Слово Как написать уравнение касательной к графику параллельной прямой - однокоренные слова и морфемный разбор слова (приставка, корень, суффикс, окончание):

Как составить уравнение касательной к графику функции

Задания, связанные с нахождением уравнения касательной, часто вызывают трудности у учеников старших классов. Подобные задачи встречаются и на ЕГЭ по математике. Они могут иметь различную формулировку. К примеру, школьникам предлагают определить тангенс угла наклона касательной или написать, чему будет равна производная в какой-либо конкретной точке. Для решения всех подобных заданий нужно придерживаться простой последовательности действий, которая будет подробно рассмотрена ниже.

Как составлять уравнение касательной в заданной точке

При написании уравнения будем использовать следующие обозначения:

Перед написанием уравнения следует проверить существование функции в заданной точке касания, является ли она непрерывной и дифференцируемой в ней. Например, гипербола f(x) = 14 / (x + 11) прерывается в x = –11, а g(x) = |8x + 9|, хоть и является непрерывной на всей числовой прямой, в x = 0 не является дифференцируемой.

Алгоритм написания уравнения

После проверки можно приступать к нахождению уравнения. Разберем несложную задачу, в которой нужно найти касательную к f(x) = 3x³ – 6x² + 2x – 1 в x0 = 1. Для этого будем следовать данному алгоритму:

В результате приобретает вид: y = –x – 1. Изобразим графики исходной функции и касательной в x0 = 1.

Рассмотрим уравнение более подробно. Как уже было сказано ранее, в общем виде оно имеет вид y = kx + b. В задачах, встречающихся на ЕГЭ, часто нужно рассчитать угловой коэффициент, тангенс угла наклона или же определить, чему будет равна производная в точке касания. Их роль выполняет k — коэффициент, находящийся перед x. Для полученного в примере уравнения k = –1.

Рассмотрим некоторые виды заданий, для решения которых необходимо уметь выписывать касательную к функции в конкретной точке.

Задачи на написание уравнения касательной

Различают несколько типов задач на уравнение касательной в определенной точке. Самый первый и простой тип уже был разобран при написании алгоритма решения подобных заданий. В них необходимо выписать уравнение или коэффициент k. Условием определяется исходная функция и точка касания.

Ко второму типу относятся задачи, в которых известно k, но неизвестно, где происходит касание. Как правило, в их формулировках указывается, что касательная будет проходить параллельна по отношению к оси абсцисс (тогда подразумеваем k = 0), или к какой-либо линейной функции (тогда угловой коэффициент касательной совпадает с коэффициентом k линейной функции). Рассмотрим, как нужно рассуждать, решая такие задания.

Записать уравнение касательной для параболы f(x) = 2x² – 3, если известно, что она будет параллельна y = –8x + 2.

В третьем типе заданий в условии задается функция и точка, которая не принадлежит ее графику, но лежит на ее касательной.

Написать уравнение касательной к кубической функции g(x) = 2x³, если известно, что она проходит через точку Q(0;–0,5).

Часто встречаются различные графические задачи, не требующие подробного решения. Пример такого задания приведен ниже.

Показан график функции, которая определена на участке [–7;7]. Необходимо выяснить, сколько точек существует на промежутке [–4;6], в которых касательная к изображенной функции будет параллельна y = –66.

Будем рассуждать так. Прямая y = –66 проходит параллельно оси абсцисс. Это значит, что ее угловой коэффициент, а также значение производной в точке, где произошло касание, и угол наклона касательной будут нулевыми. Это возможно лишь в точках экстремума. Подсчитать их количество не составит труда: 4 максимума и 3 минимума, т. е. 7 точек. Однако –5 не входит в промежуток, заданный условием. Поэтому окончательным ответом будет число 6.

Видео

Закрепить это тему вам поможет видео.

Источник

Уравнение касательной к графику функции

п.1. Уравнение касательной

п.2. Алгоритм построения касательной

На входе: уравнение кривой \(y=f(x)\), абсцисса точки касания \(x_0\).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания \(f(x_0)\)
Шаг 2. Найти общее уравнение производной \(f’ (x)\)
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания \(f'(x_0 )\)
Шаг 4. Записать уравнение касательной \(y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)\), привести его к виду \(y=kx+b\)
На выходе: уравнение касательной в виде \(y=kx+b\)

Пусть \(f(x)=x^2+3\). Найдем касательную к этой параболе в точке \(x_0=1\).

