называется биномиальным коэффициентом
(см. также НЬЮТОНА БИНОМ). Еще один полезный принцип состоит в
утверждении, что n предметов можно разложить в r коробок rn различными способами, если в любой коробке может
находиться любое число предметов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что первый предмет можно положить в любую из r
коробок, после чего второй предмет также можно положить в любую из r коробок и т.д. Таким образом, n предметов
можно разложить способами.
Обратимся теперь к некоторым приложениям этих принципов. 1) Какова вероятность выпадения ровно двух шестерок при пяти
бросаниях игральной кости (или, что то же, при одном бросании пяти костей)? Пять костей могут выпасть 65 способами.
Две кости, на которых выпали шестерки, можно выбрать способами (сочетания появляются потому, что порядок, в котором
выпадают шестерки, несуществен), т.е. (5*4*3*2*1)/((2*1) * (3*2*1)) = 10 способами.
Не шестерки (их 5: 1, 2, 3, 4 и 5 очков) на остальных 3 костях могут выпасть 53 способами. Следовательно, мы
получаем ровно две шестерки из пяти бросаний 10*53 способами; искомая вероятность, таким образом, равна 10*53/65
или 1250/7776, т.е. ок. 1/6. Вероятность выпадения не менее двух шестерок при пяти бросаниях кости несколько больше;
бросаниях. 2) Какова вероятность получить ровно два туза, если из колоды, состоящей из 52, извлекаются 5 карт?
.
Последовательное применение такого рода рассуждений иногда приводит к удивительным заключениям.
3) Какова вероятность совпадения дней рождения по крайней мере у двух из 23 случайно выбранных людей?
Если предположить, что существует 365 равновероятных возможных дней рождения, то дни рождения 23 людей могут
распределиться (365)23 способами. Число способов, которыми можно распределить по дням года не совпадающие
на который приходится день рождения первого из них, у нас останется только 364 дня для выбора дня рождения
второго, и т.д. Вероятность несовпадения всех 23 дней рождения равна отношению второго числа к первому.
Вероятность же совпадения по крайней мере двух дней рождения равна 1 минус вероятность полного несовпадения
всех 23 дней рождения. Таким образом, ответ нашей задачи равен
При больших значениях n эта величина почти не зависит от n и равна 0,632 (с точностью до трех цифр после запятой) при n >= 6; 0,633 при n = 5; 0,625 при n = 4 и 0,667 при n = 3. Таким образом (переходя к другой, аналогичной задаче), если выкладывать по одной на стол карты из двух тщательно перетасованных колод, то выкладываемые на стол карты совпадут с вероятностью почти 2/3 по крайней мере один раз. Это утверждение верно, если в каждой колоде более двух карт.
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
в силу чего окончательно получаем
Этот результат сводит исходную задачу к чисто комбинаторной задаче нахождения чисел m и n. Последняя легко решается с помощью теории перестановок и сочетаний, некогда бывшей существенной частью теории вероятностей, но ныне таковой не являющейся. Число n есть просто число способов, которыми можно выбрать 13 карт из 52. Используя стандартные обозначения, находим
Подобно тому, как в геометрии для строгой формулировки задачи необходимо построить пространство неопределяемых далее объектов, называемых точками, прямыми и т.д., которые удовлетворяют определенным аксиомам, формулировка вероятностной задачи требует введения пространства, называемого пространством элементарных событий, элементы которого могут быть произвольной природы и различными в разных задачах. (Хотя мы используем геометрический язык, пространство элементарных событий, как правило, не является пространством в обычном смысле;
Решение нашей задачи о вероятности того, что первый исход У наступает после k
испытаний, дается формулой
E(Z) называется «математическим ожиданием» случайной величины Z. Например, определенные выше случайные величины X и Y имеют математические ожидания
На интуитивном уровне понятие случайной величины достаточно ясно, так что оно довольно часто возникает еще до построения пространства элементарных событий. Ученый может заниматься изучением некоторой величины X, значения которой случайны либо из-за наличия экспериментальной ошибки (как в физических измерениях), либо потому, что эксперимент проводится на одном случайно выбранном элементе некоторой совокупности, состоящей из многих аналогичных элементов (например, рост какого-либо представителя расово однородной популяции взрослых или срок службы одного из изделий, выбранных из партии изделий массового производства, например плавких предохранителей, произведенных в одинаковых условиях). Возникает необходимость построить пространство элементарных событий, содержащее любое событие вида X Ј x, где x принимает действительные значения. Это можно сделать, и вероятность такого события F (x) = P
и служит удобной мерой разброса, так как равна нулю тогда и только тогда, когда случайная величина X постоянна. Две случайные величины X1 и X2, определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, называются «независимыми», если каждое событие вида X1 Ј x не зависит от любого события вида X2 = 0
Эту теорему можно обобщить, если представить Sn как сумму независимых случайных величин
где Xk равна 1 или 0 в зависимости от того, будет ли исход k-го испытания благоприятным или неблагоприятным. Кроме того,
что позволяет записать теорему Бернулли в виде
Теперь вы знаете какие однокоренные слова подходят к слову Вероятно это и называется соразмерность как пишется, а так же какой у него корень, приставка, суффикс и окончание. Вы можете дополнить список однокоренных слов к слову "Вероятно это и называется соразмерность как пишется", предложив свой вариант в комментариях ниже, а также выразить свое несогласие проведенным с морфемным разбором.