Слово Как написать скрещивающиеся прямые - однокоренные слова и морфемный разбор слова (приставка, корень, суффикс, окончание):

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые – прямые, которые невозможно поместить в одну плоскость, то есть они не параллельны и не пересекаются.

Признак скрещивающихся прямых

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Через две скрещивающиеся прямые можно провести две параллельные плоскости (единственным образом).

Расстояние между скрещивающимися прямыми – есть расстояние между этими плоскостями.

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок, перпендикулярный каждой из двух скрещивающихся прямых, концы которого лежат на этих прямых.

Длина общего перпендикуляра равна расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Угол между скрещивающимися прямыми

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

(Одну из прямых можно вполне и не переносить параллельно самой себе, а ограничиться только параллельным переносом одной из прямых до пересечения со второй).

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Геометрия

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Понятие скрещивающихся прямых

В пространстве можно построить две прямые так, что они не будут пересекаться, но и параллельными они также являться не будут. Для этого достаточно, чтобы прямые НЕ находились в одной плоскости. В этом случае их именуют скрещивающимися прямыми.

Здесь ребра ВС и АЕ как раз лежат на двух скрещивающихся прямых. Поэтому их можно так и называют – скрещивающиеся отрезки. По аналогии можно ввести понятие и скрещивающихся лучей.

Существует теорема, представляющая собой признак скрещивающихся прямых.

Действительно, пусть есть две прямые, НК и РМ. Обозначим как α плос-ть, проходящую через НК и точку М. Если РМ пересекает α, то это означает, что М – единственная общая точка у α и РМ. Получается, что Н, К, М и Р – это точки в различных плос-тях, и через них нельзя провести одну плос-ть. Значит, и прямые НК и РМ – скрещивающиеся.

Таким образом, в стереометрии возможно всего три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

1) прямые пересекаются, и тогда они обязательно находятся в одной плос-ти;

2) прямые располагаются в одной плос-ти, но не пересекаются – случай параллельных прямых;

3) прямые находятся в разных плос-тях – случай скрещивающихся прямых.

Докажем одну теорему:

Для доказательства возьмем произвольные скрещивающиеся прямые m и n. Отметим на n точку К и проведем через К прямую р, параллельную m:

Через пересекающиеся прямые nи p можно провести единственную плос-тьα. По признаку параллельности прямой и плос-ти можно заключить, что m||α.

Покажем, что кроме α нет других плос-тей, проходящих через n и параллельных m. Действительно, если бы такая плос-ть β существовала, то р имела бы с ней общую точку К, но полностью в β она бы не могла находиться, иначе α и β совпадали бы. Значит, р пересекала бы β. Но тогда ее обязательно пересекала бы и m по одну из свойств параллельных прямых. В этом случае m и β не были бы параллельными.

Сонаправленные лучи

В планиметрии существует понятие сонаправленных лучей. Пусть на плос-ти есть два луча О₁А и О₂В. Проведем прямую О₁О₂. Она, как и всякая прямая, разделит плос-ть на две полуплоскости. Для того, чтобы лучи О₁А и О₂В считались сонаправленными, необходимо выполнение двух условий:

1) они должны оказаться в одной полуплоскости;

2) они должны быть параллельными.

Здесь мы рассмотрели случай, когда лучи О₁А и О₂В находятся на разных прямых. Возможен частный случай, когда они располагаются на одной прямой. В таком случае для сонаправленности лучей достаточно, чтобы один из них полностью лежал на другом:

Рассмотрим теорему, касающуюся сонаправленных лучей, причем она верна не только в планиметрии, но и в стереометрии.

В доказательстве сразу рассмотрим случай углов, располагающихся в разных плос-тях. Пусть есть углы О₁ и О₂, стороны которых образуют попарно сонаправленные лучи. На одной паре лучей отметим точки А₁ и А₂ так, чтобы отрезки О₁А₁ и О₂А₂ были одинаковыми. На другой паре лучей аналогично отложим точки В₁ и В₂ так, чтобы одинаковыми были отрезки О₁В₁ и О₂В₂:

Заметим, что лучи О₁А₁ и О₂А₂ как сонаправленные должны располагаться в одной плос-ти, иначе они не будут параллельными. Тогда О₁А₁А₂О₂ – плоский четырехугольник. Отрезки О₁А₁ и О₂А₂ параллельны и одинаковы. Это значит, что О₁А₁А₂О₂ – параллелограмм. Аналогично легко убедиться, что параллелограммом является и четырехугольник О₁В₁В₂О₂. Это значит, что

Отсюда вытекает (по свойству транзитивности), что отрезки А₁А₂ и В₁В₂ также одинаковы и параллельны, а потому А₁А₂В₂В₁ – также параллелограмм. Значит, стороны А₁В₁ и А₂В₂ одинаковы. Получается, что у ∆О₁А₁В₁ и ∆О₂А₂В₂ одинаковы все стороны, поэтому ∆О₁А₁В₁ и ∆О₂А₂В₂ равны. Отсюда вытекает и равенство углов ∠А₁О₁В₁ и ∠А₂О₂В₂, ч. т. д.

