Слово Как написать пересекаются в геометрии - однокоренные слова и морфемный разбор слова (приставка, корень, суффикс, окончание):

Знак пересечения

Определение

Знак пересечения – это символ, указывающий на пересечение прямых, углов, лучей, отрезков, плоскостей и других фигур в геометрии, пересечение множеств в математике (алгебре) и информатике.

Как пишется этот символ пересечения?

Этот знак выглядит и пишется так – ⋂

Его достаточно легко запомнить, он похож на русскую букву «П», начальную букву слова «пересечение».

Как быстро запомнить этот знак?

Просто представьте себе и запомните, что этот символ выглядит как буква «П» и похож на подкову, перевернутую вниз ногами.

Как применяется знак ⋂?

Применяется для обозначения пересечения прямых, углов, лучей, отрезков в геометрии, пересечение множеств в математике (алгебре) и информатике.

Как выглядит знак «не пересечения» в геометрии?

Пример

А ∩ С = ∅ — 2 луча или (2 прямые, 2отрезка) А и С не пересекаются.

Что обозначает знак пересечения наоборот?

Это символ выглядит и пишется следующим образом: ∪

Обозначается термином – «объединение».

Источник

Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс

Решение задачи

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

Как обозначается пересечение прямых

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

Третий случай расположения прямых

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Источник

Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Если система уравнений:

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе

Из первого уравнения найдем значение x

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

Подставим значение t во второе и третье уравнение

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

Из второго уравнения выразим y через x

Подставим y в первое уравнение

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k ₁ = k ₂ = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Если система уравнений:

Решение: Составим систему уравнений

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

Источник

Точка и прямая в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Для полного выявления наружных и внутренних форм деталей и их соединений вводят три и более плоскости проекций.

Введем в систему плоскостей

Чертеж точки

Данное наглядное изображение тонки в системе плоскостей Н, V и W (рис. 3.3) неудобно для черчения из-за сложности. Преобразуем его так, чтобы горизонтальная и профильная плоскости проекций совпали с фронтальной плоскостью проекций, образуя одну плоскость чертежа (рис. 3.4).

Это преобразование осуществляют путем поворота вокруг оси х плоскости Н на угол 90° вниз и плоскости W на угол 90° вправо вокруг оси z. В результате указанного совмещения плоскостей получаем чертеж, называемый эпюр Монжа (от франц, — чертеж, проект).

На эпюре мы не можем показать пространственную картину рас­положения плоскостей проекций и точки. Но эпюр обеспечивает точность изображений при значительной простоте построений.

Таким образом, на комплексном чертеже трех ортогональных проекций точки

Положение точки в пространстве задается при помощи трех се координат (абсциссы ординаты и аппликаты то есть трех чисел, вы­ражающих расстояние от этой точки до координатных плоскостей проекций. Запись координат точки производят в такой форме: А (х, у, z). Положение точки на плоскости определяют две координаты: а(х,у); a'(x,z); a»(y,z).

По отношению к плоскостям проекций точка может занимать как общее (точка А), так и частные (точки В и С) положения (рис. 3.5). Если точка лежит в плоскости проекций, то две ее проекции лежат на осях проекций (точка В). У такой точки одна ее координата равна нулю. Если точка принадлежит одновременно двум плоскостям проекций (точка С), то она ле­жит на оси проекций. Две ее проекции совпадают, а третья совпадает с точкой О — началом координат. В атом случае две ее координаты равны нулю. Если точка принадлежит трем плоскостям проекций, то она расположена в начале координат.

Взаимное положение двух точек. Условия видимости на чер­теже

Ясно, что если две точки лежат на одной проецирующей прямой, то одна из них закрывает другую. Как определить, какая из них будет видимая и какая невидимая?

Из двух горизонтально- конкурирующих точек на горизонтальной плоскости видима та, которая расположена в пространстве выше. Анализируя положение фронтальных проекций точек (рис. 3.7), определяем, что точка А имеет большую координату z, чем точка В.

Из двух фронтально- конкурирующих точек на фронтальной плоскости проекций будет видима та, которая расположена ближе к наблюдателю, стоящему лицом к фронтальной плоскости проекций (рис. 3.8).

Из двух профильно-конкурирующих точек на профильной плоскости проекций бу­дет видима та точка, которая расположена левее.

