Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.
Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:
многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;
прямая призма, все грани которой есть квадраты;
прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.
Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.
Элементы куба
Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.
Грань
Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.
Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.
Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.
Ребро
Линии пересечения сторон называются рёбрами.
Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.
Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.
Вершина
Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.
Центр грани
Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.
Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.
Центр куба
Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.
Это есть центр симметрии куба.
Ось куба
Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.
Диагональ куба
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.
Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:
Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.
Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Диагональ грани куба
Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:
Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.
Объем куба
Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:
Периметр куба
Сумма длин всех рёбер равна:
Площадь поверхности
Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:
Сфера, вписанная в куб
Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.
Радиус равен половине ребра:
Сфера, описанная вокруг куба
Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:
Координаты вершин куба
В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.
Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:
Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).
Свойства куба
Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.
Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.
у куба все грани равны, являются квадратами;
у куба все рёбра равны;
один центр и несколько осей симметрии.
Таблица кубов
Таблица кубов или таблица возведения чисел в третью степень. Интерактивная таблица кубов и изображения таблицы в высоком качестве.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
| 1 | 1000 | 1331 | 1728 | 2197 | 2744 | 3375 | 4096 | 4913 | 5832 | 6859 |
| 2 | 8000 | 9261 | 10648 | 12167 | 13824 | 15625 | 17576 | 19683 | 21952 | 24389 |
| 3 | 27000 | 29791 | 32768 | 35937 | 39304 | 42875 | 46656 | 50653 | 54872 | 59319 |
| 4 | 64000 | 68921 | 74088 | 79507 | 85184 | 91125 | 97336 | 103823 | 110592 | 117649 |
| 5 | 125000 | 132651 | 140608 | 148877 | 157464 | 166375 | 175616 | 185193 | 195112 | 205379 |
| 6 | 216000 | 226981 | 238328 | 250047 | 262144 | 274625 | 287496 | 300763 | 314432 | 328509 |
| 7 | 343000 | 357911 | 373248 | 389017 | 405224 | 421875 | 438976 | 456533 | 474552 | 493039 |
| 8 | 512000 | 531441 | 551368 | 571787 | 592704 | 614125 | 636056 | 658503 | 681472 | 704969 |
| 9 | 729000 | 753571 | 778688 | 804357 | 830584 | 857375 | 884736 | 912673 | 941192 | 970299 |
Таблица кубов
Теория
Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:
Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».
Скачать таблицу кубов
Таблица кубов и квадратов, как состовлять и найти
Как появилось понятие куб числа?
Древнегреческие математики оперировали так называемыми фигурными числами – числами, которые можно представить в виде фигуры. Выделялись, например:
Последовательность кубов натуральных чисел выглядит так
Полезно будет запомнить, хотя бы те, что меньше тысячи. Особенно мне нравится число 729. Посмотрите:
Еще несколько интересных свойств кубов чисел:
Вот так, к слову выглядит формула вычисления суммы первых кубов чисел:
Степень с натуральным показателем
Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.
Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:
Теория
Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:
Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».
Возвести в куб онлайн
Как возвести число в куб онлайн!? Введите нужное число, которое требуется возвести в куб и нажмите возвести в куб. Справа от равно появится число, которое возвели в куб
Ну и далее пробежимся по нескольким поисковым запросам, которые так или иначе вы задаете в строке поиска!
Дополнительная информация
Квадратом числа называют произведение двух одинаковых множителей.
Мы уже пробовали находить квадраты первого десятка натуральных чисел.
Возводить двузначные числа, трехзначные и т.д. числа немного сложнее, главное хорошо знать и помнить таблицу умножения чисел.
Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.
1) Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы.
2) Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ).
3) Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25).
4) Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ.
Рассмотрим поясняющий пример.
Найдем квадрат 65.
65 2 = 65 ∙ 65
6 ∙ (6 + 1) = 6 ∙ 7 = 42
Запишем число 42 и припишем к нему число 25.
65 2 = 4225
Проверим: Так как квадрат числа- это произведение двух одинаковых множителей 65 2 = 65 ∙ 65, то
65 2 = 65 ∙ 65 = 4225
Получили все тот же ответ: 65 2 = 4225
Что такое куб: определение, свойства, формулы
В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).
Определение куба
Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.
Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.
Свойства куба
Свойство 1
Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:
Свойство 2
Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.
Свойство 3
Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.
Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA1B1B является прямым.
Формулы для куба
Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:
Диагональ
Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.
Диагональ грани
Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.
Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.
Периметр ребер
Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.
Объем
Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.
Радиус описанного вокруг шара
Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.
Радиус вписанного шара
Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.
Как пишется куб в математике
Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту
В этом уроке Вы узнаете, что такое квадрат числа и куб числа, а также познакомитесь с таблицами квадратов и кубов первых десяти натуральных чисел.
Давайте рассмотрим произведение
Оказывается, это произведение можно записать иначе: 5 в степени 2, или как говорят – 5 в квадрате.
Запись эта выглядит следующим образом: пишется число 5, а число 2 записывается чуть в меньшем размере и в правом верхнем углу, вот так:
В буквенном выражении произведение 
называют квадратом числа а и обозначают а в квадрате.
Итак, а умножить на а равно а в квадрате.
Перед вами таблица квадратов первых 10 натуральных чисел.
Из нее мы видим, что один в квадрате будет один. Два в квадрате – 4. Три в квадрате – 9. Четыре в квадрате – 16. Пять в квадрате – 25, шесть в квадрате – 36, семь в квадрате – 49, восемь в квадрате – 64, девять в квадрате – 81, десять в квадрате – 100.
Этой таблицей очень удобно пользоваться при решении следующих заданий:
Для нахождения значения данного выражения необходимо воспользоваться следующим правилом:
Если в числовое выражение входят квадраты чисел, то их значение вычисляют до выполнения остальных действий.
Третье действие: 81 – 9 = 72.
Ответ: Значение выражения равно 72.
Найдите значение выражения: (4 + 3)2 – 8.
Здесь первое действие в скобках 4 + 3 = 7.
Третье действие: 49 – 8 = 41.
Ответ: Значение выражения равно 41.
Переходим к следующему понятию – куб числа.
Произведение 5 * 5 * 5 называют кубом числа 5 и обозначают следующим образом:
Как и в случае с квадратами, существует таблица кубов первых десяти натуральных чисел. Она имеет следующий вид:
один в кубе равно 1, два в кубе равно 8, три в кубе равно 27, четыре в кубе равно 64, пять в кубе равно 125, шесть в кубе равно 216, семь в кубе равно 343, восемь в кубе равно 512, девять в кубе равно 729, десять в кубе равно 1000.
Давайте выполним несколько заданий с использованием данной таблицы.
Значит корень уравнения х = 6.
Задание второе: найдите значение выражения: 83 + 11.
Здесь, как и в случае с квадратами чисел, воспользуемся правилом:
Если в числовое выражение входят кубы чисел, то их значение вычисляют до выполнения остальных действий.
Второе действие 512 + 11 = 523.
Таким образом, в этом уроке Вы узнали, что такое квадрат числа и куб числа, а также познакомились с таблицами квадратов и кубов первых десяти натуральных чисел.
Кроме того, получили правило для нахождения значения числового выражения: если в числовое выражение входят квадраты и кубы чисел, то их значение вычисляют до выполнения остальных действий.