Слово Как пишется алгебраическое дополнение - однокоренные слова и морфемный разбор слова (приставка, корень, суффикс, окончание):

Минор и алгебраическое дополнение матрицы

Что такое минор и алгебраическое дополнение матрицы

Минор Mij к элементу aij определителя n-го порядка является определителем (n−1)-го порядка, получающимся из начального определителя после исключения i-той строки и j-того столбца.

Исходя из определения, минор представляет собой определитель, который остается после того, как вычеркнуть конкретную строку и конкретный столбец. К примеру, M12 будет получен в результате устранения первой строки и второго столбца. Для того чтобы получить M34 следует вычеркнуть третью строку и четвертый столбец.

Найти миноры с помощью вычерков можно, следуя алгоритму:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Порядок действия при определении алгебраического дополнения следующий:

Общие понятия, основные формулы

Предположим, что существует какая-то квадратная матрица или квадратная матрица n-го порядка:

\(Минор \ M_ \ элемента \ a_ \ матрицы \ A_\) будет являться определитель матрицы, которая получается из матрицы A в результате устранения i-й строки и j-го столбца, которые расположены таким образом, что их пересечение совпадает с элементом \(a_.\)

В качестве доказательства можно рассмотреть такую квадратную матрицу четвертого порядка:

Данный минор достаточно просто рассчитать с помощью теоремы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Расчет будет следующий:

Таким образом, минор элемента \(a_<32>\) равен 579, то есть \(M_<32>=579\)

Нередко в тематической литературе вместо «минор элемента матрицы» употребляют понятие «минор элемента определителя». Смысл выражения сохраняется. Таким образом, для вычисления минора элемента \(a_\) требуется исключить из начального определителя i-ю строку и j-й столбец. Элементы, которые остались, следует записать в новый определитель, который представляет собой минор элемента \(a_.\)

В качестве примера можно рассчитать минор элемента \(a_<12>\) определителя:

Вычислить минор целесообразно с помощью формулы для расчета определителей второго и третьего порядков:

В результате минор элемента \(a_<12>\) составит 83, то есть \(M_<12>=83\)

где \(M_\) является минором элемента \(a_.\)

В качестве примера можно рассчитать алгебраическое дополнение элемента \(a_<32>\) матрицы:

Как правило, при определении алгебраических дополнений не требуется выполнять отдельный расчет минора перед вычислением непосредственно дополнения. К примеру, если требуется определить \(A_<12>\) при условии, что:

Необходимо записать справедливое равенство:

Рассчитать \(M_<12>\) легко с помощью вычерка первой строки и второго столбца матрицы А. Поэтому нет необходимости вводить лишнее обозначение для минора. Достаточно сразу записать уравнение для алгебраического дополнения \(A_<12>\) :

Решение миноров и алгебраических дополнений

Миноры и алгебраические дополнения встречаются в задачах не только с квадратными матрицами, но и прямоугольными. Во втором случае матрицы отличаются тем, что количество строк не обязательно совпадает с количеством столбцов. К примеру, записана матрица:

В рассматриваемой матрице m строк и n столбцов. Минор k-го порядка матрицы \(A_\) представляет собой определитель с элементами, расположенными на пересечении k строк и k столбцов матрицы A. Следует учитывать, что при этом k≤ m и k≤ n.

В качестве примера можно рассмотреть матрицу:

Можно записать для нее какой-то минор третьего порядка. Для этого следует отобрать какие-то три строки и три столбца рассматриваемой матрицы. Выберем для расчета строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. Данные строки и столбцы будут пересекаться в том месте, где расположены элементы искомого минора.

\(M=\left|\begin 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end \right|.\)

Расположение миноров первого порядка будет совпадать с пересечением одной строки и одного столбца. Таким образом, выводим равенство миноров первого порядка элементам рассматриваемой матрицы.

Минор k-го порядка матрицы \(A_=(a_)\) является ключевым в том случае, когда главная диагональ рассматриваемого минора включает исключительно ключевые диагональные элементы матрицы A.

Главные диагональные элементы представляют собой такие элементы матрицы, которые содержат индексы, равные \( a_<11>, a_<22>, a_<33>\) и так далее. К примеру, матрица А, которая рассматривается в примере, содержит элементы \(a_<11>=-1, a_<22>=7, a_<33>=18, a_<44>=8.\)

В том случае, когда в матрице А исключены строки и столбцы, которые соответствуют номерам 1 и 3, их пересечение будет совпадать с элементами минора второго порядка. Главная диагональ этого минора будет содержать лишь диагональные элементы матрицы А. К примеру, такими элементами являются элементы \( a_<11>=-1\) и \(a_<33>=18\) матрицы A. Таким образом, главный минор второго порядка будет равен:

В том случае, если выбрать строки и столбцы с другими номерами, получится другой главный минор второго порядка.

Можно предположить, что какой-то минор M k-го порядка матрицы A_ обладает ненулевым значением, то есть M\neq 0. В данном случае, для всех миноров с порядками выше, чем k, справедливо равенство нулю. Тогда минор M является базисным, а строки и столбцы, содержащие элементы базисного минора, носят названием базисных строк и базисных столбцов.

В качестве примера можно рассмотреть следующую матрицу:

Запись минора рассматриваемой матрицы с элементами, распложенными на месте, где пересекаются строки №1, №2, №3 и столбцы №1, №3, №4, представляет собой минор третьего порядка и имеет следующий вид:

Рассчитать значение искомого минора можно, используя правило для расчета определителей второго и третьего порядков:

Далее можно попытаться записать какой-либо минор с порядком выше, чем 3. Для составления минора четвертого порядка необходимо воспользоваться четвертой строкой, элементы которой имеют нулевые значения. Исходя из этого, можно заключить, что любой минор четвертого порядка обладает нулевой строкой. Таким образом, значение каждого из миноров четвертого порядка равно нулю. Записать миноры пятого порядка и выше не представляется возможным по причине наличия в матрице А всего четырех строк.

По результатам вычислений удалось определить минор третьего порядка с ненулевым значением. Одновременно с этим, миноры более высоких порядков равны нулю, из чего можно сделать вывод: рассматриваемый минор является базисным. Строки №1, №2, №3 матрицы А, которые содержат элементы данного минора, являются базисными строками, а столбцы №1, №3, №4 матрицы А — базисными столбцами.

Пример, который был рассмотрен, является тривиальным. Однако с его помощью удобно продемонстрировать смысл базисного минора. В реальных условиях базисных миноров может быть более одного, а решение подобных задач на нахождение подобного минора существенно сложнее и объемнее.

Еще одним важным термином является окаймляющий минор. Для раскрытия понятия можно предположить, что какой-то минор k-го порядка M матрицы \(A_\) находится в месте, где пересекаются k строки и k столбцы. Если прибавить к совокупности данных строк и столбцов дополнительные строку и столбец, то минор (k+1)-го порядка, который получился в результате, представляет собой окаймляющий минор для минора M.

В качестве примера можно рассмотреть матрицу:

В первую очередь нужно записать минор второго порядка с элементами, расположенными в месте, где пересекаются строки №2 и №5, а также столбцы №2 и №4.

\(M=\left|\begin -17 & 19 \\ 12 & 21 \end \right|\)

К комплекту строк с элементами минора М требуется прибавить одну строку №1, а к столбцам — столбец №5. В результате манипуляций получится новый минор M’ третьего порядка с элементами, расположенными там, где пересекаются строки №1, №2, №5 и столбцы №2, №4, №5.

Минор M’ представляет собой окаймляющий минор для минора M. Таким же образом, путем добавления к комплекту строк с элементами минора М строки №4, а к совокупности столбцов — столбца №3, можно записать минор M», то есть минор третьего порядка.

Минор M», аналогично предыдущему, представляет собой окаймляющий минор для минора M.

Предположим, что существует какой-то минор M k-го порядка матрицы \(A_.\)

Определитель (n-k)-го порядка с элементами, полученными из матрицы A путем исключения строк и столбцов, которые содержали минор M, называется минором, дополнительным к минору M.

В качестве примера можно рассмотреть квадратную матрицу пятого порядка:

В рассматриваемой матрице можно выбрать строки №1 и №3, столбцы №2 и №5. Пересечение данных строк и столбцов будет совпадать с элементами минора М второго порядка.

Далее следует исключить из матрицы А строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении данных компонентов расположены элементы минора М. Элементы, которые остались нетронутыми, сформируют минор M’.

Минор M’ с порядком, соответствующим 5-2=3, представляет собой минор, являющийся дополнительным к минору M.

Запись алгебраического дополнения к минору M квадратной матрицы \(A_\) имеет следующий вид:

В данном случае \alpha является суммой номеров строк и столбцов матрицы A, содержащих элементы минора M, а M’ является дополнительным к минору M. Термин «алгебраическое дополнение к минору M», как правило, формулируют таким образом: «алгебраическое дополнение минора M».

В качестве примера можно рассмотреть матрицу А. Ранее для рассматриваемой матрицы был определен в ходе расчетов минор второго порядка:

Дополнительным к данному минору является такой минор третьего порядка:

В качестве обозначения алгебраического дополнения минора M целесообразно использовать: M^*

Исходя из определения, получим:

Параметр \alpha представляет собой сумму номеров строк и столбцов, которым соответствует минор М. Расположение данного минора соответствует пересечению строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Таким образом:

В результате можно записать:

Благодаря формуле для расчета определителей второго и третьего порядков, представляется возможным вычислить алгебраическое дополнение:

Источник

Алгебраическое дополнение матрицы

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства алгебраического дополнения матрицы, приведем формулу, с помощью которой его можно найти, а также разберем пример для лучшего понимания теоретического материала.

Определение и нахождение алгебраического дополнения

Пример
Вычислим алгебраическое дополнение A₃₂ к a₃₂ определителя ниже:

Свойства алгебраического дополнения

1. Если просуммировать произведения элементов произвольной строки и алгебраических дополнений к элементам строки i определителя, то получится определитель, в котором вместо строки i стоит данная произвольная строка.

2. Если просуммировать произведения элементов строки (столбца) определителя и алгебраических дополнений к элементами другой строки (столбца), то получится ноль.

3. Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя и алгебраических дополнений к элементам данной строки (столбца) равняется определителю матрицы.

Источник

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число

,

Свойства

Название «алгебраическое дополнение» связано с формулами разложения определителя матрицы по строке (по столбцу):

Лемма о фальшивом разложении определителя утверждает, что

при и .

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Алгебраическое дополнение» в других словарях:

Алгебраическое дополнение — [co factor] понятие матричной алгебры; применительно к элементу aij квадратной матрицы А образуется путем умножения минора элемента aij на ( 1)i+j; обозначается Аij: Aij=( 1)i+jMij, где Mij минор элемента aij матрицы A=[aij], т.е. определитель… … Экономико-математический словарь

алгебраическое дополнение — Понятие матричной алгебры; применительно к элементу aij квадратной матрицы А образуется путем умножения минора элемента aij на ( 1)i+j; обозначается Аij: Aij=( 1)i+jMij, где Mij минор элемента aij матрицы A=[aij], т.е. определитель матрицы,… … Справочник технического переводчика

Алгебраическое дополнение — см. в ст. Определитель … Большая советская энциклопедия

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ — для минора М число, равное где М минор порядка k, расположенный в строках с номерами и столбцах с номерами некоторой квадратной матрицы Апорядка п; определитель матрицы порядка n k, полученной из матрицы Авычеркиванием строк и столбцов минора М;… … Математическая энциклопедия

Дополнение — В Викисловаре есть статья «дополнение» Дополнение может означать … Википедия

ДОПОЛНЕНИЕ — операция, к рая ставит в соответствие подмножеству Мданного множества Xдругое подмножество так, что если известны Ми N, то тем или иным способом может быть восстановлено множество X. В зависимости от того, какой структурой наделено множество X,… … Математическая энциклопедия

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ — или детерминант, в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число ( значение определителя). Очень часто под понятием определитель имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи.… … Энциклопедия Кольера

Теорема Лапласа — О теореме из теории вероятностей см. статью Локальная теорема Муавра Лапласа. Теорема Лапласа одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера Симона Лапласа (1749 1827), которому приписывают формулирование… … Википедия

Матрица Кирхгофа — (Laplacian matrix) одно из представлений графа с помощью матрицы. Матрица Кирхгофа используется для подсчета остовных деревьев данного графа (матричная теорема о деревьях), а также используется в спектральной теории графов. Содержание 1… … Википедия

УРАВНЕНИЯ — Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида… … Энциклопедия Кольера

Источник

Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.

В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме «Матрицы. Виды матриц. Основные термины». Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей. Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Например, рассмотрим такую матрицу:

Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:

Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.

Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, – например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.

Для примера рассмотрим такую матрицу:

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель – наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.

Введём ещё одно понятие – окаймляющий минор.

Для примера обратимся к такой матрице:

Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:

Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.

Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Источник

Минор и алгебраическое дополнение

Вы будете перенаправлены на Автор24

Для квадратной матрицы в теории матриц вводятся понятия «минор элемента» и «алгебраическое дополнение».

Для прямоугольной матрицы вводится понятие «минор k-го порядка».

Готовые работы на аналогичную тему

Схема формирования минора 3-го порядка изображена на рисунке.

$M=\left|1\right|=1$ (пересечение первой строки с первым столбцом);

$M=\left|\begin <1>& <9>\\ <1>& <3>\end\right|=1\cdot 3-1\cdot 9=3-9=-6$ (пересечение первой и третьей строк с первым и вторым столбцами).

Из примера видно, что миноры первого порядка совпадают с элементами исходной матрицы.

$M=\left|\begin <1>& <9>\\ <0>& <-3>\end\right|=1\cdot (-3)-0\cdot 9=-3$ (пересечение первой и второй строки, первого и второго столбца).

$M=\left|\begin <1>& <-2>\\ <1>& <4>\end\right|=1\cdot 4-1\cdot (-2)=4+2=6$ (пересечение первой и третьей строки, первого и третьего столбца).

$M=\left|\begin <1>& <-2>\\ <0>& <2>\end\right|=1\cdot 2-0\cdot (-2)=2-0=2$ (пересечение первой и второй строки, первого и третьего столбца).

Любой минор 3-го порядка совпадает с исходной матрицей. Так как матрица имеет нулевой столбец, то ее определитель равен нулю. Следовательно, найденный минор является базисным.

$M=\left|\begin <1>& <2>\\ <4>& <2>\end\right|=1\cdot 2-4\cdot 2=2-8=-6$ (пересечение первой и второй строки, первого и второго столбца).

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 18 11 2021

Источник