Числовой коэффициент выражения, определение, примеры.
В математических описаниях используется термин «числовой коэффициент», в частности, при работе с буквенными выражениями и выражениями с переменными удобно использовать понятие числового коэффициента выражения. В этой статье мы дадим определение числового коэффициента выражения и разберем примеры его нахождения.
Навигация по странице.
Определение числового коэффициента, примеры
В учебнике Н. Я. Виленкина математика для 6 классов дается следующее определение числового коэффициента выражения.
Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения.
К слову, числовой коэффициент часто называют просто коэффициентом.
А в произведении 5·a·2·b·3·c содержится не одно, а три числа. Для определения числового коэффициента этого выражения, его нужно преобразовать в произведение, содержащее единственный числовой множитель. Как это делается, мы разберемся в следующем пункте этой статьи, в этом заключается процесс нахождения числового коэффициента выражения.
Нахождение числового коэффициента выражения
Когда выражение представляет собой произведение с одним числовым множителем, этот множитель и является числовым коэффициентом. Когда выражение имеет другой вид, то нахождение его числового коэффициента подразумевает предварительное выполнение некоторых тождественных преобразований, с помощью которых исходное выражение приводится к произведению с одним числовым множителем.
Алгебраические выражения
Алгебраическое выражение — это запись, составленная со смыслом, в которой числа могут быть обозначены и буквами, и цифрами. Также она может содержать знаки арифметических действий и скобки.
Любую букву, обозначающую число, и любое число, изображённое с помощью цифр, принято считать в алгебре также алгебраическим выражением.
Алгебраические выражения, входящие в состав формул, могут применяться к решению частных арифметических задач, если в них заменить буквы данными числами и произвести указанные действия. Число, которое получится, если взять вместо букв какие-либо числа и произвести над ними указанные действия, называется численной величиной алгебраического выражения. Из этого легко сделать вывод, что одно и то же алгебраическое выражение при различных значениях входящих в него букв может иметь различные числовые величины.
при a = 2, m = 5, b = 1, n = 4 вычисляется:
а при a = 3, m = 4, b = 5, n = 1 вычисляется:
3 · 4 + 5 · 1 = 17 и т. д.
при a = 1, b = 2, c = 3 равно:
а при a = 2, b = 3, c = 4 равно:
Коэффициент
Коэффициент — это числовой множитель алгебраического выражения, представляющего собой произведение нескольких сомножителей. Коэффициент в выражении ставится перед всеми остальными буквенными множителями. Таким образом,
произведение чисел a, b, c, d, 4 записывается так: 4abcd;
произведение чисел m, n, 
, p записывается так: 
.
Числа 4 и — это коэффициенты. Очевидно, что
.
Итак, коэффициент показывает, сколько раз целое алгебраическое выражение или известная его часть берется слагаемым.
Если в алгебраическом выражении нет числового множителя, то подразумевается, что коэффициент равен единице, так как
Виды выражений
Алгебраическое выражение, в которое не входят буквенные делители, называется целым, в противном случае дробным или алгебраической дробью.
Целые алгебраические выражения:
Дробные алгебраические выражения:
Выражения, не содержащие корней, называются рациональными, а содержащие корни — иррациональными или радикальными. Например, все выражения, приведённые выше, являющиеся целыми или дробными, так же можно назвать и рациональными.
Числовой коэффициент — как найти его для буквенно-числовых и буквенных выражений
«Числовой коэффициент», или просто «коэффициент» — термин, который подразумевает под собой одно и то же математическое понятие. Усвоить, в чем смысл термина, очень просто, а найти числовой коэффициент на конкретном примере еще легче. Но для начала разберемся с официальным определением.
Что называют математическим числовым коэффициентом?
Согласно учебнику математики, если выражение состоит из одного числа и нескольких буквенных обозначений, умноженных друг на друга, то данное число и будет коэффициентом всего выражения. При этом количество букв не имеет значения — число может быть умножено на одну букву, на две или сразу на пять, оно все равно остается коэффициентом.
Например, рассмотрим следующие выражения:
Необходимо напомнить, что последнее правило распространяется и на выражения, где числовые обозначения стоят не друг рядом с другом, а разделены буквами. Например, 2*c*4*a — мы можем смело переписывать данное выражение в виде 2*4*с*а, потому что при умножении не имеет значения, в каком порядке стоят множители. И таким образом, коэффициент по-прежнему находится легко и просто — это будет число «8».
Не стоит теряться, если в задаче предлагается найти коэффициент для буквенного выражения без чисел — например, y*z. В данном случае всегда используется число «1» — поскольку выражение из примера можно записать в виде 1*y*z. Коэффициент находится в выражениях и с положительными, и с отрицательными множителями.
В каких случаях найти коэффициент для всего выражения нельзя?
Общий коэффициент не может быть найден, если предусмотрены другие действия, помимо умножения. Например, если взять 3*с + а, то число «3» будет коэффициентом лишь для одного из слагаемых, но никак не для всего выражения.
ЭСБЕ/Коэффициент, в алгебре
 Словник: Конкорд — Коялович. Источник: т. XVI (1895): Конкорд — Коялович, с. 480 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю. |
Коэффициент (в алгебре) — постоянное количество, показывающее сколько раз некоторая буква или целое алгебраическое выражение должно быть взято слагаемым; так
Здесь числа 3 и 2 суть К., показывающие, что буква а должна быть сложена три раза, а выражение х+у — два раза. К. могут быть числа целые, положительные и отрицательные, дробные, иррациональные и вообще какие угодно количества; в этих случаях К. имеет значение лишь постоянного множителя. — Термин дифференциальный К. употребляется иногда вместо слова производная (см. Дифференциальное исчисление).
Коэффициентом полезного действия (в механике) называется правильная дробь, на которую следует помножить работу, получаемую машиной от двигателя, чтобы получить величину полезной работы, производимой машиной, так как первая из этих работ идет частью на преодоление бесполезных сопротивлений самой машины.
Коэффициент безопасности (строит.) — число, на которое делится действительная крепость (временное или предельное сопротивление) материала, для получения допускаемого, безопасного напряжения материала при употреблении его в постройках или в конструкции машин. К. этот колеблется в некоторых пределах, в зависимости от большей или меньшей однородности состава материала, постоянства его качеств и долговечности, а также в зависимости от значения и характера конструкции. К. безопасности таким образом принимается: для получения прочного сопротивления металлов — от 3 до 6, для дерева от 6 до 12, для камней от 15 до 30. Для более важных материалов и конструкций К. безопасности устанавливается административными распоряжениями правительственного ведомства, которому подлежит надзор за производством построек и работ.
К. устойчивости — при расчете размеров стен, опор и сводов, вообще таких частей сооружений, которые могут подвергнуться опасности опрокидывания, — число, на которое длится сила, достаточная для опрокидывания, чтобы получить величину допускаемой в действительности безопасной опрокидывающей силы. Задавшись этим числом и зная род и величину сил, действующих на сооружение, определяют его размеры. К. устойчивости обыкновенно принимается от 1,5 до 2,5, а для опор железнодорожных мостов без насыпи — до 3.
Урок 41 Бесплатно Коэффициент
В предыдущих уроках мы уже познакомились со свойствами действий с рациональными числами и раскрытием скобок. В этих темах у нас зачастую фигурируют не числа, а выражения.
В некоторых случаях у выражения можно выделить такое число, которое называют коэффициентом.
О том, что это такое, чему он равен, какой у него может быть знак и где его можно применить, мы узнаем в сегодняшнем уроке.
Определение коэффициента
Мы уже знаем переместительное и сочетательное свойства умножения.
Они позволяют нам упрощать выражения, что делает работу удобнее.
Упростим выражение \(\mathbf<\frac<1><2>a\cdot(-\frac<2><3>b)>\), используя эти свойства.
\(\mathbf<\frac<1><2>a\cdot(-\frac<2><3>b)=\frac<1><2>\cdot a\cdot(-\frac<2><3>)\cdot b=\frac<1><2>\cdot(-\frac<2><3>)\cdot a\cdot b=-\frac<1><3>\cdot a\cdot b=-\frac<1><3>ab>\)
Мы представили выражения как произведение четырех множителей, сгруппировали в начало численные множители, а в конец буквенные, далее мы перемножили имеющиеся численные множители так, чтобы получилось одно число.
В данном случае коэффициентом выражения будет являться число \(\mathbf<-\frac<1><3>>\)
Определение: если выражения является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называется числовым коэффициентом (или сокращенно коэффициентом).
Коэффициент обычно пишут перед буквенными множителями; также после него можно написать знак умножения, но обычно его не пишут, а он просто подразумевается.
Пример:
Каков коэффициент выражения \(\mathbf<0.4a>\)?
Проверяем, подходит ли выражение под определение: да, оно подходит, так как является произведением.
Числовой множитель только один, значит, ничего считать не надо, и мы сразу можем сказать, что коэффициент данного выражения равен \(\mathbf<0.4>\)
Пример:
Опять же, данное выражение является произведением, правда коэффициент пока не ясен, так как числовой множитель не один.
В данном случае, как и в примере из начала урока множители необходимо сгруппировать, в результате получим, что коэффициент равен \(\mathbf<3\cdot 2\cdot 4=24>\)
Что если мы хотим посчитать коэффициент выражения, которое является произведением одних лишь буквенных множителей?
