Медиана — это золотое сечение треугольника
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА.
У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам.
И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник.
Медиана — это.
Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка.
Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС.
Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА.
Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр.
Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок:
Есть в треугольнике обычном
Отрезок очень непростой
Соединяет он обычно с серединой стороны любой
И каждый должен знать отлично,
Зовется медианой он.
Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно.
И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три!
И выглядят они вот так.
На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM.
Пересечение медиан треугольника
Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия.
Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.
Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины.
Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом:
Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов.
Медиана равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть.
Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой.
Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам.
И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине.
Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади.
Медиана прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами.
Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника.
Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник.
Вместо заключения
А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений.
Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины.
Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса».
И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей.
Вот и все, что мы хотели рассказать о МЕДИАНЕ. До новых встреч на страницах нашего блога.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (1)
Теперь остаётся подумать над тем, как применить это знание о медиане на практике. Если придумаю, вдруг Нобелевскую премию дадут?
Медиана (геометрия)
Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.
Содержание
Свойства
Формулы
Мнемоническое правило
Медиана — это обезьяна, лазает по сторонам, делит их напополам.
См. также
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Медиана (геометрия)» в других словарях:
Медиана треугольника — У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана. Треугольник и его медианы. Медиана треугольника (лат. … Википедия
Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия
Клейн, Феликс — Феликс Клейн Дата рождения: 25 апреля 1849(1849 04 25 … Википедия
Клейн Ф. — Феликс Клейн Дата рождения: 25 апреля, 1849 Место рождения: Дюссельдорф, Германия Дата смерти: 22 июня, 1925 Место смерти: Гёттинген Гражданство … Википедия
Клейн Феликс — Феликс Клейн Дата рождения: 25 апреля, 1849 Место рождения: Дюссельдорф, Германия Дата смерти: 22 июня, 1925 Место смерти: Гёттинген Гражданство … Википедия
Феликс Клейн — Дата рождения: 25 апреля, 1849 Место рождения: Дюссельдорф, Германия Дата смерти: 22 июня, 1925 Место смерти: Гёттинген Гражданство … Википедия
Эрлангенская программа — Феликс Клейн Эрлангенская программа выступление 23 летнего немецкого математика Феликса Клейна в Эрлангенском университете (октябр … Википедия
Математическая статистика — Математическая статистика наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на … Википедия
Прямоугольный треугольник — Прямоугольный треугольник это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов). Соотношения между сторонами и … Википедия
Теорема Аполлония — Зелёное + Голубое = Красное В планиметрии теорема Аполлония является формулой, выражающей длину медианы треугольника через … Википедия
Определение и свойства медианы треугольника
В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.
Определение медианы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.
Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).
Свойства медианы
Свойство 1 (основное)
Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:
Свойство 2
Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.
Свойство 3
Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Свойство 4
Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.
Свойство 5
Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).
Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:
Примеры задач
Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.
Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:
Свойства медианы треугольника (ЕГЭ 2022)
Сегодня мы рассмотрим часть треугольника, которая не раз поможет тебе при решении многих задач, — медиану.
Эта приятная, лёгкая и полезная теория!
Медиана треугольника — коротко о главном
Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медиана делит площадь треугольника пополам
Но \( \displaystyle AM=CM\), значит, \( \displaystyle <_<\triangle ABM
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.
Но \( \displaystyle AM=CM\), значит, \( \displaystyle <_<\triangle ABM
Длина медианы: \( \displaystyle <
^<2>>=\frac <1>
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.
Определение медианы треугольника
Это очень просто! Возьми треугольник.
Отметь на какой-нибудь его стороне середину \( \displaystyle M\).
И соедини с противоположной вершиной!
Получившийся отрезок \( \displaystyle BM\) и есть медиана.
Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медиана в прямоугольном треугольнике
Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!
Почему. При чём тут прямой угол?
Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.
Ты заметил, что наш треугольник \( \displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?
Проведём диагональ \( \displaystyle BD\):
Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?
Но одна из диагоналей – \( \displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \( \displaystyle \Delta ABC\).
Она называлась у нас \( \displaystyle M\).
Значит, половина второй диагонали – наша медиана \( \displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \( \displaystyle BM=MA=MC\)
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!
Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.
Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?
Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.
Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике
Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.
Задача №1:
В \( \displaystyle \Delta ABC\) стороны \( \displaystyle AC=5\); \( \displaystyle BC=12\). Из вершины \( \displaystyle C\) проведена медиана \( \displaystyle CN\).
Найти \( \displaystyle AB\), если \( \displaystyle AB=2CN\).
Сразу вспоминаем, это если \( \displaystyle CN=\frac
<2>\), то \( \displaystyle \angle ACB=90<>^\circ \)! Ура! Можно применить теорему Пифагора!
Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!
Применяем теорему Пифагора:
А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?
Запомни очень важный факт:
Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( 2:1\), считая от вершины.
Сложно? Смотри на рисунок:
Медианы \( \displaystyle AM\), \( \displaystyle BN\) и \( \displaystyle CK\) пересекаются в одной точке.
Задача №2:
Решение:
\( \displaystyle \angle B=90<>^\circ \) – треугольник прямоугольный!
(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).
Найдём \( \displaystyle AC\) по теореме Пифагора:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Теорема о медиане и площади треугольника
Медиана делит площадь треугольника пополам
Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника. \( S=\frac<1><2>a
И применим эту формулу аж два раза!
Посмотри, медиана \( \displaystyle BM\) разделила \( \displaystyle \triangle ABC\) на два треугольника: \( \displaystyle \triangle ABM\) и \( \displaystyle \triangle BMC\).
Но! Высота-то у них одна и та же – \( \displaystyle BH\)!
Только в \( \displaystyle \triangle ABM\) эта высота \( \displaystyle BH\) опускается на сторону \( \displaystyle AM\), а в \( \displaystyle \triangle BMC\) – на продолжение стороны \( \displaystyle CM\).
Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу
1) B \( \displaystyle \triangle ABM\):
«\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle AM\)
«\( \displaystyle h\)» – это \( \displaystyle BH\)\( \displaystyle \Rightarrow < _<\triangle ABM>>=\frac <1>2) B \( \displaystyle \triangle BMC\):
«\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle CM\)
«\( \displaystyle h\)» – это опять \( \displaystyle BH\)\( \displaystyle \Rightarrow < _<\triangle BMC>>=\frac <1>Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Теорема о трех медианах треугольника
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.
Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.
Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.
Доказательство теоремы о трех медианах треугольника
Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой \( \displaystyle E\).
Соединим точки \( \displaystyle N\) и \( \displaystyle K\). Что получилось?
Конечно, \( \displaystyle NK\) – средняя линяя \( \displaystyle \triangle ABC\). Ты помнишь, что это значит?
А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину \( \displaystyle AE\) – поставим точку \( \displaystyle F\), отметим середину \( \displaystyle EC\) — поставим точку \( \displaystyle G\).
Теперь \( \displaystyle FG\) – средняя линия \( \displaystyle \triangle AEC\). То есть:
Что из этого следует?
Посмотри теперь на четырехугольник \( \displaystyle NKGF\). У какого четырехугольника противоположные стороны (\( \displaystyle NK\) и \( \displaystyle FG\)) параллельны и равны?
Конечно же, только у параллелограмма!
Значит, \( \displaystyle NKGF\) – параллелограмм. Ну и что?
А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.
Снова смотрим на рисунок.
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Формула длины медианы треугольника
Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно?
Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем.
Итак, \( \displaystyle <
^<2>>=\frac <1>
Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам
Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно.
Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения.
Как с этим справиться?
Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать.
ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник
В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники.
ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия
Большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники. Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.
Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше.
И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.
В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.
ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство
Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!
Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.
В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.
Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.
Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.
Теперь вы знаете какие однокоренные слова подходят к слову Как пишется медиана в геометрии, а так же какой у него корень, приставка, суффикс и окончание. Вы можете дополнить список однокоренных слов к слову "Как пишется медиана в геометрии", предложив свой вариант в комментариях ниже, а также выразить свое несогласие проведенным с морфемным разбором.
Какие вы еще знаете однокоренные слова к слову Как пишется медиана в геометрии: