Область допустимых значений функции
Допустимые и недопустимые значения переменных
В 7 классе заканчивается математика и начинается ее-величество-алгебра. Первым делом школьники изучают выражения с переменными.
Мы уже знаем, что математика состоит из выражений — буквенных и числовых. Каждому выражению, в котором есть переменная, соответствует область допустимых значений (ОДЗ). Если игнорировать ОДЗ, то в результате решения можно получить неверный ответ. Получается, чтобы быстро получить верный ответ, нужно всегда учитывать область допустимых значений.
Чтобы дать верное определение области допустимых значений, разберемся, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.
Рассмотрим все необходимые определения, связанные с допустимыми и недопустимыми значениями переменной.
Выражение с переменными — это буквенное выражение, в котором буквы обозначают величины, принимающие различные значения.
Значение числового выражения — это число, которое получается после выполнения всех действий в числовом выражении.
Выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение.
Выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.
Теперь, опираясь на данные определения, мы можем сформулировать, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.
Допустимые значения переменных — это значения переменных, при которых выражение имеет смысл.
Если при переменных выражение не имеет смысла, то значения таких переменных называют недопустимыми.
В выражении может быть больше одной переменной, поэтому допустимых и недопустимых значений может быть больше одного.
Пример 1
Рассмотрим выражение 
В выражении три переменные (a, b, c).
Запишем значения переменных в виде: a = 0, b = 1, c = 2.
Такие значения переменных являются допустимыми, поскольку при подстановке этих значений в выражение, мы легко можем найти ответ: 
Таким же образом можем выяснить, какие значения переменных — недопустимые.
Подставим значения переменных в выражение 
На ноль делить нельзя.
Что такое ОДЗ
ОДЗ — это невидимый инструмент при решении любого выражении с переменной. Чаще всего, ОДЗ не отображают графически, но всегда «держат в уме».
Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех допустимых значений переменных для данного выражения.
Пример 2
Рассмотрим выражение 
Пример 3
Рассмотрим выражение 
ОДЗ такого выражения будет выглядеть вот так: b ≠ c; a — любое число.
Такая запись означает, что область допустимых значений переменных b, c и a = это все значения переменных, при которых соблюдаются условия b ≠ c; a — любое число.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Как найти ОДЗ: примеры решения
Найти ОДЗ — это значит, что нужно указать все допустимые значения переменных для выражения. Часто, чтобы найти ОДЗ, нужно выполнить преобразование выражения.
Чтобы быстро и верно определять ОДЗ, запомните условия, при которых значение выражения не может быть найдено.
Мы не можем вычислить значение выражения, если:
Теперь, приступая к поиску ОДЗ, вы можете сверять выражение по всем этим пунктам.
Давайте потренируемся находить ОДЗ.
Пример 4
Найдем область допустимых значений переменной выражения a 3 + 4 * a * b − 6.
В куб возводится любое число. Ограничений при вычитании и сложении нет. Это значит, что мы можем вычислить значение выражения a 3 + 4 * a * b − 6 при любых значениях переменной.
ОДЗ переменных a и b — это множество таких пар допустимых значений (a, b), где a — любое число и b — любое число.
Ответ: (a и b), где a — любое число и b — любое число.
Пример 5
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной выражения 
Здесь нужно обратить внимание на наличие нуля в знаменатели дроби. Одним из условий, при котором вычисление значения выражения невозможно явлется наличие деления на ноль.
Это значит, что мы может сказать, что ОДЗ переменной a в выражении — пустое множество.
Пустое множество изображается в виде вот такого символа Ø.
Пример 6
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменных в выражении 
Если есть квадратный корень, то нам нужно следить за тем, чтобы под знаком корня не было отрицательного числа. Это значит, что при подстановке значений a и b должны быть условия, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.
Ответ: ОДЗ переменных a и b — это множество всех пар, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.
Запомните
Например, если х > 6, но х
Зачем учитывать ОДЗ при преобразовании выражения
Иногда выражение просто невозможно решить, если не выполнить ряд тождественных преобразований. К ним относятся: перестановки, раскрытие скобок, группировка, вынесение общего множителя за скобки, приведение подобных слагаемых.
Кроме того, что видов таких преобразований довольно много: нужно понимать, в каких случаях какое преобразование возможно. В этом может помочь определение ОДЗ.
Тождественное преобразование может:
Рассмотрим каждый случай в отдельности.
Пример 7
Поскольку мы должны следить за тем, чтобы в выражении не возникало деление на ноль, определяем условие a ≠ 0.
Это условие отвечает множеству (−∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞).
В выражении есть подобные слагаемые, если привести подобные слагаемые, то мы получаем выражение вида a.
ОДЗ для a — это R — множество всех вещественных чисел.
Преобразование расширило ОДЗ — добавился ноль.
Пример 8
Рассмотрим выражение a 2 + a + 4 * a
ОДЗ a для этого выражения — множество R.
В выражении есть подобные слагаемые, выполним тождественное преобразование.
После приведения подобных слагаемых выражение приняло вид a 2 + 5 * a
ОДЗ переменной a для этого выражения — множество R.
Это значит, что тождественное преобразование никак не повлияло на ОДЗ.
Пример 9
Рассмотрим выражение 
Решить такое неравенство можно методом интервалов, что дает нам ОДЗ (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞).
Затем выполним преобразование исходного выражения по свойству корней: корень произведения = произведению корней.
Приведем выражение к виду 
Решив систему линейных неравенств, получаем множество [4; + ∞).
Отсюда видно, что тождественные преобразования сузили ОДЗ.
От (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞) до [4; + ∞).
Решив преобразовать выражение, внимательно следите за тем, чтобы не допустить сужение ОДЗ.
Запомните, что выполняя преобразование, следует выбирать такие, которые не изменят ОДЗ.
ОДЗ писать нельзя? Ответ ФИПИ. Учителя, расскажите ученикам!
Страшная история и ответ ФИПИ!
Можно ли писать: «ОДЗ»? Узнаем ответ специалистов ФИПИ.
История началась весной 2018 года, когда старшеклассники и учителя оказались очень сильно напуганы. Они говорили нам: «Нам учительница запретила писать ОДЗ! Нам сказали: Забудьте про эти страшные три буквы! Лучше ничего не пишите! Или пишите: Ограничения»!
Но что такое «ограничения»? Дал ли кто-нибудь определение этому слову как математическому термину? И можно ли взять и отменить математический термин? Нет, конечно! Ни теорему синусов, ни область допустимых значений уравнения (или неравенства) отменить нельзя.
Страсти не утихают уже почти 2 года.
Можно ли писать: «ОДЗ»? Ответы специалистов ФИПИ.
Меня также спрашивают, правда ли, что теперь при записи ответа в неравенстве нельзя использовать знак объединения и вместо него надо ставить точку с запятой.
Я задала эти вопросы специалистам ФИПИ – Федерального института педагогических измерений.
Вот что мне ответили:
при выполнении заданий с развернутым ответом ЕГЭ по математике профильного уровня участник экзамена должен привести полное обоснованное решение задачи. При этом он может выбирать любой математически корректный способ решения, а также формы записи решения и ответа.
Ни в одном документе ФГБНУ «ФИПИ» нет запрета на использование тех или иных понятий, фактов, способов записи.
В частности, полное, обоснованное решение, корректно использующее понятие «Область допустимых значений», а также запись ответа с использованием знака объединения при проверке работ, согласно критериям, оценивается максимальным баллом.
С уважением, специалисты ФГБНУ «ФИПИ»
Вот и всё. Писать «ОДЗ» можно, только делать это надо правильно. Ведь, по определению, область допустимых значений уравнения или неравенства – это множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения имеют смысл.
Например, ОДЗ неравенства
задается системой условий:
Вот такие (и многие другие) интересные тонкости оформления мы разбираем на нашем Онлайн-курсе.
Этот курс особенно полезен для учителей и репетиторов. Он дает то самое профессиональное общение, которого учителям так часто не хватает. Дает возможность выяснить все непонятные моменты. И конечно, намного лучше, если мы не пугаем детей иррациональными запретами, не ставим лишних «ограничений», а спокойно и профессионально объясняем то, что непонятно.
В курсе есть все, чтобы подготовить на 100 баллов +.мастер-классы по методике подготовки. Ближайший в эти выходные. И пусть вас не пугает срок доступа. Летом будут специальные акции на продление преподавательского тарифа.
Готовьтесь к ЕГЭ с профессионалами!
— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 35 ч. онлайн занятий с Анной Малковой в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 2 репетиционных ЕГЭ.
Курс «11 класс, 80 баллов»
— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 54 ч. онлайн занятий с Анной Малковой, 3 в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 9 репетиционных ЕГЭ.
Курс «11 класс, 100 баллов»
— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 120 ч. онлайн занятий с Анной Малковой, 8 в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 9 репетиционных ЕГЭ.
Курс для преподавателей
— Вся теория профильного ЕГЭ, все задачи.
— 4 онлайн занятия в месяц (70 ч.).
— Мастер-классы по методике преподавания раз в месяц (18 ч.).
Повышение цен через 2 дня!
Это полезно
В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.
Раскрытие модулей на ОДЗ
Раскрытие модулей на ОДЗ
При решении задач с модулями не всегда сразу возникает необходимость в применении метода интервалов или каких-либо других способов избавления от модулей. Иногда бывает достаточно провести анализ ОДЗ, и в результате по крайней мере часть модулей удаётся однозначно раскрыть. Рассмотрим три примера.
Пример №274.
Решить уравнение 
Решение:
Очевидно, 
Более того, так как левая часть уравнения неотрицательна, то и равная ей правая часть должна быть неотрицательна, т.е. 
Но при 
модуль раскрывается положительно, и, решая полученное уравнение 
находим 
или 
Только второе число удовлетворяет условию 
и поэтому будет решением.
Пример №275.
Решить уравнение 
Решение:
Заметим, что левая часть уравнения положительна (как сумма двух неотрицательных слагаемых, одновременно не обращающихся в нуль). Следовательно, 
Но при 
оба модуля раскрываются положительно, и, решая полученное неравенство, находим 
. Так как все такие 
удовлетворяют условию , то они являются решениями. Ответ: 
Пример №276.
Решение:
Очевидно,
. Более того, так как дробь, по условию, больше 1, то она, как минимум, положительна. При этом числитель дроби положителен, а значит, и знаменатель должен быть положительным, т.е. 
Перепишем неравенство в виде:
Видно, что при 
подмодульное выражение положительно, следовательно, модуль однозначно раскрывается, и получаем неравенство 
— верно при. Ответ: 
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Рациональные уравнения с примерами решения
Содержание:
Рациональные уравнения. Равносильные уравнения
два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.
Так, например, равносильными будут уравнения 
Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.
1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;
2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;
3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.
Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.
Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.
Применение условия равенства дроби нулю
Напомним, что 
когда 
Пример №202
Решите уравнение 
Решение:
С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду 
где 
и 
— целые рациональные выражения. Имеем:
Окончательно получим уравнение: 
Чтобы дробь 
равнялась нулю, нужно, чтобы числитель 
равнялся нулю, а знаменатель 
не равнялся нулю.
Тогда 
откуда 
При 
знаменатель 
Следовательно, 
— единственный корень уравнения.
Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:
Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:
1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду 
2) приравнять числитель 
к нулю и решить полученное целое уравнение;
3) исключить из его корней те, при которых знаменатель 
равен нулю, и записать ответ.
Использование основного свойства пропорции
Если 
то 
где 
Пример №203
Решите уравнение 
Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то 
Имеем: 
то есть ОДЗ переменной 
содержит все числа, кроме 1 и 2.
Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: 
получив пропорцию: 
По основному свойству пропорции имеем:
Решим это уравнение:
откуда 
Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.
Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:
Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:
1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;
2) привести уравнение к виду 
3) записать целое уравнение 
и решить его;
4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.
Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей
Пример №204
Решите уравнение 
Решение:
Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:
Областью допустимых значений переменной будут те значения 
при которых 
то есть все значения 
кроме чисел 
А простейшим общим знаменателем будет выражение 
Умножим обе части уравнения на это выражение:
Получим: 
а после упрощения: 
то есть 
откуда 
или 
Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.
Решая дробное рациональное уравнение, можно:
3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;
4) решить полученное целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.
Пример №205
Являются ли равносильными уравнения
Решение:
Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.
Степень с целым показателем
Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:
где 
— натуральное число, 
В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: 
кг. Как понимать смысл записи 
Рассмотрим степени числа 3 с показателями 
— это соответственно 
В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим: 
Число 
должно быть втрое меньше числа 
равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, 
Равенство 
справедливо для любого основания 
при условии, что 
Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть 
при 
Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа 
записано число 
Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно 
Следовательно, 
Рассуждая аналогично получаем: 
и т. д.
Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:
если 
натуральное число, то 