декартом, который ввёл в геометрию метод координат. Метод координат позволил связать геометрия с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрию породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную. Геометрия перешла на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы.

В III в. до н.э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Начала». В ней он подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по незначительным переработкам книги Евклида. Но профессиональные математики обращались также и к трудам других великих греческих ученых: Архимеда, Аполлония. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от неевклидовых, появившихся в XIX веке.

Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значимость не может быть сравнима с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора (VI в. до н.э.), Евдокса и Теэтета (IV в. до н.э.). Величайшая заслуга Евклида состоит в том, что он подвел итог построению геометрии и придал ей завершенную форму.

Он с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в сочинение еще XIV и XV книги. Главная особенность «Начал» состоит в том, что они построены по единой логической схеме, и все содержащиеся в них теории строго обоснованы по принципу построения научных дисциплин, который намечался еще у Аристотеля.

Архимеду принадлежит формула для определения площади треугольника через три его стороны (неправильно именуемая формулой Герона). Архимед дал (не вполне исчерпывающую) теорию полуправильных выпуклых многогранников (архимедовы тела). Особое значение имеет «аксиома Архимеда»: из неравных отрезков меньший, будучи повторен достаточное число раз, превзойдет больший. Эта аксиома определяет т. н. архимедовскую упорядоченность, которая играет важную роль в современной математике. Архимед построил счисление, позволяющее записывать и называть весьма большие числа. Он с большой точностью вычислил значение числа и указал пределы погрешности.

Труды Аполлона Пергского

АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ (ок. 260 — 170 до н. э.), древнегреческий математика и астроном, ученик Евклида. В основном труде «Конические сечения» (8 книг) дал полное изложение их теории. Для объяснения видимого движения планет построил теорию эпициклов. Идеи Аполлона Пергского оказали большое влияние на развитие естествознания нового времени. Гипербола является коническим сечением. Она может быть

получена, если секущая плоскость пересекает обе полости конической поверхности, не проходя через вершину.

В элементарной геометрии Эйлер обнаружил несколько фактов, не замеченных Евклидом:

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре).

В треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежат на одной прямой — «прямой Эйлера».

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности (окружности Эйлера).

Число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) у любого выпуклого многогранника связаны простой формулой: В + Г = Р + 2.

Второй том «Введения в анализ бесконечно малых» (1748) — это первый в мире учебник по аналитической геометрии и основам дифференциальной геометрии. Термин аффинные преобразования впервые введён в этой книге вместе с теорией таких преобразований.

В 1760 году вышли фундаментальные «Исследования о кривизне поверхностей». Эйлер обнаружил, что в каждой точке гладкой поверхности имеются два нормальных сечения с минимальным и максимальным радиусами кривизны, и плоскости их взаимно перпендикулярны. Вывел формулу связи кривизны сечения поверхности с главными кривизнами.

1771 год: опубликовано сочинение «О телах, поверхность которых можно развернуть на плоскость». В этой работе введено понятие развёртывающейся поверхности, то есть поверхности, которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов. Эйлер, однако, даёт здесь вполне общую теорию метрики, от которой зависит вся внутренняя геометрия поверхности. Позже исследование метрики становится у него основным инструментом теории поверхностей.

Сколько бесконечно удаленных точек нужно добавить к плоскости? Естественно было бы считать, что все параллельные друг другу прямые пересекаются в одной бесконечно удаленной точке, которую и нужно добавить к точкам этих прямых. Важно было догадаться, что все эти точки для разных направлений прямых заполнят одну бесконечно удаленную прямую, которой на картинах художников служит линия горизонта. Полученная в результате плоскость называется расширенной или проективной.

В этих рассуждениях мы решительно разделяли конечные и бесконечно удаленные точки. Чтобы стереть эти различия, Дезарг предлагает рассуждать следующим образом. Различные плоскости в трехмерном пространстве воспринимаются как образы одной и той же плоскости, а картинки на этих плоскостях сравниваются при помощи центрального проектирования. А именно, фиксируется точка в пространстве (рис. 1); точки на плоскости и на плоскости считаются соответствующими друг другу (изображениями одной и той же точки на разных «картинах»), если и лежат на одной прямой, проходящей через . Так что если на имеется некоторая фигура , то се точки соединяются с прямыми, а из пересечений этих прямых с плоскостью собирается фигура на , соответствующая ( называется центральной проекцией на из точки фигуры ). Такого рода преобразования фигур уже возникали раньше при построении изображений.

«Основная идея этой чистой геометрии родилась из желания художников Возрождения создать «зрительную» геометрию. Как выглядят предметы в действительности и как их можно изобразить в плоскости чертежа?». С. Г. Гульд

Присмотритесь более внимательно к возникающему преобразованию. Может случиться так, что прямая, соединяющая точку с точкой , будет параллельна плоскости и в результате точка на плоскости не будет соответствовать никакой точке. Дезарг предлагает считать, что образом тогда является бесконечно удаленная точка на (образ «ушел на бесконечность»). Если провести через плоскость, параллельную , то в пересечении с получится прямая , которой в силу сказанного естественно поставить в соответствие на плоскости бесконечно удаленную прямую. Если же, напротив, провести через точку плоскость, параллельную , то при пересечении с получится прямая , в точки которой при проектировании не будут переходить никакие конечные точки плоскости , и принимается, что в переходит бесконечно удаленная прямая плоскости . Итак, по Дезаргу, одни и те же фигуры по-разному изображаются на разных плоскостях в пространстве. В частности, одна и та же прямая на одной плоскости предстанет перед нами как бесконечно удаленная, а на другой как конечная. Поэтому если мы не хотим, чтобы точки на одних картинах исчезали, а на других возникали из ничего, то мы должны рассматривать расширенную (проективную) плоскость.

Для того чтобы сделать эту точку зрения рабочей, надо выяснить, насколько же различаются изображения одних и тех же объектов. Ясно, что искажение при центральном проектировании весьма велико, но присущи ли различным изображениям хоть какие-то общие черты? Прежде всего сохраняется прямолинейность: прямые переходят в прямые, пересекающиеся прямые в пересекающиеся (параллельность частный случай!). Обратите внимание на то, сколько исключений пришлось бы оговорить уже здесь, не введи мы бесконечно удаленных элементов.

Замечательная догадка Дезарга заключалась в том, что имеются содержательные геометрические утверждения, в которых речь идет лишь о пересечениях прямых. Теорема, приведенная ниже, носит его имя. Пусть для треугольников и прямые (рис. 2), соединяющие вершины, и , и , и пересекаются в одной точке . Тогда точки пересечения соответствующих сторон ( и , и , и ) лежат на одной прямой. Верна и обратная теорема. Самое известное сегодня доказательство теоремы Дезарга очень красиво и связано с переходом к ее пространственному варианту. Весьма поучителен и другой способ рассуждения. Поскольку в теореме речь идет лишь о взаимном положении точек и прямых, сохраняющихся при центральном проектировании, из справедливости теоремы в одной картине следует ее справедливость в любой другой. Другими словами, можно сделать центральную проекцию так, чтобы ситуация стала особенно простой. Например, если сделать точки бесконечно удаленными (соответствующие стороны будут параллельны), то получится элементарное утверждение, которое легко доказать, пользуясь подобием треугольников. Общий случай будет получаться автоматически!

,

которая называется двойным отношением четырех прямых , проходящих через одну точку (оно также сохраняется при проективных преобразованиях).

Аналитическая геометрия изучает фигуры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры. Дифференциальная геометрия, возникшая в 18 в. в результате работ Л. Эйлера, Геометрия Монжа и др., исследует уже любые достаточно гладкие кривые линии и поверхности, их семейства (т. е. их непрерывные совокупности) и преобразования (понятию «дифференциальная Геометрия» придаётся теперь часто более общий смысл, о чём см. в разделе Современная геометрия). Её название связано в основном с её методом, исходящим из дифференциального исчисления. К 1-й половине 17 в. относится зарождение проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из задач изображения тел на плоскости; её первый предмет составляют те свойства плоских фигур, которые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую из любой точки. Окончательное оформление и систематическое изложение этих новых направлений Геометрии были даны в 18 — начале 19 вв. Эйлером для аналитической Геометрии (1748), Монжем для дифференциальной Геометрии (1795), Ж. Понселе для проективной Геометрии (1822), причём само учение о геометрическом изображении (в прямой связи с задачами черчения) было ещё раньше (1799) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы (аксиомы, исходные понятия) Геометрия оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых методов расширялся.

Н. И. Лобачевский в 1826 строит новую, неевклидовую Геометрию, называемую теперь Лобачевского геометрией. Независимо от Лобачевского в 1832 ту же Геометрия построил Я. Больяй (те же идеи развивал К. Гаусс, но он не опубликовал их). Источник, сущность и значение идей Лобачевского сводятся к следующему. В геометрии Евклида имеется аксиома о параллельных, утверждающая: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной». Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок геометрии Евклида, но безуспешно. Лобачевский пришёл к мысли, что такое доказательство невозможно. Утверждение, противоположное аксиоме Евклида, гласит: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые». Это и есть аксиома Лобачевского. По мысли Лобачевского, присоединение этого положения к другим основным положениям Геометрия приводит к логически безупречным выводам. Система этих выводов и образует новую, неевклидову Геометрия Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал эту идею, но действительно построил и всесторонне развил новую Геометрия, логически столь же совершенную и богатую выводами, как евклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям. Лобачевский рассматривал свою Геометрия как возможную теорию пространственных отношений; однако она оставалась гипотетической, пока не был выяснен (в 1868) её реальный смысл и тем самым было дано её полное обоснование (см. раздел Истолкования геометрии).

Переворот в Геометрия, произведённый Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, и недаром Лобачевский был назван «Коперником геометрии». В его идеях были намечены три принципа, определившие новое развитие Геометрия Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна евклидова Геометрия, но и другие «геометрии». Второй принцип — это принцип самого построения новых геометрических теорий путём видоизменения и обобщения основных положений евклидовой Геометрия Третий принцип состоит в том, что истинность геометрической теории, в смысле соответствия реальным свойствам пространства, может быть проверена лишь физическим исследованием и не исключено, что такие исследования установят, в этом смысле, неточность евклидовой Геометрия Современная физика подтвердила это. Однако от этого не теряется математическая точность евклидовой Геометрия, т.к. она определяется логической состоятельностью (непротиворечивостью) этой Геометрия Точно так же в отношении любой геометрической теории нужно различать их физическую и математическую истинность; первая состоит в проверяемом опытом соответствии действительности, вторая — в логической непротиворечивости. Лобачевский дал, т. о., материалистическую установку философии математики. Перечисленные общие принципы сыграли важную роль не только в Геометрия, но и в математике вообще, в развитии её аксиоматического метода, в понимании её отношения к действительности.

Главная особенность нового периода в истории Геометрии, начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геометрических теорий — новых «геометрий» и в соответствующем обобщении предмета Геометрия; возникает понятие о разного рода «пространствах» (термин «пространство» имеет в науке два смысла: с одной стороны, это обычное реальное пространство, с другой — абстрактное «математическое пространство»). При этом одни теории складывались внутри евклидовой Геометрия в виде её особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение. Так складывались проективная, аффинная, конформная Геометрия и др., предметом которых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Возникло понятие проективного, аффинного и конформного пространств; сама евклидова Геометрия стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной Геометрия Др. теории, подобно геометрии Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий евклидовой Геометрия Так, создавалась, например, многомерная Геометрия; первые относящиеся к ней работы (Геометрия Грасман и А. Кэли, 1844) представляли формальное обобщение обычной аналитической Геометрия с трёх координат на n. Некоторый итог развития всех этих новых «геометрий» подвёл в 1872 Ф. Клейн, указав общий принцип их построения.

Принципиальный шаг был сделан Б. Риманом (лекция 1854, опубликована 1867). Во-первых, он ясно формулировал обобщённое понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений (см. раздел Обобщение предмета геометрии). Во-вторых, он ввёл понятие пространства с любым законом измерения расстояний бесконечно малыми шагами (подобно измерению длины линии очень малым масштабом). Отсюда развилась обширная область Геометрия, т. н. риманова геометрия и её обобщения, нашедшая важные приложения в теории относительности, в механике и др.

В тот же период зародилась топология как учение о тех свойствах фигур, которые зависят лишь от взаимного прикосновения их частей и которые тем самым сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, т. е. происходящих без разрывов и склеиваний. В 20 в. топология развилась в самостоятельную дисциплину.

Так Геометрия превратилась в разветвленную и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность математических теорий, изучающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, римановы и т.д.) и фигуры в этих пространствах.

Ситуация была осмыслена после выхода книги Д. Гильберта «Основания геометрии», он и предложил то понятие аксиоматического метода, с которого мы начали. Гильберт понял, что для того, чтобы разобраться с основаниями геометрии, необходимо полностью исключить из аксиом все, кроме логики. Он красочно выразил эту мысль следующим образом: «Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины «точка, прямая, плоскость» другими, столь же условными: «стул, стол, пивная кружка»!

Именно Гильберт построил первую последовательную и полную систему аксиом для элементарной геометрии, это произошло в самом конце XIX века. Таким образом, аксиоматический метод был фактически создан для того, чтобы доказать невозможность доказательства некоторых, в данном случае геометрических, утверждений.

Гильберт был горд своим открытием и думал, что этот метод можно распространить на всю математику в целом: не только на элементарную геометрию, но и на арифметику, анализ, теорию множеств. Он провозгласил «программу Гильберта», целью которой было разработать системы аксиом для всех частей математики (и даже частей физики) и затем установить непротиворечивость математики ограниченными средствами. Как только Гильберт осознал возможности аксиоматического метода, казалось, что для такого развития открыта прямая дорога. Гильберт даже произнес в 1930 году знаменитую фразу, которая в переводе на русский язык звучит как «Мы должны знать, и мы будем знать», имея в виду, что все, что математики должны знать, они рано или поздно узнают. Эта цель, однако, оказалась неосуществимой, что выяснилось значительно позже. Что самое удивительное: теорема, которая фактически опровергла эти надежды, а именно теорема Курта Гёделя о неполноте, была провозглашена на той же самой конференции, в 1930 году, на которой Гильберт произнес свою знаменитую речь, ровно за день до этого события.

Топология как геометрия XX века

Аксиоматический метод Гильберта позволяет построить математические теории на четко выделенных математических утверждениях, из которых прочие получаются логическим путем. Гильберт на самом деле пошел дальше и решил, что сведение математики к логике можно продолжить. Можно дальше задать вопрос: «А можно ли избавиться от объяснения смысла того, что такое логическая операция?» Саму логику можно убрать из аксиоматического метода. От аксиоматических теорий мы переходим к формальным аксиоматическим теориям — это теории, записанные в символьном виде, при этом математика превращается уже не просто в последовательность логических выводов, а в некоторую игру переписывания формальных выражений по определенным правилам. Именно эта игра, абсолютно лишенная смысла, если смотреть на нее наивно, дает точную математическую модель того, что такое «доказательство». С помощью анализа этой игры можно доказывать, что математические теоремы невозможно доказать. Но главное: в результате формализации математики впервые построили полностью формализованные языки, которые привели к созданию языков программирования, языков баз данных. Современное развитие компьютерных технологий в конечном счете базируется на открытиях, которые были совершены в математике в начале XX века.

6. Критика аксиоматического метода

Многие математики критикуют аксиоматический метод за то, ради чего он был создан: он избавляет математику от смысла. Потому что сначала мы избавляем математику от разных геометрических представлений, от интуиции. Переходя к формальной аксиоматической теории, мы, в общем-то, и логику изгоняем из математики. И в результате от содержательного доказательства остается лишь скелет, состоящий из формальных символов. Преимущество последнего ровно том, что мы не знаем, что такое «смысл» и «интуиция», но зато точно знаем, что такое манипуляции с конечными строками символов. Это и позволяет нам построить точную математическую модель сложного явления — доказательства — и подвергнуть ее математическому анализу.

Математическое доказательство изначально было психологическим процессом убеждения собеседника в верности того или иного утверждения. В формальной системе это не так: все свелось к чисто механическому процессу. Этот чисто механический процесс способен выполнять компьютер. Однако, как и всякая модель, механический процесс передает лишь некоторые черты реальных доказательств. У такой модели есть свои границы применимости. Неверно думать, что формальные доказательства и есть «настоящие» математические доказательства или что математики на самом деле работают в рамках определенных формальных систем.

Отдельно стоит сказать о преподавании математики. Нет ничего хуже, чем строить обучение школьников на выполнении механических действий (алгоритмов) или же на построении формальных логических выводов. Так можно загубить в человеке любое творческое начало. Соответственно, при обучении математике не стоит подходить с позиции строгого аксиоматического метода в смысле Гильберта — не для того он был создан.

Евклидова геометрия — это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, которая была впервые изложена в третьем веке до нашей эры великим древнегреческим математиком Евклидом в грандиозном научном труде «Начала».

Система аксиом Евклида базируется на основных геометрические понятиях таких, как точка, прямая, плоскость, движение, а также на следующие отношения: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими».

В «Началах» Евклид представил следующую аксиоматику:

· От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

· Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

· Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

· Все прямые углы равны между собой.

· Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Тщательное изучение аксиоматики Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. В 1899 году Д. Гилберт предложил первую строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Впоследствии еще не раз ученые предпринимали попытки усовершенствовать аксиоматику евклидовой геометрии. Кроме аксиоматики Гилберта, известными считаются: аксиоматики Тарского и аксиоматики Биргофа, которая состоит всего лишь из 4 аксиом.

В современной трактовке система аксиом Евклида может быть разделена на пять а групп:

· Во-первых, через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну.

· Во-вторых, на каждой прямой лежат по крайней мере две точки. При этом существуют хотя бы три точки, которые не лежат на одной прямой.

· В-третьих, через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.

· В-четвертых, на каждой плоскости есть по крайней мере три точки, а также существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

· В-пятых, если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, значит и сама прямая лежит на этой плоскости.

· В-шестых, если две плоскости имеют общую точку, то, следовательно они имеют и общую прямую.

· Во-первых, если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой.

· Во-вторых, для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С.

· В-третьих, из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими.

· В-четвертых, если прямая пересекает одну сторону треугольника, значит она пересекает при этом и другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; аналогично определяются стороны треугольника).

· Во-первых, движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям.

· Во-вторых, два последовательных движения вновь дают движение, и для всякого движения есть обратное.

· В-третьих, если даны точки А, A’ и полуплоскости A, A‘, ограниченные продолженными полупрямыми а, а’, которые исходят из точек А, A’, то существует единственное движение, переводящее А, а, A в A’, a’, A’ (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).

· Во-первых, как гласит аксиома Архимеда, всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая на первом его достаточное количество раз (откладывание отрезка осуществляется движением).

· Во-вторых, согласно аксиоме Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.

Аксиома параллельности Евклида: через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.

Евклидова геометрия стала результатом систематизации и обобщения наглядных представлений человека об окружающем мире.

Жаркие споры с целью выяснения истины и правильных способов рассуждений велись в Древней Греции, и именно в таких спорах возникли геометрические рассуждения и доказательства. Фалес Милетский доказывал очень простые и очевидные на первый взгляд теоремы. Он осознал, что очевидность может оказаться обманчивой и доказывать нужно даже очевидные утверждения. Это было очень важным шагом в становлении математики.

Древнегреческие математики не только обосновали правила вычисления площадей, применявшиеся в Древнем Египте и Вавилонии, но и продвинулись далеко вперед. Для вычисления площади круга и объема пирамиды Eвдокс Книдский разработал специальный метод, впоследствии получивший название метода исчерпывания. Труды самого Евдокса не сохранились, но его результаты детально изложены в «Началах» Евклида. Значительная часть «Начал» посвящена стереометрии; они завершаются теорией правильных многогранников.

Архимед (287-212 гг. до н. э.) первым вычислил объем шара, доказав, что объем цилиндра, описанного вокруг шара, в 1,5 раза больше объема шара. Архимед считал это одним из важнейших своих достижений и даже завещал установить на его надгробии цилиндр и шар; по этому знаку впоследствии Цицерон нашел на Сицилии заброшенную и заросшую терновником могилу Архимеда. Архимед сумел также найти площадь и объем нескольких сложных геометрических фигур, и эти результаты очень долго оставались непревзойденными.

Архимед получил весьма точные оценки числа π, рассматривая правильные многоугольники, вписанные в окружность, и правильные многоугольники, описанные около окружности. Он доказал, что 3(10/71)

Несколько изящных геометрических теорем Архимед собрал в «Книгу лемм», сохранившуюся только в арабском переводе. Еще несколько теорем Архимеда сохранилось в изложении аль-Бируни (973-1048). Когда были обнаружены и переведены сочинения аль-Бируни, выяснилось, что задолго до Герона Архимед вывел формулу, выражающую площадь треугольника через длины его сторон; ныне ее называют формулой Герона.

Архимед обнаружил 13 полуправильных многогранников, грани которых правильные многоугольники, но необязательно равные. Четырнадцатый полуправильный многогранник был обнаружен лишь в 1957 г. советским математиком В, Г. Ашкинузи.