Тут нам поможет следующая логика.
Например, очевидно такое равенство: \(\mathbf
Так мы можем приписать умножение на единицу к любому выражению, при этом значение выражения никак не изменится.
Таким образом мы получим необходимый для определения числовой множитель, он и будет коэффициентом.
Поэтому если мы видим выражения, состоящие из одних лишь буквенных множителей, то мы знаем, что их коэффициент равен единице.
Примеры:
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Знак коэффициента
Как мы уже определили в прошлой главе, коэффициент будет являться произведением числовых множителей.
Значит, знак коэффициента будет соответствовать знаку этого произведения.
Посмотрим на примерах:
Пример:
Посчитаем коэффициент выражения \(\mathbf<3a\cdot (-3)\cdot b>\):
В данном случае коэффициент получился равным \(\mathbf<-9>\), то есть отрицательным, так как произведение числовых множителей получилось отрицательным.
Пример:
Посчитаем коэффициент выражения \(\mathbf<-\frac<1><3>a\cdot (-\frac<1><2>)bc>\):
В данном случае количество отрицательных множителей четное, поэтому и коэффициент получается меньше нуля.
Если бы отрицательных множителей было число нечетное, то коэффициент получился бы отрицательным.
Правило: если выражение является произведением числовых и буквенных множителей и отрицательных числовых множителей четное количество, а остальные множители больше нуля, то коэффициент будет положительным; если же их нечетное количество, то коэффициент будет отрицательным.
Также мы знаем, что произведение любых чисел и нуля равняется нулю.
То же самое касается и буквенных множителей.
Пример:
\(\mathbf<\frac<1><2>ab\cdot 0c=0>\)
Поэтому такие выражения, которые являются произведением, а один из их множителей равен нулю, сами равны нулю.
Сразу можно понять, как можно использовать эти знания.
Представим, что у нас есть некоторая сумма. И если для каждого выражения, которое является слагаемым, мы посчитаем коэффициент, то, возможно, некоторые слагаемые уничтожаться, потому что их коэффициент окажется равен нулю.
Пример:
Как видите, нам не пришлось вдаваться в подробности слагаемого, так как один из его числовых множителей равен нулю.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Применение коэффициента выражений
Вы уже знаете с прошлых уроков, что умножение рациональных чисел обладает распределительным свойством относительно сложения.
То есть для любых рациональных чисел a, b и c будет верно равенство:
Мы знаем, что выражение, состоящее из рациональных чисел и включающее в себя операции сложения, вычитания, умножения и деления, также будет равняться рациональному числу.
Также известно, что отношение равенства симметрично, то есть из того, что (\(\mathbf
Значит, мы можем использоваться распределительное свойство и так:
Часто мы будем называть такой переход вынесением общего множителя (общим является множитель с).
Теперь применим все эти факты на практике.
Пример:
Упростим выражение \(\mathbf<345ab+345bc+345cd>\) :
Первым делом мы добавили скобки для наглядности, чтобы показать, что дальше мы будет упрощать сумму первых двух слагаемых.
К ним мы применили распределительной свойство и вынесли общий множитель 345.
Заметим, что теперь выражение представляет из себя два слагаемых, и у них у обоих есть общий множитель 345.
Поэтому в следующем действие мы снова выносим общий множитель.
Теперь остается убрать ненужные скобки, и мы получаем упрощенное выражение.
Кстати, на этом примере становится понятно, что распределительно свойство работает на любом количестве слагаемых:
Под троеточием в данном случае подразумевается сколько угодно много слагаемых, главное, что они такого же вида, как первые и последние.
То есть первое троеточие обозначает слагаемые, состоящие из одного числа (буквы), второе же троеточие обозначает слагаемые вида «слагаемое из левой части выражения домноженное на t».
Как же в данном случае нам может помочь коэффициент?
В нашем примере мы выносили общий множитель. Им как раз и является коэффициент таких выражений, как ab, bc и cd.
В примере он уже был везде посчитан и нам ничего не приходилось умножать.
Пример:
Упростим выражение \(\mathbf<30a+15b\cdot2c+10d\cdot3e>\) :
В данном случае мы сначала посчитали в каждом слагаемом коэффициент (слагаемые в данном случае являются не просто числами, а выражениями).
А далее мы поняли, что этот коэффициент является общим множителем и мы его выносим, пользуясь распределительным свойством.
Пример:
Это выражение можно упростить еще сильнее, вынося общий буквенный множитель. В данном случае в скобках у слагаемых общий множитель a и с, их и вынесем:
Здесь мы применили тот факт, что если у выражения не стоит коэффициент, то мы считаем, что его коэффициент равен единице.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации