Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.
Общее уравнение прямой: основные сведения
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.
Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.
Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.
Неполное уравнение общей прямой
Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.
Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.
Решение
На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.
Решение
Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости
Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.
Решение
Решение
Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.
Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.
Решение
Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.
Решение
Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:
Решение
Произведем нужные действия по алгоритму:
Решение
В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.
Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:
Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:
Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:
Решение
Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:
Перейдем от канонического к общему:
Решение:
Просто перепишем уравнение в необходимом виде:
Составление общего уравнения прямой
Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.
Решение
Решение
Прямая линия. Уравнение прямой.
Свойства прямой в евклидовой геометрии.
Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются
параллельными (следует из предыдущего).
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия
задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Общее уравнение прямой.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим
уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)
подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На
плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
Дробь 
= k называется угловым коэффициентом прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить 
, то полученное уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание
прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор 
(α1, α2), компоненты которого удовлетворяют условию
Аα1 + Вα2 = 0 называется направляющим вектором прямой.
Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,
коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:
или 
, где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения
прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число 
, которое называется
нормирующем множителем, то получим
Цели: вывести уравнение прямой и показать, как можно использовать это уравнение при решении геометрических задач; развивать логическое мышление учащихся.
I. Самостоятельная работа (контролирующая, 10–15 мин).
Решить задачи № 959 (г), 968, 960 (б).
Решить задачи № 959(в), 967, 960 (в).
II. Изучение нового материала.
1. Уравнением любой прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени с двумя переменными (уравнение прямых, параллельных осям координат, также можно считать уравнением с двумя переменными, например, уравнение x = x0 можно записать в виде x + 0y = x0) и, наоборот, любое уравнение первой степени с двумя переменными задает прямую.
2. Вывести уравнение данной прямой l в заданной прямоугольной системе координат (рис. 287): ax + by + c = 0.
3. Вывести уравнение прямой l, проходящей через точку M0 (x0; y0) и параллельной оси ОX (рис. 288) y = y0.
4. Ось OX имеет уравнение y = 0, а ось OY – уравнение x = 0.
III. Закрепление изученного материала (решение задач).
1. Учитель объясняет решение задачи.
напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки Р (2; 1) и Q (–3; –1).
Уравнение прямой PQ имеет вид ax + by + c = 0. Так как точки P и Q лежат на прямой PQ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:
2cx – 5cy + c = 0 |: c 
0, тогда прямая PQ задана уравнением 2x – 5y + 1 = 0.
Ответ: 2x – 5y + 1 = 0.
2. Самостоятельно по учебнику учащиеся разбирают решение задачи № 972 (а), с. 245.
3. Решить задачу № 973 на доске и в тетрадях.
4. Решить задачу № 975.
Пересечение прямой с осью OX: y = 0, тогда 3x – 4 ∙ 0 + 12 = 0; 3x = –12; x = –4; точка А (–4; 0);
пересечение прямой с осью OY: x = 0, тогда 3 ∙ 0 – 4y + 12 = 0; –4y = –12; y = 3; точка В (0; 3).
5. Решить задачу № 976 (повторить при решении способ сложения систем уравнений):
Точка пересечения прямых D (3; –2).
6. Решить задачу № 977.
Прямая, проходящая через точку М (2; 5) и параллельная оси OX, имеет вид: y = 5; прямая, параллельная оси OY, записывается уравнением: х = 2.
7. Самостоятельное решение учащимися задачи № 978.
8. Решить устно задачи.
1) Окружность задана уравнением (x – 1)2 + y2 = 9. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат.
Центр О (1; 0) и параллельная оси OY прямая x = 1.
2) Окружность задана уравнением (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси абсцисс.
Центр А (–1; 2); прямая y = 2 параллельна оси OX.
Домашнее задание: повторить материал пунктов 86–91; изучить материал пункта 92; вопросы 1–21, с. 249; решить задачи №№ 972 (б), 979; записать в тетрадях и разобрать решение задачи № 984 (с. 248 учебника); подготовиться к устному опросу по карточкам.
Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.
Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.
Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.
Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.
© 2014-2021 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки
Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).
1 способ — составим уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2 способ — составим общее уравнение прямой.
Общее уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0. Подставив координаты точек A и B в уравнение, получаем систему:
Поскольку количество неизвестных больше количества уравнений, система не разрешима. Но можно все переменные выразить через одну. Например, через b.
получим: 5a-10b=0. Отсюда a=2b.
2bx+by-3b=0. Осталось разделить обе части на b:
Общее уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой с угловым коэффициентом:
3 способ — составим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:
Подставим в это уравнение координаты точек A(-3; 9) и B(2;-1)
В школьном курсе чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом. Но самый простой способ — вывести и использовать формулу уравнения прямой, проходящей через две точки.
Если при подстановке координат заданных точек один из знаменателей уравнения
окажется равным нулю, то искомое уравнение получается приравниваем к нулю соответствующего числителя.
Подставляем в уравнение прямой, проходящей через 2 точки, координаты точек C и D:
Составить уравнение прямой, проходящей через точки M (7; 3) и N (7; 11).
Уравнение прямой 9 класс
Уравнение прямой 9 класс презентация к уроку
Просмотр содержимого документа
«Уравнение прямой 9 класс»
Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Взаимное расположение прямых
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями : x + 2 y – 1 = 0, 2 x – y + 3 = 0.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
которое можно также переписать в виде
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Напишите уравнение прямой, изображенной на рисунке.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Напишите уравнение прямой, изображенной на рисунке.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Напишите уравнение прямой, проходящей через точки A (1, 0), B (0, 1).
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A 0 (1, 2) с вектором нормали (-1, 1).
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Точка H (-2, 4) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Напишите уравнение этой прямой.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых параллельны между собой:
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Найдите координаты точки пересечения прямых:
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: а ) ax – by + с = 0 ;
Треугольник задан своими вершинами A (1, 3), B (3, 0), C (4, 2). Найдите уравнения высот этого треугольника и координаты их точки пересечения.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой