Как пишется основание в геометрии

Морфемный разбор слова:

Однокоренные слова к слову:

Основание в математике

Смотреть что такое «Основание в математике» в других словарях:

ОСНОВАНИЕ — • ОСНОВАНИЕ, в геометрии сторона треугольника, противолежащая углу, от вершины которого проводится высота. • ОСНОВАНИЕ, в математике число единиц в системе счисления, равное одной единице следующего, более высокого, разряда этой системы.… … Научно-технический энциклопедический словарь

ОСНОВАНИЕ — достаточное условие для чего либо: бытия, познания, мысли, деятельности. Напр., О. материальных явлений это их причины; О. поступков их мотивы; О. суждений др. суждения (посылки) или опыт. Разыскание О. наз. обоснованием; обосновать… … Философская энциклопедия

ОСНОВАНИЕ — ОСНОВАНИЕ, я, ср. 1. см. основать, ся. 2. Опорная часть предмета, сооружения, основа (в 1 знач.). Дом на каменном основании. 3. В математике: сторона геометрической фигуры или грань геометрического тела, перпендикулярная высоте. О. треугольника,… … Толковый словарь Ожегова

Конкретная математика. Основание информатики — Обложка «Конкретная математика. Основание информатики» книга Дональда Кнута, Роналда Грэхема и Орена Паташника по математике, рассматривающая математические основы информатики, особенно анализа алгоритмов. Вынесеный в заглавие книги термин… … Википедия

Сравнение в математике — Говорят, что a сравнимо с b по модулю n, если a b делится на n. Это обозначают так: a ≡ b (mod n). С. имеют много сходства с равенствами. Если f(x) целая функция с целыми коэффициентами и а ≡ b (mod n), то f(a) ≡ f(b) (mod n). Решить С. f(x) ≡ 0… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Сравнение, в математике — Говорят, что a сравнимо с b по модулю n, если a b делится на n. Это обозначают так: a ≡ b (mod n). С. имеют много сходства с равенствами. Если f(x) целая функция с целыми коэффициентами и а ≡ b (mod n), то f(a) ≡ f(b) (mod n). Решить С. f(x) ≡ 0… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Логарифм — График двоичного логарифма Логарифм числа … Википедия

КОГЕН — (Cohen) Герман (1842 1918) немецкий философ, основатель и виднейший представитель марбургской школы неокантианства. Основные работы: ‘Теория опыта Канта’ (1885), ‘Обоснование Кантом этики’ (1877), ‘Обоснование Кантом эстетики’ (1889), ‘Логика… … История Философии: Энциклопедия

ЛЕЙБНИЦ — (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1646 1716) нем. философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. Изучал юриспруденцию и философию в Лейпцигском и Йенском ун тах. В 1672 1676 в Париже. С 1676 состоял на службе у ганноверских… … Философская энциклопедия

Фибоначчи — (Fibonacci) Фибоначчи первый крупный математик средневековой Европы Десятичная система счисления, арабские цифры, числа, последовательность, уровни, ряд, линии и спираль Фибоначчи Содержание >>>>>>>>> … Энциклопедия инвестора

Источник

Обозначения и символика

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык, составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

группа I — обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается — Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

Линии уровня обозначаются: h — горизонталь; f— фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) — прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) — луч с началом в точке А;

[АВ] — отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α(а || b) — плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

5. Углы обозначаются:

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

— величина угла АВС;

— величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками — ||.

|АВ| — расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| — расстояние от точки А до линии a;

|Аα| — расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| — расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

π₂ —фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π₃, π₄ и т. д.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса _0α, подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: H_a — горизонтальный след прямой (линии) а;

F_a — фронтальный след прямой (линии ) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами _{1,2,3. n:}

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом ₀:

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0 :

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1 :

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.

Источник

ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

раздел геометрии, в к-ром исследуются основные понятия геометрии, соотношения между ними и связанные с ними вопросы.

Важная роль основных понятий и соотношений между ними, на базе к-рых строятся определения фигур и доказываются геометрич. предложения, отмечается уже в работах античных геометров. Так, развивая дедуктивный метод в геометрии, они указывали на особую роль основных понятий, аксиом и постулатов, составляющих фундамент геометрии. В «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) аксиомам и постулатам предпослана цепь определений всех понятий, к-рые используются в дальнейшем изложении. Среди этих определений особое место принадлежит понятиям «точка», «прямая», «плоскость», определения к-рых не опираются на другие геометрич. понятия. Сами определения этих основных понятий с геометрич. точки зрения неудовлетворительны, т. к. они выражают лишь характерное физич. свойство (напр., «точка есть то, что не имеет частей», т. е. под точкой понимается малое физически неделимое тело). Поэтому уже в трудах геометров, написанных почти одновременно с «Началами», содержатся многочисленные комментарии и критич. анализ определений основных и других геометрич. понятий, аксиом и постулатов. Но это были лишь уточнения, не затрагивающие основы определений. По существу, доказательства многих гоометрич. теорем опирались в основном на наглядность чертежа, на физич. осуществимость необходимых геометрич. построений, а не выводились строго логически из аксиом и постулатов. Только в 19 в. и особенно в нач. 20 в. появляются работы, в к-рых выясняется все глубокое значение основных понятий и соотношений между ними для логически безупречного дедуктивного метода построения геометрии и ее обоснования. Причем во многом этому углубленному анализу основ геометрии способствовало открытие неевклидовой геометрии Лобачевского (1826). Результаты по обоснованию евклидовой геометрии на основе тех же принципов и понятий, что и в «Началах» Евклида, содержатся в работах Дж. Пеано (G. Реапо, 1894), М. Паша (М. Pasch, 1882), М. Пиери (М. Pieri, 1899), Д. Гильберта (D. Hilbert) и др. Наибольшую известность получила Гильберта система аксиом евклидовой геометрии (1899). Добиваясь логически удовлетворительного построения евклидовой геометрии, Д. Гильберт выделил 5 групп аксиом, показал их необходимость и достаточность для построения всей евклидовой геометрии. Вместе с тем впервые была проведена логич. обработка всей системы, выяснена непротиворечивость системы с помощью построения числовой модели, установлена независимость групп аксиом, а также полнота системы. В отличие от концепции пространства как «места» для всех фигур, проводимой в «Началах», Д. Гильберт рассматривает его как множество всех «точек», «прямых», «плоскостей» и фигур, построенных на основе этих понятий.

Набор основных понятий в системе Гильберта был заимствован (и уточнен) из «Начал», однако эта система является, по существу, чисто геометрич. схемой, свободной от ссылок на наглядность чертежа. Вместе с тем язык геометрии, построенной на основе системы Гильберта, почти не отличается от языка «Начал».

Почти одновременно с системой Гильберта появились и др. системы аксиом евклидовой геометрии. Так, в системе Ф. Шура (F. Schur, 1909) в качестве основных понятий были «точка», «отрезок» и т. д., а вместо «конгруэнтности» фигур в этой системе вводилось понятие «движение». Введение понятия «движение» позволило применить в геометрии групповой подход к исследованию движений, алгебраизировать методы исследования. Упомянутые выше геометрич. схемы не полностью удовлетворяют требованиям дальнейшего обобщения понятия пространства и др. понятий и, кроме того, недостаточно «алгебраичны».

Новые подходы к обоснованию евклидовой геометрии потребовали выработки нового «языка», с помощью к-рого оказывается возможным провести соответствующие дальнейшие обобщения понятий, алгебраизацию доказательств, классификацию объектов и т. д. Одной из распространенных схем основания евклидовой геометрии, в к-рой сконцентрированы возможности обобщений, перевода на язык алгебры геометрич. понятий, является система аксиом, предложенная Г. Вейлем (Н. Weil, 1916). Ниже приводится одна из транскрипций схемы Вейля.

На основе этой группы аксиом определяется сумма векторов, к-рая удовлетворяет требованиям коммутативности и ассоциативности. Существует нуль-вектор, противоположный вектор. Векторы по сложению образуют группу.

С помощью операций сложения и умножения на число определяется линейная комбинация векторов, их линейная зависимость.

Эта аксиома имеет топологич. характер; из нее вместе со второй группой аксиом следует, что R 3 является топологич. пространством размерности 3. Первые три группы аксиом определяют трехмерное аффинное пространство.

Схема Вейля допускает обобщение на случай любой размерности, с помощью соответствующего изменения аксиом в эту схему включаются гиперболич. и эллиптич. пространства и т. д.

В качестве основных понятий при создании схемы евклидовой геометрии могут быть положены геометрич. преобразования. Так, в системе аксиом Ф. Бахмана (P. Bachmann) в качестве такого понятия вводится преобразование симметрии. С помощью симметрии, порождающих группу движений евклидовой (метрической) плоскости, определяются «точки» и «прямые» как инволютивные элементы этой группы. Теоретико-групповые отношения являются основой при определении понятий «инцидентность», «ортогональность» и т. п., геометрич. доказательства заменяются вычислениями, переводятся на язык алгебры.

Групповой подход впервые был четко сформулирован в эрлангенской программе Ф. Клейна: геометрич. пространство определяется как множество Ф с фиксированной группой Wего преобразований; объектом геометрии является изучение W-инвариантных свойств пространства. (Напр., n-мерное аффинное пространство А n определяется как множество, на к-ром просто транзитивно действует векторная группа размерности п.) С. Ли, Ф. Клейн, А. Кэли провели исследование групп преобразований, на основе к-рого возникают новые возможности в классификации и обосновании евклидовой и неевклидовых геометрий как геометрий определенных групп преобразований. Геометрия становится учением об инвариантах групп преобразований, и О. г. опирается на теорию групп.

В работах Б. Римана был разработан метрич. подход к О. г. Геометрич. пространство рассматривается как множество, снабженное метрикой, к-рая удовлетворяет тем или иным аксиомам. Б. Риман показал, что все внутренние свойства пространства определяются заданной квадратичной дифференциальной формой (кривизна, геодезич. линии и т. д.), тем самым были открыты широкие классы различных метрич. геометрий. Впервые классификация пространств и их геометрий была осуществлена на метрич. основе. Б. Риман указал на особую роль выбора координат в точечном многообразии для исследования самих квадратичных форм. Так, для пространства постоянной римановой кривизны Б. Риман привел стандартный вид, к к-рому может быть приведена квадратичная форма путем соответствующего выбора координат.

Координатный метод евклидовой геометрии был обобщен для различных пространств, а также нашел развитие в дифференциальной геометрии; понятие многообразий, опирающееся на выбор координатных систем, получает многочисленные применения в геометрии. Групповой подход к исследованию преобразований дифференциально-геометрич. объектов позволил создать теорию инвариантов метрических (квадратичных) форм. Эта теория инвариантов групп преобразований явилась основой для построения и логич. обоснования современной дифференциальной геометрии. В качестве одного из основных понятий выкристаллизовалось понятие геометрич. объекта, геометрия рассматривается как геометрических объектов теория. Понятие дифференцируемого многообразия позволяет дать строгие определения дифференциально-геометрич. объектам, в частности обосновать методы анализа в геометрии и геометрич. методы в анализе.

Обоснование евклидовой (и, вообще, любой) геометрии, опирающееся на определенную систему аксиом, обнаруживает особую роль теоретико-множественных принципов при логич. анализе систем аксиом. Именно, независимость и непротиворечивость системы аксиом может быть установлена путем построения числовой модели, реализующей эту систему. Поэтому теория множеств в О. г. является своего рода эталоном безупречного логич. построения геометрич. теории. Геометрич. аксиомы непрерывности (и полноты) по существу являются нек-рыми эквивалентами теоретико-множественных аксиом.

Построение геометрии над определенным полем обосновывается путем применения понятий теоретико-множественного характера. Начиная с создания декартовой аналитич. еометрии, идея отображения множества точек на множество действительных чисел (или на произвольное числовое множество) приобретает большое значение для О. г. Развитие этой идеи позволяет определить и классифицировать геометрии по тому числовому множеств, над к-рым они построены.

В О. г. широко применяются теоретико-множественные методы для изучения геометрич. преобразований. Как уже отмечалось выше, инварианты групп преобразований являются предметом изучения в определенной этой группой геометрии. Важное применение теории инвариантов (проективных) преобразований нашел Ф. Клейн для интерпретации неевклидовых пространств и доказательства непротиворечивости неевклидовых геометрий. Углубленному анализу подверглись такие понятия, как «угол», «ортогональность» и т. д. Исследования проективных комплексных пространств, различных проективных мероопределений имеют большое значение в классификации пространств с определенной структурой.

В О. г. применяются также топологич. методы классификации многообразий, с помощью этих методов выявляются наиболее существенные различия между классами и типами многообразий, исследуются глобальные их свойства.

Изучение средств, используемых в доказательствах теорем на основе данной системы аксиом, является одной из важных проблем в О. г. В «Началах» Евклида для доказательств применялась классич. логика Аристотеля. Много внимания уделил этим вопросам Д. Гильберт, наметивший основные задачи математич. логики. Непротиворечивость систем геометрич. аксиом устанавливается путем построения числовых моделей этих систем и их логического исследования.

Значительное место в О. г. занимают вопросы измерения отрезков, площадей, объемов. Понятия меры отрезка, площади, объема основываются на определенных группах аксиом. Так, напр., теория площадей многоугольников на евклидовой плоскости в системе аксиом Гильберта обосновывается аксиомами, относящимися только к плоскости и независимо от аксиом непрерывности (см. Неархимедова геометрия, Непаскалева геометрия).

В О. г. исследуется проблема о материальных объективных истоках геометрич. понятии и систем аксиом. Одним из принципов построения геометрич. систем долгое время являлся принцип физич. осуществимости системы на какой-либо материальной модели. Как отмечалось выше, еще в «Началах» была сделана попытка дать истолкование основных понятии с точки зрения их физич. свойств. В кон. 19 в., после открытия геометрии Лобачевского, вновь возник вопрос об объективной возможности других, отличных от евклидовой, геометрий. Проблему объективного существования неевклидовых геометрий многие геометры решали путем построения физич. моделей, с помощью к-рых пытались убедиться в независимости и непротиворечивости геометрич. систем аксиом. Так, Н. И. Лобачевский пытался обосновать непротиворечивость выводов, вытекающих из его аксиомы о параллельных, путем физич. измерений дефектов треугольников гигантских размеров, вершины к-рых располагались на удаленных от Земли космич. телах, чтобы убедиться в том, что дефекты различны для различных треугольников и что сумма внутренних углов треугольников может быть меньше двух прямых углов. Попытку обосновать существование различных метрич. геометрий предпринял Г. Гельмгольц (Н. Helmholtz). и работе, написанной вскоре после появления результатов Б. Римана. Основным понятиям, к-рыми оперирует метрич. геометрия, Г. Гельмгольц дал физич. истолкование, в основу геометрич. свойств пространства он положил нек-рые физич. законы, из к-рых вытекает возможность построения геометрии этого пространства. Эвристическим путем из основных физич. законов Г. Гельмгольц получил метрику пространства в виде дифференциальной формы, к-рая, как показал Б. Риман, определяет все внутренние свойства пространства. Вместо гипотез, лежащих в О. г., предложенных Б. Риманом, Г. Гельмгольц рассматривал факты, из к-рых вытекали те же выводы в метрич. геометрии, подчеркивая тем самым опытную проверку справедливости (непротиворечивости) этих выводов.

Объективно работы по опытной проверке геометрич. систем служили распространению новых геометрич. идей, способствовали появлению углубленного логич. анализа геометрич. систем, выработке современных основных требований к этим системам. Вместе с тем попытки физич. обоснования геометрии способствовали проникновению геометрических идей и методов в различные области математики, физики и механики.

О. г. имеют большое значение в методологии геометрии. В процессе преподавания современных курсов геометрии в университетах и педагогич. вузах раздел О. г. занимает одно из центральных мест. В связи с этим все большую роль играет выбор системы основных понятий и аксиом, чтобы «сократить» путь от самих аксиом до выводимых из них содержательных теорем, находящих практич. применение (в частности, в решении задач).

Лит.:[1] Начала Евклида, кн. 1-15, пер. с греч., М., 1948-50; [2] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.-Л., 1948; [3] Веблен О., Уайтхед Д ж., Основании дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1949; [4] Об основаниях геометрии, М., 1956; [5] Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1-2, М.- Л., 1949-56; [6] Каган В. Ф., Очерки по геометрии, М., 1903; [7] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962; [8] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978; [9] Бахнан Ф., Построение геометрии на основе понятия симметрии, пер. с нем., М., 1969; [10] Р о з е н ф е л ь д Б. А., Истории неевклидовой геометрии, М., 1976; [11] II о г о р е л о н А. В., Элементарная геометрия, 2 над., М., 1974; [12] Шоке Г., Геометрия, пер. с франц., М., 1970; [13] Д о н е д д ю А., Евклидова планиметрия, пер. с франц., М., 1978; [14] К а р т е с и Ф., Введение в конечные геометрии, пер. с англ., М., 1980.

Источник