Древний Рим, многое перенявший из культурного наследия Древней Греции, оказался совершенно невосприимчивым к математике. Геометрия там не только не развивалась, но даже почти не изучалась. По свидетельству Цицерона, в Древнем Риме развитие математики ограничивалось надобностями денежных расчетов и земельных межеваний. Но уже сами эти слова Цицерона показывают, что говорить в такой ситуации о развитии математики – сильное преувеличение.

Греческие традиции изучения геометрии в большей степени, чем в средневековой Европе, распространились в арабских странах. Многие труды греческих геометров сохранились лишь в арабских переводах. Арабские математики не только переводили и комментировали сочинения древнегреческих геометров, но и сами получали важные результаты. Исследованием пятого постулата Евклида занимались Сабит ибн Курра (836-901) и Омар Хайям. Аль-Каши с большой точностью вычислил число π. Абу-ль-Вафа изучал задачи на построение циркулем фиксированного раствора.

Независимо от Древней Греции геометрия развивалась в Китае и в Индии. В Китае в первые века нашей эры умели вычислять площадь круга, объем цилиндра, усеченного конуса и усеченной пирамиды. Индийский математик Брахмагупта (598-660) детально изучил свойства вписанных четырехугольников.

Возрождение математики в Европе началось с изучения трудов древнегреческих математиков и с переводов их на латинский язык, Первым важным достижением европейских математиков в геометрии было введение координат на плоскости французскими математиками Рене Декартом (1596-1650) и Пьером Ферма (1601-1665). Метод координат позволил связать геометрию с алгеброй. Интересно, что для Декарта основным стимулом для введения координат послужила следующая задача, предложенная древнегреческими геометрами: найти множество всех точек, для каждой из которых произведение расстояний до двух данных прямых равно произведению расстояний до двух других данных прямых. Ферма тоже внимательно изучал труды древнегреческих математиков, делая на полях замечания о своих обобщениях их результатов. Идея ввести координаты не только на плоскости, но и в пространстве встречается уже у Декарта и Ферма, но разработал эту идею и применил на практике французский математик и физик Алексис Клод Клеро, много занимавшийся вопросом о том, какую форму имеет Земля – сколь существенно отличается она от шара.

Декарт занимался также исследованием выпуклых многогранников. Он установил в 1620 г., что число вершин V, число ребер E и число граней F связаны соотношением V – E + F = 2, но не опубликовал этот результат. В 1758 г. эту формулу переоткрыл Эйлер, и теперь ее обычно называют формулой Эйлера.

Геометрия была настолько важной составляющей частью математики, что в XIX в. всех математиков, даже занимавшихся в основном алгеброй или анализом, называли геометрами, Понятие вектора в математику и физику ввел ирландский математик Уильям Роуан Гамильтон (1805-1865), но некоторое представление о векторах задолго до него имели Галилей и Ньютон. Гамильтон определял векторы с помощью координат. Такой подход позволил рассматривать векторы не только с двумя или тремя координатами, но и с любым числом координат. Так Гамильтон смог ввести понятие n-мерного пространства, в котором векторы имеют n координат. Одновременно с Гамильтоном понятие многомерного пространства ввел немецкий математик Герман Грассман (1809-1877). Подход Грассмана был более абстрактный и сначала воспринимался математиками с большим трудом, но впоследствии этот подход оказался очень плодотворным и нашел широкое применение не только в геометрии, но и в алгебре.

В 1854 г. немецкий математик Бернхард Риман обобщил понятие многомерного пространства и разработанную К. Р. Гауссом теорию поверхностей. Введенные им пространства, получившие название римановых, широко применяются в современной физике. Именно в терминах римановых пространств формулируется общая теория относительности Эйнштейна.

Большую роль в формировании современного представления о геометрии сыграла так называемая эрлангенская программа немецкого математика Феликса Клейна (1849-1925). В ней Клейн предложил систематизацию геометрии на основе движений. По мнению Клейна, важнейшая задача геометрии – изучение свойств, сохраняющихся при движениях. Под геометрией Клейн подразумевал не только евклидову геометрию, но и другие геометрии – геометрию Лобачевского, геометрию на сфере, проективную геометрию.

Не следует думать, что к настоящему времени развитие геометрии завершено, что все, что можно, в ней открыто и обосновано. Геометрия, как и другие науки, успешно развивается и обогащается новыми крупными результатами, расширяет сферу своих приложений и находит все новых и новых приверженцев.

Источник