п.3. Вертикальная касательная

Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода \(x_0\notin D\), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку \(x_0\in D\), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку \((x_0,y_0)\).

Вертикальные касательные характерны для радикалов вида \(y=\sqrt[n]\).

Пусть \(f(x)=\sqrt[5]+1\). Найдем касательную к этой кривой в точке \(x_0=1\).

\(f(x_0)=\sqrt[5]<1-1>+1=1\)
\(f'(x)=\frac15(x-1)^<\frac15-1>+0=\frac15(x-1)^<-\frac45>=\frac<1><5(x-1)^<\frac45>> \)
\(f'(x_0)=\frac<1><5(1-1)^<\frac45>>=\frac10=+\infty\)
В точке \(x_0\) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: \(x=1\)
Ответ: \(y=2x+2\)

п.4. Примеры

Пример 1. Для функции \(f(x)=2x^2+4x\)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой \(2x+y-6=0\). Напишите уравнение этой касательной.

Найдем угловой коэффициент заданной прямой: \(y=-2x+6\Rightarrow k=-2\). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже \(k=-2\). Получаем уравнение: \begin f'(x_0)=-2\\ 4x_0+4=-2\Rightarrow 4x_0=-6\Rightarrow x_0=-\frac32 \end Точка касания \(x_0=-\frac32\) \begin f(x_0)=2\cdot\left(-\frac32\right)^2+4\cdot\left(-\frac32\right)=\\ =\frac92-6=-\frac32 \end Уравнение касательной: \begin y=-2\cdot\left(x+\frac32\right)-\frac32=-2x-\frac92 \end Или, в каноническом виде: \begin 2x+y+\frac92=0 \end

г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

У горизонтальной прямой \(k=0\). Получаем уравнение: \(f'(x_0)=0\). \begin 4x_0+4=0\Rightarrow 4x_0=-4\Rightarrow x_0=-1 \end Точка касания \(x_0=-1\) \begin f(x_0)=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)=-2 \end Уравнение касательной: \begin y=0\cdot(x+1)-2=-2 \end

Ответ: а) \(y=4x\) и \(y=-4x-8\); б) \(y=x-\frac98\); в) \(2x+y+\frac92=0\); г) \(y=-2\)

Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции \(f(x)=\frac-x\) перпендикулярна прямой \(y=11x+3\). Напишите уравнение этой касательной.

Угловой коэффициент данной прямой \(k_1=11\).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k_2=-\frac<1>=-\frac<1><11>\) \begin f'(x)=\left(\frac\right)’-x’=\frac<2x(x+3)-(x^2+2)\cdot 1><(x+3)^2>-1=\frac<2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2><(x+3)^2>=\\ =\frac<(x+3)^2>=- \frac<11> <(x+3)^2>\end В точке касания: \begin f'(x_0)=k_2\Rightarrow=-\frac<11><(x+3)^2>=-\frac<1><11>\Rightarrow (x+3)^2=121\Rightarrow (x+3)^2-11^2=0\Rightarrow\\ \Rightarrow (x+14)(x+8)=0\Rightarrow \left[ \begin x=-14\\ x=8 \end \right. \end
Уравнение касательной при \(x_0=-14\) \begin f(x_0)=\frac<(-14)^2+2><-14+3>+14=\frac<198><-11>+14=-18+14=-4\\ y=-\frac<1><11>(x+14)-4=-\frac <11>\end Уравнение касательной при \(x_0=8\) \begin f(x_0)=\frac<8^2+2><8+3>-8=\frac<66><11>-8=-2\\ y=-\frac<1><11>(x-8)-2=-\frac <11>\end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение \(y=-\frac<11>\)
и точка касания (8;-2), уравнение \(-\frac<11>\)

Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам \(y=x^2-5x+6\) и \(y=x^2+x+1\). Укажите точки касания.

Пример 5*. Докажите, что кривая \(y=x^4+3x^2+2x\) не пересекается с прямой \(y=2x-1\), и найдите расстояние между их ближайшими точками.

Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом \(k=2\), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой \(y=2x-1\).
Строим уравнение касательной. По условию: \(f'(x)=4x^3+6x+2=2\) \begin 4x^3+6x=0\Rightarrow 2x(2x^2+3)=0\Rightarrow \left[ \begin x=0\\ 2x^2+3=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x^2=-\frac32 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x\in\varnothing \end \right. \Rightarrow x=0 \end Точка касания \(x_0=0,\ y_0=0^4+3\cdot 0^2+2\cdot 0=0\).
Уравнение касательной: \(y=2(x-0)+0=2x\)

Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: \(y=2x\) и \(y=2x-1\). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую \(y=2x-1\) имеет угловой коэффициент \(k=-\frac12\), его уравнение: \(y=-\frac12 x+b\). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и \(b=0\).

Уравнение перпендикуляра: \(y=-\frac x2\).
Находим точку пересечения прямой \(y=2x-1\) и перпендикуляра \(y=-\frac x2\): \begin 2x-1=-\frac x2\Rightarrow 2,5x=1\Rightarrow x=0,4;\ y=-\frac<0,4><2>=-0,2 \end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние \(OA=\sqrt<0,4^2+(-0,2)^2>=0,2\sqrt<2^2+1^2>=\frac<\sqrt<5>><5>\)
Ответ: \(\frac<\sqrt<5>><5>\)

Источник

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.

Решение

Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3

Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

Для наглядности изобразим графически.

Решение

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

Вычисляем соответствующие значения функции

Рассмотрим графическое изображение решения.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Решение

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Касательная к эллипсу

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

Решение

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид

Графически касательные обозначаются так:

Касательная к гиперболе

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

Ответ: уравнение касательной можно представить как

Наглядно изображается так:

Касательная к параболе

Графически изобразим как:

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

Ответ: уравнение касательной принимает вид

Источник

Уравнение касательной к графику функции (ЕГЭ 2022)

Чтобы разобраться с этой темой, нужно знать что такое производная.

Сейчас проверим, знаешь ли ты ее… ?

Найди приращение функции \( y=<^<2>>+2x+3\) при приращении аргумента, равном \( \Delta x\).

Должно получиться \( \Delta y=\Delta x\left( \Delta x+2x+2 \right)\).

А теперь найди производную функции \( y\left( x \right)=3<<\sin >^<2>>\sqrt\) в точке \( <_<0>>=\frac<<\pi >^<2>><16>\).

Если в каком-нибудь из этих примеров возникли сложности, настоятельно рекомендую вернуться к теме «Производная» и проштудировать ее еще раз.

Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше…

А если ты справился, то в путь!

Уравнение касательной к графику функции — коротко о главном

Геометрический смысл производной

Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции \( f\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\):

Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной

Алгоритм	Пример: \( f\left( x \right)=<^<2>>-2x+3\), \( <_<0>>=3\)
1. Вычислим \( f\left( <_<0>> \right)\)	\( f\left( <_<0>> \right)=f\left( 3 \right)=<<3>^<2>>-2\cdot 3+3=6\)
2. Найдем формулу производной функции \( ’\left( x \right)\)	\( ’\left( x \right)=<<\left( <^<2>>-2x+3 \right)>^<\prime >>=2 -2\)
3. Вычислим \( ’\left( <_<0>> \right)\)	\( ’\left( <_<0>> \right)=’\left( 3 \right)=2\cdot 3-2=4\)
4. Подставим \( <_<0>>,\text< >f\left( <_<0>> \right)\) и \( ’\left( <_<0>> \right)\) в формулу уравнения касательной \( y=’\left( <_<0>> \right)\cdot \left( x-<_<0>> \right)+f\left( <_<0>> \right)\)	\( \beginy=’\left( <_<0>> \right)\cdot \left( x-<_<0>> \right)+f\left( <_<0>> \right)=\\\text< >=4\left( x-3 \right)+6=4 -12+6=\\\text< >=4 -6\end\)

Геометрический смысл производной

Если плохо разбираешься в производной, то вот тебе полноценный гид по ней, с текстом, примерами и вебинарами: «Производная функции – геометрический смысл и правила дифференцирования»!

Рассмотрим график какой-то функции \( y=f\left( x \right)\):

Выберем на линии графика некую точку \( A\). Пусть ее абсцисса \( <_<0>>\), тогда ордината равна \( f\left( <_<0>> \right)\).

Затем выберем близкую к точке \( A\) точку \( B\) с абсциссой \( <_<0>>+\Delta x\); ее ордината – это \( f\left( <_<0>>+\Delta x \right)\):

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии).

Обозначим угол наклона прямой к оси \( Ox\) как \( \alpha \).

Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Какие значения может принимать угол \( \alpha \)?

Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – \( 180<>^\circ \), а минимально возможный – \( 0<>^\circ \).

Значит, \( \alpha \in \left[ 0<>^\circ ;180<>^\circ \right)\). Угол \( 180<>^\circ \) не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с \( 0<>^\circ \), а логичнее выбирать меньший угол.

Возьмем на рисунке такую точку \( C\), чтобы прямая \( AC\) была параллельна оси абсцисс, а \( BC\) – ординат:

По рисунку видно, что \( AC=\Delta x\), а \( BC=\Delta f\).

Тогда отношение приращений:

(так как \( \angle C=90<>^\circ \), то \( \triangle ABC\) – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать \( \Delta x\).

Тогда точка \( B\) будет приближаться к точке \( A\). Когда \( \Delta x\) станет бесконечно малым \( \left( \Delta x\to 0 \right)\), отношение \( \frac<\Delta f><\Delta x>\) станет равно производной функции в точке \( <_<0>>\).

Что же при этом станет с секущей?

Точка \( B\) будет бесконечно близка к точке \( A\), так что их можно будет считать одной и той же точкой.

Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки \( A\), но этого достаточно).

Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси \( \displaystyle Ox\) назовем \( \varphi \). Тогда получится, что производная

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

За что отвечает коэффициент \( \displaystyle k\)? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент.

Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью \( \displaystyle Ox\)!

То есть вот что получается:

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей?

Посмотрим: Теперь углы \( \alpha \) и \( \displaystyle \varphi \) тупые. А приращение функции \( \Delta f\) – отрицательное.

Получаем: \( \frac<-\Delta f><\Delta x>=-\ \alpha \text< >\Rightarrow \text< >\frac<\Delta f><\Delta x>=\ \alpha \), то есть все, как и в прошлый раз.

Снова устремим точку \( \displaystyle B\) к точке \( \displaystyle A\), и секущая \( \displaystyle AB\) примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке \( \displaystyle A\).

Итак, сформулируем окончательно полученное правило:

Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

Это и есть геометрический смысл производной.

Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:

На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\mathsf\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \( <_<0>>\).

Найдите значение производной функции \( \displaystyle \mathsf\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\).

Решение.

Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:

\( \displaystyle f’\left( x \right)=k=\ \varphi\).

Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной.

На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Угол наклона касательной к оси \( \displaystyle Ox\) – это \( \displaystyle \angle BAC\). Найдем тангенс этого угла:

Таким образом, производная функции \( \displaystyle \mathsf\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\) равна \( \displaystyle 1,2\).

Ответ: \( \displaystyle 1,2\).

Теперь попробуй сам.

Еще статью на геометрический смысл производной ты найдешь здесь: «Геометрический смысл производной«.

Решим два примера

Пример 1. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\mathsf\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \( <_<0>>\). Найдите значение производной функции \( \displaystyle \mathsf\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\);

Пример 2. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\mathsf\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \( <_<0>>\). Найдите значение производной функции \( \displaystyle \mathsf\left( x \right)\) в точке \( <_<0>>\).

Решение примера №1

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:

\( \displaystyle k=f’\left( x \right)=\ \beta\).

Достроим треугольник со стороной \( \displaystyle AC\), лежащей на касательной.

Угол наклона касательной – это угол, отмеченный зеленым на графике.

Он тупой \( \left( >90<>^\circ \right)\), поэтому его тангенс не получится вычислить так же, как в предыдущем примере (ведь в прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла).

Применим знания из тригонометрии:

Источник