Для того, чтобы определиться как правильно писать: «догонишь» или «догонешь«, нам следует вспомнить правило правописания гласных «и» и «е» в окончании глаголов 1-го и 2-го спряжения.
Поставим глагол догони(е)шь в неопределенную форму ― «догнать» («гнать«). Не смотря на окончание «-ать«, слово «гнать» относится ко второму спряжению, поскольку является исключением. Поэтому слово «догонишь» правильно писать с окончанием «ишь«.
Примеры предложений, в которых употребляется слово догонишь:
Ты никогда меня не догонишь.
Выпустил словечко ― не догонишь на крылечке.
И как догонишь ее на сломанном автомобиле?
Я так понимаю, что фактически любой глагол-исключение, присоединяя к себе какую-либо из приставок, при этом остаётся исключением. Следовательно, в смысле орфографии концовки, «догнать» равно «гнать». Это, несмотря на «-ать», второе спряжение. Корректно писать будет так, как и любую форму любого глагола, относящегося к данному спряжению.
Когда догонишь, тогда и посмотришь.
Теперь вы знаете какие однокоренные слова подходят к слову Догнать как пишется правильно, а так же какой у него корень, приставка, суффикс и окончание. Вы можете дополнить список однокоренных слов к слову "Догнать как пишется правильно", предложив свой вариант в комментариях ниже, а также выразить свое несогласие проведенным с морфемным разбором.