Слово Как написать параметрическое уравнение прямой по 2 точкам - однокоренные слова и морфемный разбор слова (приставка, корень, суффикс, окончание):

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

Уравнение прямой в отрезках на осях

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁) и N( x ₂, y ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂ и y ₁ ≠ y ₂, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x ₀ y = m t + y ₀

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x ₀, y ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁, z ₁) и N( x ₂, y ₂, z ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂, y ₁ ≠ y ₂ и z ₁ ≠ z ₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x 0
	y = m t + y 0
	z = n t + z 0

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x ₀, y ₀, z ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

Источник

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

Суть уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Необходимо сделать вывод формулы для прямой, которая пересекает эти заданные точки.

Точка \(М (х, у)\) соответствует прямой \(M_ <0>M_<1>\) только в том случае, когда ее радиус-вектор \(\vec\) соответствует следующему условию:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Где t является некоторым действительным числом (параметром). Координатная форма уравнения имеет следующий вид:

Определив параметр t с помощью первого и второго уравнений системы, можно получить доказательство следующего соотношения:

Формула будет иметь следующий вид:

Данное равенство вытекает из канонического уравнения, если выбрать направляющим вектором:

Вектор \(\vecM_<1>>\) будет равен:

То есть, замещая следующие параметры:

Уравнение прямой в отрезках

Пусть координатные оси включают две точки: \(X_<1>\left(x_<1>,0 \right)\) и \(Y_<1>\left(0, y_ <1>\right)\)

Следует отметить следующее условие:

Необходимо записать уравнение прямой, которая проходит через заданные точки, подставив в формулу:

В результате уравнение принимает следующий вид:

Если поменять местами правую и левую части уравнения, то равенство примет такой вид:

Данную формулу называют уравнением прямой в отрезках. С помощью прямой, которая пересекает точки: \(X_<1>\left(x_<1>,0 \right)\) и \(Y_<1>\left(0, y_ <1>\right)\)

координатные оси делят на отрезки х₁ на оси абсцисс и у₁ на оси ординат. Длины отрезков будут рассчитаны следующим образом:

Как записать формулу, канонический вид

Какой-либо вектор, отличный от нуля, проходит по данной прямой или параллельно ей, называют направляющим вектором этой прямой. Для обозначения направляющего вектора произвольной прямой используют букву \(\bar\)

Координаты данного вектора обозначают с помощью букв l, m, n. Таким образом, можно прийти к следующему уравнению:

Уравнение в таком виде называют каноническим.

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки

Канонические уравнения для прямой, которая пересекает следующие точки:

будет записано в следующем виде:

Равные отношения можно обозначить буквой t в канонических уравнениях. В итоге они приобретают такой вид:

Исход из этого, получается равенство:

Данные равенства являются параметрическими уравнениями прямой, которая пересекает точку \(M_<0>\left(x_<0>;y_<0>; z \right)\) в направлении вектора \(\bar=\left\\)

В данном случае t является произвольно изменяющимся параметром, x, y, z представляют собой функции от t. Если изменяется t, то значения x, y, z также меняются. Таким образом, точка M (x; y; z) перемещается вдоль прямой. Если параметр t использовать в качестве переменного времени, а уравнения представить в виде формул, описывающих движение точки М, то с помощью данных уравнений можно определить прямолинейное и равномерное движение точки М. При t равным 0 точка М будет совпадать с точкой M₀.

Скорость V точки М обладает постоянным значением и рассчитывается по формуле:

Примеры задач с решением

Задача 1

Решение

Уравнение прямой, которая проходит через точки:

будет иметь следующий вид:

После того, как координаты точек А и В будут применены к первому уравнению, оно будет записано в такой форме:

После некоторых преобразований получается:

В данном случае наличие ноля в знаменателе не обозначает деление на ноль. Параметрическое уравнение прямой будет записано таким образом:

Если выразить переменные x, y, z с помощью параметра t, в итоге получится:

Задача 2

Решение

Уравнение для прямой, которая пересекает заданные точки:

будет записано таким образом:

После подстановки координат точек А и В в исходную формулу, она приобретет такой вид:

Далее можно записать параметрическое уравнение прямой:

Выразив переменные x, y, z с помощью параметра t, можно получить следующее уравнение:

Ответ: каноническое уравнение прямой, пересекающей заданные точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) записано в следующем виде:

параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:

Источник

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

При подстановке получаем, что

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.

Источник

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

В данной статье мы рассмотрим параметрическое уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения параметрического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в параметрическом виде в канонический и общий виды.

Параметрическое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

(1)

Отметим что при записи уравнения прямой в параметрическом виде, направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором, т.е хотя бы один координат направляющего вектора q должен быть отличным от нуля.

Для построения прямой на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат, заданной параметрическим уравнением (1), достаточно задать параметру t две разные значения, вычислить x и y и провести через эти точки прямую линию. При t=0 имеем точку M₁(x₁, y₁) при t=1, получим точку M₂(x₁+m, y₁+p).

Для составления параметрического уравнения прямой на плоскости L достаточно иметь точку на прямой L и направляющий вектор прямой или две точки, принадлежащие прямой L. В первом случае, для построения параметрического уравнения прямой нужно координаты точки и направляющего вектора вставить в уравнение (1). Во втором случае сначала нужно найти направляющий вектор прямой q=<m, p>, вычисляя разности соответствующих координатов точек M₁ и M₂: m=x₂−x₁, p=y₂−y₁(Рис.1). Далее, аналогично первому случаю, подставить координаты одной из точек (не имеет значение какой именно) и направляющего вектора q прямой в (1).

Можно также вывести формулу параметрического уравнения прямой, проходящей через две точки. Для этого подставим значения m=x₂−x₁, p=y₂−y₁ в (1), получим параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂):

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q=<−3, 5>. Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Для построения параметрического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Пример 2. Прямая проходит через точки M₁=(−5, 2) и M₂=(−2, 3). Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Воспользуемся формулой (2). Подставим координаты точек M₁ и M₂ в уравнение (2):

Упростим полученное уравнение:

Приведение параметрического уравнения на плоскости к каноническому виду

Выразим параметр t в (1) через переменные x и y:

Из выражений (3), можем записать каноническое уравнение прямой на плоскости:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к каноническому виду.

Решение: Выразим параметр t через переменные x и y:

Из выражений (5), можем записать:

Приведение параметрического уравнения на плоскости к общему виду

Для приведения параметрического уравнения прямой на плоскости к общему виду, в формулах (1) выразим из второго уравнения параметр t через переменную y и подставим в первое уравнение:

Умножим обе части уравнения (6) на p и группируем элементы уравнения:

Сделаем обозначения: A=p, B=−m, C=−px₁+my₁. Тогда получим общее уравнение прямой:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к общему виду.

Решение: В уравнении (9) имеем: x₁=−5, y₁=0, m=4, p=−2. Подставим эти значения в формулу (7):

Упростив выражение (10) получим общее уравнение прямой (9):

Источник

Параметрические уравнения прямой на плоскости: описание, примеры, решение задач

Одним из подпунктов темы «Уравнение прямой на плоскости» является вопрос составления параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. В статье ниже рассматривается принцип составления подобных уравнений при определенных известных данных. Покажем, как от параметрических уравнений переходить к уравнениям иного вида; разберем решение типовых задач.

Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости

Конкретная прямая может быть определена, если задать точку, которая принадлежит этой прямой, и направляющий вектор прямой.

Уравнение M 1 M → = λ · a → называют векторно-параметрическим уравнением прямой.

В координатной форме оно имеет вид:

Уравнения полученной системы x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ носят название параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Суть названия в следующем: координаты всех точек прямой возможно определить по параметрическим уравнениям на плоскости вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при переборе всех действительных значений параметра λ

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости

Решение

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Ответ: x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к прочим уравнениям заданной прямой и обратно

В решении некоторых задач применение параметрических уравнений является не самым оптимальным вариантом, тогда возникает необходимость перевода параметрических уравнений прямой в уравнения прямой другого вида. Рассмотрим, как же это сделать.

При этом не должно смущать, если a x или a y будут равны нулю.

Решение

Приравняем правые части системы уравнений и получим требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости:

Решение

Для начала осуществим переход к каноническому уравнению:

Ответ: 3 x + 2 y + 3 = 0

Следуя вышеуказанной логике действий, для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнения прямой в отрезках или нормального уравнения прямой необходимо получить общее уравнение прямой, а от него осуществлять дальнейший переход.

Теперь рассмотрим обратное действие: запись параметрических уравнений прямой при другом заданном виде уравнений этой прямой.

Разрешим полученные уравнения относительно переменных x и y :

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Решение

Ответ: x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Когда необходимо осуществить переход к параметрическим уравнениям от заданного общего уравнения прямой, уравнения прямой с угловым коэффициентом или уравнения прямой в отрезках, необходимо исходное уравнение привести к каноническому, а после осуществлять переход к параметрическим уравнениям.

Решение

Заданное общее уравнение преобразуем в уравнение канонического вида:

Приравняем обе части равенства к параметру λ и получим требуемые параметрические уравнения прямой:

Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости

Рассмотрим чаще всего встречаемые типы задач с использованием параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.

Решение

Решение

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной прямой; точка N 0 не принадлежит заданной прямой.

Решение

Решение

Решение

Чтобы определить искомые координаты нормального вектора, осуществим переход от параметрических уравнений к общему уравнению:

Источник