Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной
Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.
Определения и понятия
На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Получаем формулу для нахождения секущей вида:
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Уравнение касательной прямой
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.
Решение
Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.
Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3
Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6
Ответ: уравнение касательной приобретает вид
Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.
Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.
Решение
По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.
Перейдем к нахождению производной
Для наглядности изобразим графически.
Решение
Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
Вычисляем соответствующие значения функции
Рассмотрим графическое изображение решения.
Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Решение
Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.
Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :
Ответ: необходимы уравнения запишутся как
Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Касательная к эллипсу
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
Решение
Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид
Графически касательные обозначаются так:
Касательная к гиперболе
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Решение
Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что
Ответ: уравнение касательной можно представить как
Наглядно изображается так:
Касательная к параболе
Графически изобразим как:
Решение
Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что
Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.
Отсюда определим значение х для точек касания.
Первая функция запишется как
Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.
Вторая функция запишется как
Ответ: уравнение касательной принимает вид
Что значит идти по касательной?))
Идти слегка касаясь графика, кривой, прямой, цели.
Можно понимать как угодно. Спросите у человека, который использовал это выражение для уточнения его мыслей.
Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Имеется следующая статья, в которой описывается так называемый метод «по касательной»:
Метод достижения цели по касательной
Например: хочешь домик на берегу моря. Выбираешь над цель: быть владельцем недвижимости в разных концам мира, ставишь над-цель по правилам прямого достижения цели. И будет тебе домик, как минимум в Крыму.
Например 2: хочешь новенькую Хьюндаи — желай Хонду. Желаешь Вольсваген – желай Бумер.
Недостаток такого подхода: когда у вас будет та самая первоначальная цель, вы не будете ей настолько рады, и зажелаете уже более большую. Так и рождаются: потогонки, крысиные бега …
2. Занизить желанность самой целиТак советует те самые эксперты. Не буду расписывать, как это делать. Ибо это бестолковое занятие. Если занизить саму желанность цели – зачем она нужна тогда, эта цель? А потом, те же самые авторы предлагают как-бы не желая, вспоминать каждый день эту цель. Если ее вспоминать – автоматические желанность будет расти. Противоречие! Не так ли?
Может я чего не понял. Если не видите несогласованности в этих буквах: «занизить желанность цели» — то поступайте так.
Недостаток: читайте выше, нарушение простой логики.
3. Цель, не цель – а средство достижения большей целиЧем-то похоже на п. 1. Но есть существенное различие. Именно данная методика пока в сыром варианта. И скорей всего — останется в таковом, читайте ниже почему.
Нужно желанную цель перевести в средство достижения другой цели.
Например: желаете то самое шикарное бунгало на берегу Тихого океана. Желайте не бунгало, а желайте стать торговцем недвижимости с мировым именем.
Еще пример: желаете менять дорогие машины, как перчатки. Поставите цель по правилам – стать торговцем элитных машин.
В целом, движение к цели по касательной — это творческий подход, вряд ли появится достойный метод: делай А потом Б, и т. д. Конечно, проще двигаться к мечте по инструкции. Но опыт жизни показывает — чем более копий данной инструкции – тем меньше шансов на успех.
Может, что еще придумаю, допишу о движение к цели по касательной. А пока –всех благ!