Нам нужно ответить на вопрос как найти сторону квадрата? Мы должны рассмотреть как минимум два возможных случая: 1) как найти сторону квадрата зная его периметр; 2) как найти сторону квадрата зная его площадь.
Квадратом в математике называется геометрическая фигура имеющая одинаковые углы (равные 90 градусам) и одинаковые стороны.
То есть, все стороны квадрата равны между собой.
Давайте вспомним как найти периметр квадрата.
Периметром в математике называется сумма длин всех сторон фигуры, периметр которой нужно найти.
С помощью формулы периметр квадрата можно записать так:
Если нам будет известен периметр прямоугольника, то сторону можно будет найти по формуле:
Иначе говоря, периметр нужно разделить на количество сторон (их у квадрата четыре).
Существует несколько формул для нахождения площади квадрата, но нам нужно вспомнить формулу площади через сторону.
Итак, зная площадь квадрата мы легко можем найти его сторону по формуле:
Иначе говоря, чтобы найти сторону квадрата нужно извлечь квадратный корень из значения площади.
У квадрата все стороны равны. Для того, чтоб найти сторону квадрата необходимо понимать, какие еще величины известны:
1) Если известна площадь квадрата, необходимо вычислить квадратный корень из площади;
2) Если известен периметр квадрата, необходимо периметр разделить на четыре.
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):
Можно дать и другие определение квадрата.
Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).
Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:
Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.
На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.
Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:
Из равенства (1) найдем d:
Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.
Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:
Ответ:
Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):
Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:
Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.
Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:
Ответ:
Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:
Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.
Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:
Ответ:
Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):
Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.
Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:
Из формулы (5) найдем R:
или, умножая числитель и знаменатель на , получим:
Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:
Ответ:
Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.
Из формулы (1) выразим a через R:
Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.
Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:
Ответ:
Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.
Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:
где − сторона квадрата.
Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.
Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:
Ответ:
Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.
Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.
Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).
Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть
Так как AD и BC перпендикулярны, то
Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда
Эти реугольники также равнобедренные. Тогда
Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).
1. Формула стороны квадрата через диагональ
Формула стороны квадрата, ( a ):
2. Формула стороны квадрата через радиус вписанной окружности
Формула стороны квадрата, ( a ):
3. Формула стороны квадрата через радиус описанной окружности
Формула стороны квадрата, ( a ):
4. Формула стороны квадрата через площадь и периметр
Формула стороны квадрата, ( a ):
5. Формула стороны квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата
Формула стороны квадрата, ( a ):
Рассмотрим фигуру она называеться квадрат.
Стороны AB, BC, CD, DA другое название они имеют ребра; углы A, B, C, D; второе название вершины, зеленим цветом обозначаются диагонали AD, BC. Диагонали в квадрате равны и точкой пересечения делятся пополам.
Периметр P=4•a, Площадь S=a·а
1. Длины сторон квадрата равны.
2. Все углы квадрата прямые.
3. Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу AB∥CD,BC∥AD
4. Сумма всех углов квадрата равна 360 градусов ∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360∘
5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45 градусов ∠BAC=∠BCA=∠CAD=∠ACD=45∘
6. Диагонали квадрата — тождественны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.
7. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.
8. Обе диагонали делят квадрат на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Квадрат является правильным четырехугольников, у которого все стороны и величины всех углов равны. Это значительно упрощает вычисления, входящие в состав задачи. Диагонали, проведенные в квадрате, также равны друг другу и пересекаются под тем же углом, что и со сторонами: m(
Диагональ квадрата делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, в которых по теореме Пифагора можно вычислить сторону или диагональ квадрата. a^2+a^2=d^2 2a^2=d^2 d=√2 a
Периметр квадрата является суммой всех его сторон, а так как они одинаковы, то его можно представить в виде произведения стороны квадрата на 4. P=4a
Площадь квадрата вычисляется возведением его стороны во вторую степень. S=a^2
Радиус вписанной в квадрат окружности исходит из центра квадрата, который по совместительству является точкой пересечения диагоналей, и опускается под прямым углом на сторону. Из рисунка видно, что радиус вписанной окружности параллелен другой стороне квадрата и составляет ровно половину от ее длины. Таким образом, радиус вписанной окружности будет равен стороне квадрата, деленной на два. (рис. 69.2) r=a/2
Радиус описанной окружности исходит из центра квадрата – точки пересечения диагоналей, и опускается в угол квадрата, тем самым составляя половину диагонали квадрата. Преобразуя эту формулу для стороны получим следующее выражение. (рис. 69.3) R=d/2=(√2 a)/2=a/√2
Теперь вы знаете какие однокоренные слова подходят к слову Как пишется сторона квадрата, а так же какой у него корень, приставка, суффикс и окончание. Вы можете дополнить список однокоренных слов к слову "Как пишется сторона квадрата", предложив свой вариант в комментариях ниже, а также выразить свое несогласие проведенным с морфемным разбором.