Итак, если на чертеже одноименные проекции точек не совпадают или совпадает только одна пара проекций, то такие точки в пространстве не совпадают, а удалены друг от друга на определенное расстояние (рис. 3.7, 3.8).

Чертёж отрезка прямой. Прямые частного положения

Наглядное изображение отрезка АВ прямой и его ортогональное проецирование на плоскость Р показано на рис. 3.9. Рассмотрим ортогональное проецирование отрезка АВ с учетом свойств параллельного проецирования. Проецирующие прямые образуют проецирующую плоскость Линия пере­сечения плоскостей и Р проходит через проекции а и b точек А и В на плоскости ­ проекций Р. Эта линия и является единственной проекцией прямой АВ на плоскости проекций Р.

Относительно плоскостей проекции прямая может занимать различные положения:

Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения (рис. 3.9 — 3.11).

Прямую, параллельную одной из плоскостей проекций или двум плоскостям проекций (то есть перпендикулярную третьей), называют прямой частного положения.

Различают три вида таких прямых.

Прямая АВ параллельна плоскости Н

Такую прямую называют «горизонтальной прямой» (рис. 3.12). Фронтальная проекция прямой параллельна оси профильная проекция параллельна оси длина горизонтальной проекции отрезка равна длине самого отрезка угол образованный горизонтальной проекцией и осью проекции равен углу наклона прямой к фронтальной плоскости проекций; угол образованный горизонтальной проекцией и осью проекции равен углу наклона прямой к профильной плоскости проекций:

Прямая CD параллельна плоскости V

Такую прямую называют «фронтальной прямой» (рис. 3.13).

Горизонтальная проекция прямой cd параллельна оси х; профиль­ная проекция параллельна оси z; длина фронтальной проекции отрезка равна длине самого отрезка угол образованный фронтальной проекцией и осью проекций х, равен углу наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций; угол образованный фронталь­ной проекцией и осью z, равен углу наклона прямой к профильной плоскости проекций:

Прямая EF параллельна плоскости IF

Такая прямая носит название «профильная прямая» (рис. 3.14).

Горизонтальная проекция прямой параллельна оси фронтальная проекция параллельна оси длина профильной проекции отрезка равна длине самого отрезка углы образованные профильной проекцией с осями равны углам наклона прямой к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций соответственно:

Следовательно, каждая линия уровня проецируется в истинную величину на ту плоскость проекции, которой она параллельна. На ту­ же плоскость проекций проецируются без искажения и углы, которые эта прямая образует с остальными двумя плоскостями проекций.

На рис. 3.15 приведены чертежи прямых, перпендикулярных плоскостям проекций. Такие прямые называются проецирующими прямыми. Различают три вида таких прямых.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости Н

Прямая CD перпендикулярна плоскости V

Прямая EF перпендикулярна плоскости W

Из чертежа видно, что проецирующая прямая является вместе с тем и прямой двойного уровня, так как она параллельна одновременно двум другим плоскостям проекций

Взаимное положение точки и прямой

Точка и прямая в пространстве могут быть различно расположены относительно друг друга и плоскости проекций.

Если точка в пространстве принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат соответствующим проекциям этой прямой.

Рассмотрим еще раз это положение на плоскостном чертеже (рис. 3.16). Точка F принадлежит прямой АВ, так как горизонтальная проекция точки принадлежит горизонтальной проекции прямой, а фронтальная проекция точки принадлежит фронтальной проекции пря­мой:

Точка С лежит над прямой АВ, точка D лежит под прямой АВ. точка Е лежит за прямой АВ.

Следы прямой

Чтобы построить на плоскостном чертеже горизонтальный след прямой (точки , надо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью х (точка ). Затем через нес провести перпендикуляр к оси х до пересечения с продолжением горизонтальной проекции Точка — горизонтальная проекция горизонтального следа.

Для построения проекций фронтального следа (точек ) необ­ходимо продолжить горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью х (точка ). Затем через нес провести перпендикуляр к оси х до пересечения с продолжением фронтальной проекции Точка — фронтальная проекция фронтального следа. Построение проекций следов прямой показано на рис. 3.17, б.

Прямая может пересекать и профильную плоскость проекций, то есть иметь профильный след. Этот след на профильной плоскости проекций совпадает со своей проекцией. Фронтальная и горизонтальная проекции его лежат соответственно на осях

Взаимное положение двух прямых

Прямые в пространстве могут занимать различные взаимные поло­жения:

Пересекающиеся прямые

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой и точки пересечения проекций лежат на одной линии связи.

Наглядное изображение двух прямых АВ и CD, пересекающихся в точке К, приведено на рис. 3.18, их чертеж в системе плоскостей -на рис. 3.18, б.

Если одна из прямых профильная, то чтобы ответить на вопрос, пересекаются ли прямые, следует построить их профильные проекции.

На рис. 3.19 все проекции точки одновременно принадлежат проекциям прямой АВ и прямой CD. Это значит, что прямые АВ и CD пересекаются.

На рис. 3.20 профильная проекция точки К принадлежит профильной проекции и не принадлежит профильной проекции

Это значит, что прямые АВ и CD не пересекаются, они скрещиваются.

Параллельные прямые

О параллельности прямых в пространстве можно судить по параллельности их одноименных проекций на двух плоскостях проекций.

При этом нужно учитывать некоторые условия.

Для прямых общего положения:

Если одноименные проекции прямых общего положения парал­лельны в системе двух любых плоскостей проекций, то прямые парал­ лельны (рис. 3.22).

Для прямых частного положения:

Если одноименные проекции прямых параллельны одной из осей проекций, то прямые параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые (рис. 3.23).

Скрещивающиеся прямые

Если прямые в пространстве нс пересекаются, а скрещиваются (рис. 3.24), то хотя на чертеже их одноименные проекции и пересекаются, но точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи. Эти точки не являются общими для прямых.

Сравнивая положение таких точек, определяют, какая из изображенных на чертеже прямых выше другой или ближе другой к наблюдателю. На рис. 3.24, а видно, что точка Е (принадлежащая прямой АВ) расположена выше точки К (принадлежащей прямой CD). При взгляде сверху по указанной стрелке точка Е закрывает точку К. Соответственно и на чертеже (рис. 3.24, б) фронтальная проекция е’ расположена выше фронтальной проекции При взгляде сверху по стрелке N при проецировании на плоскость Н точка е закрывает точку Прямая АВ проходит над прямой CD.

На плоскости V совпадают фронтальные проекции 1′ и 2′ точек прямых АВ и CD. При взгляде спереди по стрелке М видно, что точка прямой АВ находится ближе к наблюдателю, и при проецировании на плоскость V точка прямой АВ закрывает точку 2 прямой CD. Прямая АВ расположена ближе к наблюдателю. Рассмотренные точки являются конкурирующими, так как они лежат на одной линии связи, но на разных прямых.

Проецирование плоских углов

Любой линейный угол образуется двумя пересекающимися пря­мыми. На плоскости проекций он проецируется в общем случае с искажением. Однако, если обе стороны угла параллельны какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость угол проецируется без искажения. Например, стороны угла АВС (рис. 3.25) параллельны горизонтальной плоскости Р. поэтому угол спроецировался на нее без изменений.

Исключение составляет прямой угол. Он проецируется в истинную величину даже тогда, когда лишь одна из его сторон параллельна плоскости проекций. Рассмотрим теорему о проецировании прямого уг­ла.

Доказательство. Пусть угол и расположен так, что обе его стороны параллельны плоскости Р(рис. 3.26, а). Тогда, как и всякая фигура, лежащая в плоскости, параллельной Р, данный угол спроецируется на Р без искажения, то есть его проекция

Через прямые EF и Ее проведем дополнительную плоскость Плоскость перпендикулярна плоскости Р.

Но, как видно непосредственно из чертежа, только одна сторона DE угла DEK параллельна плоскости Р.

Вторая сторона его ЕК наклонна к плоскости Р.

Итак, для того чтобы прямой угол проецировался в натуральную величину, достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна плоскости проекций (рис. 3.26, б, в).

Определение истинной величины отрезка прямой

Отрезки прямых общего положения не проецируются в истинную величину ни на одну из плоскостей проекций. Однако в ряде задач необходимо определить по чертежу длину отрезка прямой общего положения и углы наклона прямой к плоскостям проекций.

В этом случае используют способ построения прямоугольного треугольника.

Определим истинную величину отрезка АВ и угол наклона его к плоскости Н (угол если известны две проекции отрезка (рис. 3.28, а).

На рис. 3.28, 6 показано определение истинной величины отрезка АВ и угла наклона его к плоскости V- угла

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник