Напишите программу, которая переводит правильную дробь в десятичную, выделив (если нужно), период дроби
Напишите программу, которая переводит правильную дробь в десятичную, выделив (если нужно), период дроби.
По заданным M и N получить период дроби M/N, если дробь конечная, вывести 0
По заданным M и N получить период дроби M/N, если дробь конечная, выводим 0. Пример: 1/2, выводим.
Написать программу, которая переводит числа с шестнадцатеричной системы в десятичную
С использованием функции hex, а также без неё.
Составить программу, которая переводит число А, заданный в двоичной системе счисления в десятичную
Составить программу, которая переводит число А, заданный в двоичной системе счисления, в число.
Решение
Hitoku, я даже и не знаю, что сказать. Не решение. 1/47, например?
Добавлено через 3 часа 5 минут
Hitoku, гляди. Не оптимизировал. Алгоритм в общих чертах:
Сразу выделяем и печатаем целую часть дроби, и сокращаем дробь.
Вычисляем длину предпериода и печатаем его.
О периоде. Выяснено, что длина периода равна количеству разрядов числа, составленных из цифры 9, делящегося на z.
Вычисляем длину периода и печатаем его.
| Шаг | Что делим | Остаток | Примечание |
| 1 | 9 | 2 | считаем, что первый остаток был равен 0, приписываем к нему 9, получаем 9 |
| 2 | 29 | 1 | предыдущий остаток был 2, приписываем 9, получаем 29 |
| 3 | 19 | 5 | предыдущий остаток был 1, приписываем 9, получаем 19 |
| 4 | 59 | 3 | просто, правда? |
| 5 | 39 | 4 | |
| 6 | 49 | 0 | ура, наконец-то остаток равен 0 |
Так, для сравнения, с девятками:
| Шаг | Что делим | Остаток |
| 1 | 9 | 2 |
| 2 | 99 | 1 |
| 3 | 999 | 5 |
| 4 | 9999 | 3 |
| 5 | 99999 | 4 |
| 6 | 999999 | 0 |
Остатки те же. Но в первом случае «что делим» не превосходит 10(z-1).
Что получилось (для простоты писал для сдачи на проверочный сайт, без контроля ввода и интерфейса):
Наверное, можно немножко соптимизировать, есть повторяющиеся фрагменты, может, в подпрограмму их выделить, может, кое-где ускорить, типа, заменить div 2 на shr 1, ещё всяких блох половить. Неохота.
Проверка. Программа выдерживает прямое попадание дроби maxlongint/(maxlongint div 10)=2147483647/214748364, результат:
10,00(000003259629023297239181761589578396043100938361514130 09134728495533497987
439848435818584396759362506715068618636833945799000359322877 07672594888778756889
621752834401103982333481245985184781198146869235287864637702 19921209737364984070
379227662009103827212392640159996748566615389908162466839561 11535266457256922339
1150025245361124148075)
Виндовый калькулятор нервно курит в сторонке, но как бы намекает, что всё верно:
Ужос. Без применения деления по модулю для выяснения длины периода нужно было бы число из 336 девяток.
Десятичная дробь
Умножить дробь на дробь и получить ответ в виде несократимой дроби
Даны две дроби A/B и C/D (где А, В, С, D — натуральные числа). Умножить дробь на дробь и получить.
двоично-десятичная система счисления
нужно вывести список чисел 1-50 в двоично-десятичной системе счисления var x:Integer; begin.
Найти все числа, у которых старшая значащая десятичная цифра есть 9
В заданном вещественном массиве найти все числа,у которых старшая значащая дестичная цифра есть.
Не выводит дробь
program Project1; <$APPTYPE CONSOLE>uses SysUtils; const nmax =100; TYPE Tmas =.
Сократить дробь
Тема: Процедуры пользователя Сократить дробь вида a/b (a, b – вводимые натуральные числа).
Вычислить непрерывную дробь
Составить программу для вычисления с точностью eps=10-5:
Вычислить цепную дробь.
Для данного вещественного х и натурального N вычислить цепную дробь: х/(1 + х/(2 + х/(3 + x/(. /(N.
Дробная часть числа паскаль
Функция Int вычисляет целую часть значения с плавающей точкой. Синтаксис:
function Int(X: ValReal) : ValReal;
Функция возвращает целую часть вещественного числа Х. Тип данных возвращаемого значения является также вещественным числом.
О типе ValReal я рассказывал здесь.
Функция Frac возвращает дробную часть числа с плавающей точкой. Синтаксис:
function Frac(X: ValReal) : ValReal;
Целая часть числа
Как известно, вещественное число имеет целую часть и дробную часть. Например, число 3,14 можно произнести словами как “три целых, четырнадцать сотых”.
Соответственно, целая часть числа 3,14 – это число 3.
И, как вы теперь уже знаете, получить целую часть числа в Паскале можно с помощью функции Int:
Дробная часть числа
Если рассмотреть всё то же число 3,14, то его дробной частью будет число 0,14. То есть вещественное число состоит из двух частей, сумма которых и является вещественным числом:
Получить дробную часть числа в Паскале можно с помощью функции Frac:
Пример программы, которая использует функции Int и Frac, приведён ниже:
Программирование. Стандартные функции Pascal-Паскаль
Стандартные функции Pascal-Паскаль
| Стандартные математические функции Турбо Паскаля | |||
|---|---|---|---|
| Обращение | Тип аргумента | Тип результата | Примечание |
| Abs(x) | Real, integer | Тип аргумента | Модуль аргумента |
| ArcTan(x) | Real, integer | Real | Арктангенс (значение в радианах) |
| Cos(x) | Real, integer | Real | Косинус, угол в радианах |
| Exp(x) | Real, integer | Real | Экспонента |
| Frac(x) | Real | Real | Дробная часть числа |
| Int(x) | Real, integer | Real | Целая часть числа |
| Ln(x) | Real, integer | Real | Логарифм натуральный |
| Pi | Нет | Real | 3,141592653 |
| Sin(x) | Real, integer | Real | Синус, угол в радианах |
| Sqr(x) | Real, integer | Тип аргумента | Квадрат аргумента |
| Sqrt(x) | Real, integer | Real | Корень квадратный |
| Random | Нет | Real | Псевдослучайное число в интервале [0, 1] |
| Random(I) | Integer | Integer | Псевдослучайное число в интервале [0, I] |
| Round(x) | Real | Integer | Округление до ближайшего целого |
| Trunc(x) | Real | Integer | Отбрасывание дробной части числа |
Порядок вычислений в выражениях следующий:
Хотя нет ограничений на сложность выражений, однако выражения, содержащие более 7 операндов, трудны для чтения и понимания и поэтому такие выражения не рекомендуется использовать.
Математическое выражение: x 3/2 – 7x + tg (x+2)
Выражение на Паскале: exp(3*ln(x)/2)-7*x+sin(x+2)/cos(x+2)
Операторы действия
Операторы действия – это средства языка, позволяющие изменять в процессе выполнения программы состояние вычислений. Самый простой оператор действия – оператор присваивания.
Пример оператора присваивания
Оператор присваивания, несмотря на кажущуюся простоту, имеет очень важное алгоритмическое значение.
Удобно считать, что выполнение присваивания переменной некоторого значения означает помещение этого значения в выделенный для переменной ящик. При этом каждый запоминающий ящик обладает следующими свойствами.
Еще один оператор действия, хотя его можно лишь условно назвать таковым: он не выполняет никакого действия, это – пустой оператор (в Паскале он обознается знаком «;»). В Паскале оператором действия является также оператор процедуры. Последний из простейших операторов действия – оператор останова, который прерывает работу программы (в Паскале это оператор halt).
Ввод и вывод данных
Ввод данных с клавиатуры производится с помощью стандартной процедуры read( ) или ее разновидности readln( ). Элементы списка ввода – идентификаторы (имена) переменных, перечисляемые через запятую. При выполнении этого оператора пользователь набирает на клавиатуре соответствующую последовательность значений, разделяя их пробелами (это важно!).
Пример ввода данных с клавиатуры
read(a,b,c);
readln(a,b,c);
Вывод данных на экран производится с помощью стандартной процедуры write( ) или ее разновидности writeln( ).
Список вывода может содержать константы, переменные, выражения, формат вывода. Выражения в списке вывода разделяются запятыми.
Пример вывода данных на экран
write(a,b,c);
writeln(a,b,c);
Окончание ln в имени процедуры означает, что курсор автоматически будет переведен в начало следующей строки экрана.
Программирование
Исходники Pascal (127)
Справочник
Справочник по паскалю: директивы, функции, процедуры, операторы и модули по алфавиту
Арифметические операции
200?’200px’:”+(this.scrollHeight+5)+’px’);»> program mypascal;
var
a,b:integer;
c:real;
begin
Другие операции с числами
В паскале предусмотрены и многие другие операции с числами. Давайте разберем самые популярные из них.
Результат : переменной «а» присваивается значение 25.
Результат : переменной «а» присваивается значение 5.
Результат : переменной «а» присваивается значение 9.
Результат : переменной «а» присваивается значение 25.
Результат : переменной «а» присваивается значение 0.2.
Чтобы получить модуль некоторого числа используется операция abs(x).
Пример :
Результат : переменной «а» присваивается значение 8.
Это были самые важные и часто используемые операции в паскале для работы с числами ( переменными ). Найти другие вы можете на этой странице.
Выводы :
Pascal-Паскаль
Программирование. Числовые типы данных Pascal-Паскаль
Программирование. Числовые типы данных Pascal-Паскаль
Числовые типы данных Pascal-Паскаль
Наиболее распространенные в математике числовые типы – это целые числа, которые представляют бесконечное множество дискретных значений, и действительные числа, которые представляют неограниченный континуум значений.
Описание числовых типов данных (целые) Паскаля
В пределах одного языка могут быть реализованы различные подмножества множества целых чисел. Диапазон возможных значений целых числовых типов зависит от их внутреннего представления, которое может занимать один, два или четыре байта. Так, в Паскале 7.0 используются следующие целые числовые типы данных:
| Числовые типы данных (ЦЕЛЫЕ ТИПЫ) Паскаля | ||
|---|---|---|
| Название числового типа данных | Длина, байт числового типа данных | Диапазон значений числового типа данных |
| Byte | 1 | 0..255 |
| ShortInt | 1 | -128..+127 |
| Word | 2 | 0..65535 |
| Integer | 2 | -32768..+32767 |
| LongInt | 4 | -2 147 483 648..+2 147 483 647 |
С целыми числовыми типами данных Паскаля можно выполнять следующие операции:
В Паскале используются следующие типы вещественных чисел, которые определяют произвольное число лишь с некоторой конечной точностью, зависящей от внутреннего формата вещественного числа:
При описании вещественной переменной типа real в памяти компьютера будет создана переменная размерностью 4 байта. При этом 3 байта будут отданы под мантиссу, а один – под порядок.
Над действительными числовыми типами данных можно выполнять следующие операции:
Исходники Pascal (127)
Справочник
Справочник по паскалю: директивы, функции, процедуры, операторы и модули по алфавиту
Как записать десятичную дробь в паскале
Язык программирования Паскаль относится к так называемым языкам числовых данных и сильной системы типизации. В языке программирования Паскаль применяются два способа представления числовых данных – в естественной и показательной формах. Такие формы являются неотъемлемым средством при работе в языке Паскаль, поэтому, ниже мы постараемся рассмотреть вкратце основные понятия этих форм, их обозначение, и случаи, в которых они применяются.
В случае записи целого числа или десятичной дроби, в естественной форме они представляются в виде, принятом в математике, с одним отличием: разделительным знаком между дробной и целой частями числа служит точка, а не запятая.
Таким образом, десятичную дробь 0,012 можно записать на языке программирования Паскаль двумя правильными способами: как 0.012 или 1.2е-2. Текстовые данные, такие, как, например, символы или строки, записываются в апострофах. Если нужно использовать апостроф внутри строки, его удваивают. Например: ‘Информатика’, ‘?’, ‘Мой любимый город’, ‘It’s me!’
Данный материал может быть полезен как для новичков, изучающих данный язык программирования, так и для более опытных пользователей, изредка допускающих типичные ошибки по незнанию данного материала.
Арифметические операции
200?’200px’:»+(this.scrollHeight+5)+’px’);»> program mypascal;
var
a,b:integer;
c:real;
begin
Другие операции с числами
В паскале предусмотрены и многие другие операции с числами. Давайте разберем самые популярные из них.
Результат : переменной «а» присваивается значение 25.
Результат : переменной «а» присваивается значение 5.
Результат : переменной «а» присваивается значение 9.
Результат : переменной «а» присваивается значение 25.
Результат : переменной «а» присваивается значение 0.2.
Чтобы получить модуль некоторого числа используется операция abs(x).
Пример :
Результат : переменной «а» присваивается значение 8.
Это были самые важные и часто используемые операции в паскале для работы с числами ( переменными ). Найти другие вы можете на этой странице.
Выводы :
Сегодня мы поговорим о вещественных числах. Точнее, о представлении их процессором при вычислении дробных величин. Каждый из нас сталкивался с выводом в строку чисел вида 3,4999990123 вместо 3,5 или, того хуже, огромной разницей после вычислений между результатом теоретическим и тем, что получилось в результате выполнения программного кода. Страшной тайны в этом никакой нет, и мы обсудим плюсы и минусы подхода представления чисел с плавающей точкой, рассмотрим альтернативный путь с фиксированной точкой и напишем класс числа десятичной дроби с фиксированной точностью.
Куда уплывает точка
Не секрет, что вещественные числа процессор понимал не всегда. На заре эпохи программирования, до появления первых сопроцессоров вещественные числа не поддерживались на аппаратном уровне и эмулировались алгоритмически с помощью целых чисел, с которыми процессор прекрасно ладил. Так, тип real в старом добром Pascal был прародителем нынешних вещественных чисел, но представлял собой надстройку над целым числом, в котором биты логически интерпретировались как мантисса и экспонента вещественного числа.
Мантисса — это, по сути, число, записанное без точки. Экспонента — это степень, в которую нужно возвести некое число N (как правило, N = 2), чтобы при перемножении на мантиссу получить искомое число (с точностью до разрядности мантиссы). Выглядит это примерно так:
Чтобы избежать неоднозначности, считается, что 1 = 4 503 599 627 370 496 и спокойно вмещает в себя все 32-разрядные целые, давая сбой только на действительно больших 64-разрядных целых (19 десятичных знаков), где погрешность в сотнях единиц уже, как правило, несущественна. Если же нужна большая точность, то мы в данной статье обязательно в этом поможем.
Теперь что касается экспоненты. Это обычное бинарное представление целого числа, в которое нужно возвести 10, чтобы при перемножении на мантиссу в нормализованном виде получить исходное число. Вот только в стандарте вдобавок ввели смещение, которое нужно вычитать из бинарного представления, чтобы получить искомую степень десятки (так называемая biased exponent — смещенная экспонента). Экспонента смещается для упрощения операции сравнения, то есть для одинарной точности берется значение 127, а для двойной 1023. Все это звучит крайне сложно, поэтому многие пропускают главу о типе с плавающей точкой. А зря!
Примерное плаванье
Чтобы стало чуточку понятнее, рассмотрим пример. Закодируем число 640 (= 512 + 128) в бинарном виде как вещественное число одинарной точности:
Для двойной точности будет почти все то же самое, но мантисса будет содержать еще больше нулей справа в дробной части, а экспонента будет 1023 + 9 = 1024 + 8, то есть чуть больше нулей между старшим битом и числом экспоненты: 100 00001000. В общем, все не так страшно, если аккуратно разобраться.
Задание на дом: разобраться в двоичной записи следующих констант: плюс и минус бесконечность (INF — бесконечность), ноль, минус ноль и число-не-число (NaN — not-a-number).
За буйки не заплывай!
Если для целых чисел нужно учитывать только максимальное и минимальное значение, то для вещественных чисел в представлении с плавающей точкой следует больше внимания обращать не столько на максимальные значения, сколько на разрядность числа.
Другое дело проблема точности. Жалкие 23 бита под мантиссу дают погрешность уже на 8-м знаке после запятой. Для чисел с двойной точностью ситуация не столь плачевная, но и 15 десятичных знаков очень быстро превращаются в проблему, если, например, при обработке данных требуется 6 фиксированных знаков после точки, а числа до точки достаточно большие, под них остается всего лишь 9 знаков. Соответственно, любые многомиллиардные суммы будут давать значительную погрешность в дробной части. При большой интенсивности обработки таких чисел могут пропадать миллиарды евро, просто потому, что они «не поместились», а погрешность дробной части суммировалась и накопила огромный остаток неучтенных данных.
Если бы это была только теория! На практике не должно пропадать даже тысячной доли цента, погрешность всех операций должна быть строго равна нулю. Поэтому для бизнес-логики, как правило, не используют C/C++, а берут C# или Python, где в стандартной библиотеке уже встроен тип Decimal, обрабатывающий десятичные дроби с нулевой погрешностью при указанной точности в десятичных знаках после запятой. Что же делать нам, программистам на C++, если перед нами стоит задача обработать числа очень большой разрядности, при этом не используя высокоуровневые языки программирования? Да то же, что и обычно: заполнить пробел, создав один небольшой тип данных для работы с десятичными дробями высокой точности, аналогичный типам Decimal высокоуровневых библиотек.
Добавим плавающей точке цемента
Пора зафиксировать плавающую точку. Поскольку мы решили избавиться от типа с плавающей точкой из-за проблем с точностью вычислений, нам остаются целочисленные типы, а поскольку нам нужна максимальная разрядность, то и целые нам нужны максимальной разрядности в 64 бита.
Сегодня в учебных целях мы рассмотрим, как создать представление вещественных чисел с гарантированной точностью до 18 знаков после точки. Это достигается простым комбинированием двух 64-разрядных целых для целой и дробной части соответственно. В принципе, никто не мешает вместо одного числа для каждой из компонент взять массив значений и получить полноценную «длинную» арифметику. Но будет более чем достаточно сейчас решить проблему точности, дав возможность работать с точностью по 18 знаков до и после запятой, зафиксировав точку между двумя этими значениями и залив ее цементом.
Отсыпь и мне децимала!
Сначала немного теории. Обозначим наше две компоненты, целую и дробную часть числа, как n и f, а само число будет представимо в виде
Для целой части лучше всего подойдет знаковый тип 64-битного целого, а для дробной — беззнаковый, это упростит многие операции в дальнейшем.
Операции с типом десятичной дроби
Разумеется, тип числа с повышенной точностью будет бесполезен без арифметических операций. Сложение реализуется сравнительно просто:
NB: здесь и далее все записи в форме 1e — целые числа.
Здесь [n] — это получение целой части числа, а — получение дробной части. Все бы хорошо, но вспоминаем про ограничение целых чисел. Значение 1e+18 уже близко к грани значений беззнакового 64-битового целого типа uint64_t (потому мы его и выбрали), но нам никто не мешает чуточку упростить выражение, чтобы гарантированно оставаться в границах типа, исходя из начальных условий:
Всегда нужно учитывать две вещи при реализации операций с числами, поскольку они подразумевают интенсивное использование: во-первых, нужно всегда оптимизировать алгоритм, сводя к минимуму операций умножения и деления, поэтому стоит заранее упростить выражение математически, так, чтобы легко выполнялся первый пункт. В нашем случае все нужно свести к минимуму целочисленных делений с остатком. Во-вторых, нужно обязательно проверять все возможные ситуации переполнения числа с выходом за границы вычисляемого типа, иначе получишь весьма неочевидные ошибки при использовании своего типа.
Введем матрицу для упрощения вычисления умножения:
Здесь мы опускаем слагаемое A44 div 10 18 просто потому, что оно равно нулю. Разумеется, перед каждым сложением стоит проверить, не выйдем ли мы за пределы MAX_INT64. К счастью, мы можем оперировать беззнаковым типом uint64_t для всех компонент матрицы и для промежуточного результата. Все, что нужно будет сделать в конце, — это определить знак результата se = sa xor sc и для отрицательного числа поправить целую и дробную часть: целую уменьшить на единицу, дробную вычесть из единицы. Вот, в общем, и все умножение, главное — быть очень аккуратным. С ассемблером все на порядок проще, но этот материал выходит за рамки Академии C++.
