Квадратичная функция. Построение параболы
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.
Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.
Построение квадратичной функции
Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:
График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :
Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:
Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:
Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:
Рассмотрим три случая:
Если a > 0, то график выглядит как-то так:
0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>
На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.
Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:
Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.
Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).
На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:
Алгоритм построения параболы
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.
Как строим:
В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:
Как строим:
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)
Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).
Как строим:
Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:
(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.
Определим координаты вершины параболы:
Найти точку пересечения с осью OY:
с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.
Уравнение по трем точкам: как найти вершину параболы, формула
Многие технические, экономические и социальные вопросы прогнозируются при помощи кривых. Наиболее используемым типом среди них является парабола, а точнее, ее половина. Важной составляющей любой параболической кривой является ее вершина, определение точных координат которой иногда играет ключевую роль не только в самом отображении протекания процесса, но и для последующих выводов. О том, как найти ее точные координаты, и пойдет речь в данной статье….
Начало поиска
Перед тем как перейти к поиску координат вершины параболы, ознакомимся с самим определением и его свойствами. В классическом понимании параболой называется такое расположение точек, которые удалены на одинаковом расстоянии от конкретной точки (фокус, точка F), а также от прямой, которая не проходит через точку F. Рассмотрим данное определение более предметно на рисунке 1.
Рисунок 1. Классический вид параболы
На рисунке изображена классическая форма. Фокусом является точка F. Директрисой в данном случае будет считаться прямая параллельная оси Y (выделена красным цветом). Из определения можно удостовериться, что абсолютно любая точка кривой, не считая фокуса, имеет себе подобную с другой стороны, удаленную на таком же расстояние от оси симметрии, как и сама. Более того, расстояние от любой из точек на параболе равно расстоянию до директрисы. Забегая вперед, скажем, что центр функции не обязательно должен находиться в начале координат, а ветки могут быть направлены в разные стороны.
Парабола, как и любая другая функция, имеет свою запись в виде формулы:
(1).
В указанной формуле буква «s» обозначает параметр параболы, которая равна расстоянию от фокуса до директрисы. Также есть и другая форма записи, указано ГМТ, имеющая вид:
(2).
Такая формула используется при решении задач из области математического анализа и применяется чаще, чем традиционная (в силу удобства). В дальнейшем будем ориентироваться на вторую запись.
Это интересно! Первый признак равенства треугольников: доказательство
Расчет коэффициентов и основных точек параболы
К числу основных параметров принято относить расположение вершины на оси абсцисс, координаты вершины на оси ординат, параметр директрисы.
Численное значение координаты вершины на оси абсцисс
Если уравнение параболы задано в классическом виде (1), то значение абсциссы в искомой точке будет равняться половине значения параметра s (половине расстояния между директрисой и фокусом). В случае, если функция представлена в виде (2), то x нулевое рассчитывается по формуле:
(3).
Т.е., глядя на эту формулу, можно утверждать, что вершина будет находиться в правой половине относительно оси y в том случае, если один из параметров a или b будет меньше нуля.
Уравнение директрисы определяется следующим уравнением:
(4).
Это интересно! Что такое деление с остатком: примеры для ребенка в 3, 4 классе
Значение вершины на оси ординат
Численное значение местонахождения вершины для формулы (2) на оси ординат можно найти по такой формуле:
.
Отсюда можно сделать вывод, что в случае если а<,0, то вершина кривой будет находиться в верхней полуплоскости, в противном случае – в нижней. При этом точки параболы будут обладать теми же свойствами, что были упомянуты ранее.
Если дана классическая форма записи, то более рациональным будет вычисление значения расположения вершины на оси абсцисс, а через него и последующее значение ординаты. Отметим, что для формы записи (2), ось симметрии параболы, в классическом представлении, будет совпадать с осью ординат.
Важно! При решении заданий с использованием уравнения параболы прежде всего выделите основные значения, которые уже известны. Более того, нелишним будет, если будут определены недостающие параметры. Такой подход заранее даст большее «пространство для маневра» и более рациональное решение. На практике старайтесь использовать запись (2). Она более проста для восприятия (не придется «переворачивать координаты Декарта), к тому же подавляющее количество заданий приспособлено именно под такую форму записи.
Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника
Построение кривой параболического типа
Используя распространенную форму записи, перед тем как построить параболу, требуется найти ее вершину. Проще говоря, необходимо выполнить следующий алгоритм:
Т.е. алгоритм не представляет собой ничего сложного, основной акцент делается на том, как найти вершину параболы. Дальнейший процесс построения можно считать механическим.
При условии, что даны три точки, координаты которых известны, прежде всего необходимо составить уравнение самой параболы, а потом повторить порядок действий, который был описан ранее. Т.к. в уравнении (2) присутствуют 3 коэффициента, то, используя координаты точек, вычислим каждое из них:
(5.1).
(5.2).
(5.3).
В формулах (5.1), (5.2), (5.3) применяются соответственно тех точек, которые известны (к примеру А ( 
, B 
(, C ( 
. Таким путем находим уравнение параболы по 3 точкам. С практической стороны такой подход не является самым «приятным», однако он дает четкий результат, на основе которого впоследствии строится сама кривая.
При построении параболы всегда должна присутствовать ось симметрии. Формула оси симметрии для записи (2) будет иметь такой вид:
(6).
Т.е. найти ось симметрии, которой симметричны все точки кривой, не составляет труда. Точнее, она равна первой координате вершины.
Это интересно! Изучаем математику в игровой форме: как ребенку быстро выучить таблицу умножения
Наглядные примеры
Пример 1. Допустим, имеем уравнение параболы:
Требуется найти координаты вершины параболы, а также проверить, принадлежит ли точка D (10, 5) данной кривой.
Решение: Прежде всего проверим принадлежность упомянутой точки самой кривой
Откуда делаем вывод, что указанная точка не принадлежит заданной кривой. Найдем координаты вершины параболы. Из формул (4) и (5) получаем такую последовательность:
Пример 2. Найти вершину параболы, зная три точки, которые ей принадлежат: A (2,3), B (3,5), C (6,2). Используя формулы (5.1), (5.2), (5.3), найдем коэффициенты уравнения параболы. Получим следующее:
Используя полученные значения, получим следующие уравнение:
На рисунке заданная функция будет выглядеть следующим образом (рисунок 2):
Рисунок 2. График параболы, проходящий через 3 точки
Т.е. график параболы, который проходит по трем заданным точкам, будет иметь вершину в 1-й четверти. Однако ветки данной кривой направлены вниз, т.е. имеется смещение параболы от начала координат. Такое построение можно было предвидеть, обратив внимание на коэффициенты a, b, c.
В частности, если a<,0, то ветки» будут направлены вниз. При a>,1 кривая будет растянута, а если меньше 1 – сжата.
Константа c отвечает за «движение» кривой вдоль оси ординат. Если c>,0, то парабола «ползет» вверх, в противном случае – вниз. Относительно коэффициента b, то определить степень влияния можно лишь изменив форму записи уравнения, приведя ее к следующему виду:
Если коэффициент b>,0, то координаты вершины параболы будут смещены вправо на b единиц, если меньше – то на b единиц влево.
Важно! Использование приемов определения смещения параболы на координатной плоскости подчас помогает экономить время при решении задач либо узнать о возможном пересечении параболы с другой кривой еще до построения. Обычно смотрят только на коэффициент a, так как именно он дает четкий ответ на поставленный вопрос.
Полезное видео: как найти вершину параболы
Полезное видео: как легко составить уравнение параболы из графика
Вывод
Такой как алгебраический процесс, как определение вершин параболы, не является сложным, но при этом достаточно трудоемкий. На практике стараются использовать именно вторую форму записи с целью облегчения понимания графического решения и решения в целом. Поэтому настоятельно рекомендуем использовать именно такой подход, и если не помнить формулы координаты вершины, то хотя бы иметь шпаргалку.
Как найти уравнение параболы с учетом двух точек?
Как найти уравнение параболы с двумя точками и осью симметрии, но без вершины?
В связи с этим, каково значение p по параболе?
Абсолютное значение p равно расстояние между вершиной и фокусом и расстояние между вершиной и директрисой. (Знак на p говорит мне, в какую сторону смотрит парабола.) Поскольку фокус и направляющая находятся на двух единицах друг от друга, тогда это расстояние должно быть одной единицей, поэтому | p | = 1.
В связи с этим, как найти уравнение двух точек?
Шаги, чтобы найти уравнение прямой из двух точек:
Кроме того, как найти уравнение параболы?
Учитывая y = ax
2
+ bx + c, мы должны пройти следующие шаги, чтобы найти точки и форму любой параболы:
Как найти P в параболическом графе?
Чтобы найти p алгебраически, просто установите коэффициент при x или y = 4p, затем решите относительно p. Иногда вам может потребоваться сначала заполнить квадрат, чтобы привести уравнение в стандартную форму. Графически p = половина расстояния между вершиной и директрисой на оси симметрии.
Как найти точку поворота параболы?
Если парабола открывается, вершина представляет самую низкую точку на графике или минимальное значение квадратичной функции. Если парабола раскрывается вниз, вершина представляет собой наивысшую точку на графике или максимальное значение. В любом случае вершина является поворотной точкой на графике.
Какова формула пересечения оси Y?
Как найти точку пересечения оси Y в уравнении?
Нахождение пересечений по оси x и оси y
Как найти уравнение графика?
Как найти уравнение параболы из графика?
Может ли парабола не иметь пересечения по оси Y?
Все параболы имеют неопределенную U-образную форму, и у них будет самая высокая или самая низкая точка, которая называется вершиной. Параболы могут открываться вверх или вниз и могут иметь или не иметь х-перехватчиков и у них всегда будет один перехват y. … Пунктирная линия с каждой из этих парабол называется осью симметрии.
Как найти 4p параболы?
Что означает 4p в математике?
Какая формула параболы?
Что такое парабола?
Как найти точку поворота на графике?
Поворотный момент будет всегда быть минимальным или максимальным значением вашего графика. Чтобы найти точку поворота квадратного уравнения, нам нужно запомнить пару вещей: парабола (кривая) симметрична. Если мы знаем значение x, мы можем вычислить значение y!
Как найти поворотный момент для производной?
Чтобы найти точки поворота на функции, найти первую производную функции, а затем установить результат в 0. если вы затем решите это уравнение, вы найдете положения поворотных точек.
Сколько y пересечений может иметь парабола?
Параболы могут иметь как точки пересечения по оси X, так и точки пересечения по оси Y
Парабола может иметь либо 2,1 или ноль вещественных x перехватов.
Какой пример перехвата по оси Y?
Y-пересечение графика точка пересечения графика с осью Y. … Когда уравнение прямой записано в форме пересечения угла наклона (y = mx + b), точка пересечения y b может быть сразу же считана из уравнения. Пример 1: График y = 34x − 2 имеет точку пересечения y в точке −2.
Какова формула для наклона и пересечения по оси Y?
Уравнение линии записывается в форме пересечения наклона, которая имеет следующий вид: у = мх + б, где m представляет наклон, а b представляет точку пересечения с y.
Что такое Y-пересечение в стандартной форме?
Как найти наклон и точку пересечения по оси Y уравнения?
Что такое пересечение оси Y, когда даны две точки?
Как написать уравнение параболы зная точку и вершину
Глава 20. Парабола
Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение
.
Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле
.
Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.
(2)
В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение
(3)
если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и
(4)
если в нижней полуплоскости (рис.)
Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.
Парабола:
Определение: Параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки F, называемой фокусом параболы, и прямой (l), называемой директрисой.
Получим каноническое уравнение параболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокус F лежал на оси абсцисс, а директриса проходила бы через точку, расположенную симметрично фокусу, перпендикулярно к оси абсцисс (Рис. 34). Пусть точка M(х; у) принадлежит параболе: Вычислим расстояния от точки M(х; у) до фокуса и директрисы
Рис. 34. Парабола, (уравнение директрисы
.
Возведем обе части уравнения в квадрат
Раскрывая разность квадратов, стоящую в правой части уравнения, получим каноническое уравнение параболы: 
(а также аналогичные ему, см. Рис. 35а и Рис. 356).
Рис. 35а. Параболы и их уравнения.
Рис. 356. Параболы и их уравнения.
Найдем координаты точек пересечения параболы с координатными осями:
Определение: Точка О(0; 0) называется вершиной параболы.
Если точка М(х; у) принадлежит параболе, то ей принадлежат и точка 
следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.
Пример:
Дано уравнение параболы 
Определить координаты фокуса параболы и составить уравнение параболы.
Решение:
Так как из уравнения параболы 
следует, что 
следовательно, 
Таким образом, фокус этой параболы лежит в точке 
а уравнение директрисы имеет вид 
Пример:
Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат, а параметр р равен расстоянию от фокуса гиперболы 
до её асимптоты.
Решение:
Для определения координат фокусов гиперболы преобразуем её уравнение к каноническому виду.
Гипербола: 
Следовательно, каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат имеет вид: 
Пример:
Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 
Написать уравнение директрисы.
Решение:
Для определения координат фокусов эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: 
Следовательно, большая полуось эллипса 
а малая полуось 
Так как 
, то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса 
Итак, 
Так как фокус параболы 
совпадает с одним из фокусов 
или 
эллипса, то параметр р найдем из равенства 
уравнение параболы имеет вид 
Директриса определяется уравнением 
Уравнение параболоида вращения
Пусть вертикальная парабола
расположенная в плоскости Охz, вращается вокруг своей оси (ось Oz). При вращении получается поверхность, носящая название параболоида вращения (рис. 207).
Для вывода уравнения поверхности рассмотрим произвольную точку 
параболоида вращения, и пусть эта точка получена в результате вращения точки N(X, 0, Z) данной параболы вокруг точки С(0, 0, Z).
Так как точки М и N расположены в одной и той же горизонтальной плоскости и CN = СМ как радиусы одной и той же окружности, то имеем
Подставляя формулы (2) в уравнение (1), получим уравнение параболоида вращения
Заметим, что форму параболоида вращения имеет поверхность ртути, находящейся в вертикальном цилиндрическом сосуде, быстро вращающемся вокруг своей оси. Это обстоятельство используют в технике для получения параболических зеркал.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.