Алгоритм деления без регистрации и СМС
Для упрощения рассмотрим нахождение обратного числа для положительного x. Если хотя бы одна из компонент x равна нулю (но не обе сразу), вычисления сильно упрощаются. Если a = 0, то:
Для более общего случая, когда x содержит ненулевые дробную и целую части, в этом случае уравнение сводится к следующему:
Теперь нужно найти максимальную степень 10, которая будет не больше a, и итерационно выполнять следующее действие:
Здесь мы всего лишь используем умножение и деление дроби на одинаковый множитель — степень десятки, а затем пошагово вычисляем деление и остаток от деления для очередной степени десятки.
Очень полезно будет завести массив степеней десяток от 0 до 18 включительно, поскольку вычислять их совершенно излишне, мы их знаем заранее и требоваться они нам будут часто.
Преобразования типов
Мы знаем и умеем достаточно, чтобы теперь превратить расплывчатые float и double в наш новенький decimal.
Здесь 103 является, по сути, той погрешностью, за которой double перестает быть точным. При желании погрешность можно еще уменьшить, здесь 10 18-15 нужно для наглядности изложения. Нормализация после преобразования нужна будет все равно, поскольку точно double заведомо ниже даже дробной части decimal. Кроме того, нужно учитывать случай, когда double выходит за пределы int64_t, при таких условиях наш decimal не сможет правильно преобразовать целую часть числа.
Все целые числа преобразовываются в decimal без проблем, просто инициализируя поле m_integral. Преобразование в обратную сторону для целых чисел также будет просто возврат m_integral, можно добавить округление m_fractional.
Преобразование из decimal в double и float сводится к вышеуказанной формуле:
Отдельно стоит рассмотреть преобразование в строку и из строки. Целочисленная часть, по сути, преобразуется в строку как есть, после этого остается только вставить decimal separator и вывести дробную часть как целое, отбросив завершающие нули. Также можно ввести поле «точность» m_precision и записывать в строку лишь указанное в нем число десятичных знаков.
Чтение из строки то же, но в обратную сторону. Здесь сложность лишь в том, что и знак, и целая часть, и разделитель дробной и целой части, и сама дробная часть — все они являются опциональными, и это нужно учитывать.
В общем и целом я предоставляю полную свободу при реализации этого класса, но на всякий случай со статьей идет несколько файлов с исходниками одной из возможных реализаций decimal, а также с небольшим тестом вещественных чисел для лучшего усвоения материала.
GITHUB
Со статьей идет несколько файлов с исходниками одной из возможных реализаций decimal, а также с небольшим тестом вещественных чисел для лучшего усвоения материала.
Не уплывай, и точка!
В заключение скажу лишь то, что подобный тип в C/C++ может появиться в весьма специфической задаче. Как правило, проблемы чисел с большой точностью решаются языками типа Python или C#, но если уж понадобилось по 15–18 знаков до запятой и после, то смело используй данный тип.
Получившийся тип decimal решает проблемы с точностью вещественных чисел и обладает большим запасом возможных значений, покрывающим int64_t. С другой стороны, типы double и float могут принимать более широкий интервал значений и выполняют арифметические операции на уровне команд процессора, то есть максимально быстро. Старайся обходиться аппаратно поддерживаемыми типами, не залезая в decimal лишний раз. Но и не бойся использовать данный тип, если есть необходимость в точном вычислении без потерь.
В помощь также знания о двоичном представлении чисел с плавающей точкой, полученные в этой статье. Зная плюсы и минусы формата типов double и float, ты всегда примешь правильное решение, какой тип пользовать. Ведь, возможно, тебе и вовсе требуется целое число, чтобы хранить массу не в килограммах, а в граммах. Будь внимателен к точности, ведь точность наверняка внимательна к тебе!
Впервые опубликовано в журнале Хакер #192.
Автор: Владимир Qualab Керимов, ведущий С++ разработчик компании Parallels