Угол между прямыми

Напомним, какая величина считается углом между пересекающимися прямыми. При пересечении прямых образуется 4 угла. Зная один из них, легко вычислить и остальные углы. Понятно, что хотя бы один из углов будет не превышать 90°. Именно такой угол и принимается за угол между прямыми:

Теперь покажем, как определить угол между скрещивающимися прямыми. Пусть прямые m и n скрещиваются. Выберем в пространстве произвольную точку К. Через нее можно построить такие прямые m₁ и n₁, что m₁||m и n₁||n. Угол между m₁ и n₁ как раз и принимается за угол между скрещивающимися прямыми m и n:

Возникает вопрос – зависит ли величина измеренного таким образом угла от того, какая именно точка К выбрана? Оказывается, что не зависит, и это можно доказать. Выберем две произвольные точки К₁ и К₂. Через К₁ проведем прямые n₁ и m₁, а через К₂ проведем n₂ и m₂, которые будут соответственно параллельны исходным прямым m и n.

Так как n₁||n и n₂||n, то по свойству транзитивности параллельности и n₁||n₂. Аналогично и m₁||m₂. Получается, что стороны углов в точках К₁ и К₂ соответственно сонаправлены. Значит, они одинаковы, ч. т. д.

Задачи на скрещивающиеся прямые

Теоретический материал закончился, осталось научиться применять полученные знания. Перед просмотром решения постарайтесь самостоятельно решить каждую задачу.

Задание. Точка D находится вне плос-ти ∆АВС. Середины отрезков АD, BD и СD обозначены буквами M, N и P соответственно. Точка K располагается на отрезке BN (и не совпадает с концами этого отрезка). Определите, как относительно друг друга располагаются прямые:

Решение. Сначала важно построить правильный рисунок по описанию задачи:

Теперь можно рассмотреть по отдельности каждый пункт.

а) АВ и DN. Прямая DN совпадает с прямой BD. Она в свою очередь пересекается с АВ в точке В. Значит, в данном случае прямые пересекаются.

б) РК и ВС. Рассмотрим плос-ть треугольника ∆ВСD. Рассматриваемые прямые как раз находятся в ней. То есть они уже точно не скрещиваются. Могут ли они быть параллельны? Обратите внимание на отрезок NP. Это средняя линия в ∆ВСD, поэтому NP||ВС. Через Р может быть проведена лишь одна прямая, параллельная ВС (по аксиоме параллельности), и это NP. Значит, KP пересекает ВС.

в) MN и АВ. В ∆АВDMN является средней линией, поэтому MN||АВ.

г) МР и АС. МР – это средняя линия в ∆АСD, значит, МР||АС.

д) KN и АС. Прямая KN совпадает с прямой BD. Она пересекает плос-ть АСВ, но точка пересечения (это В) не находится на АС. Тогда по признаку скрещивающихся прямых можно утверждать, что KN и АС скрещиваются.

е) MD и ВС. MD пересекается с плос-тью АСВ в точке А. Тогда из признака скрещивающихся прямых вытекает, что MD и DC скрещиваются.

Задание. Через точку Р, не находящуюся на прямой m, проведены две различные прямые, не пересекающиеся с m. Верно ли, что хотя бы одна из них точно скрещивается с m?

Решение. Каждая из этих двух прямых с m не пересекается. Тогда они либо параллельны m, либо скрещиваются с ней. Но обе прямые параллельны m не могут быть параллельны m, ведь тогда через Р будет проведено сразу две прямые, параллельные m, что невозможно. Значит, хотя бы одна из прямых действительно скрещивается с m.

Задание. MК и РН – скрещивающиеся прямые.Скрещиваются ли прямые МН и КР?

Решение. Ясно, что точки М, К, Р, Н располагаются в различных плос-тях. В противном случае, если бы существовала плос-ть α, в которой находились бы М, К, Р и Н, то в α также находились бы прямые МК и РН, и тогда они уже по определению не были бы скрещивающимися.

Теперь рассмотрим плос-ть КРН. В ней находится прямая КР. А прямая МН ее пересекает в точке К. Тогда, по признаку скрещивающихся прямых, МН и КР скрещиваются.

Задание. Прямые m и n скрещиваются. M – точка на m, N – точка на n. Через m и N проведена плос-ть α, а через n и M – плос-ть β. Пересекаются ли плос-ти α и β, и если да, то по какой линии?

Посмотрим, есть ли у α и β общие точки. Плос-ть α проходит через n, то есть и через точку N тоже. Плос-ть β также проходит через N. Значит, N – общая точка. Аналогично можно показать, что и М – это общая точка. В итоге α и β пересекаются, причем на линии пересечения находятся точки M и N. Значит, именно прямая МN является границей этих двух плос-тей.

Задание. Известно, что MНКЕ – параллелограмм, а МНРТ – трапеция (РТ – её основание), причем они располагаются в разных областях. Каково расположение отрезков КЕ и РТ друг относительно друга.

Решение. Задачу можно решить и без рисунка. Если РТ – основание трапеции, то второе основание – это МН, и МН||РТ. В параллелограмме МНКЕ параллельны стороны МН и КЕ, ведь они противоположные. Тогда по свойству транзитивности параллельности из того факта, что МН||РТ и МН||КЕ, вытекает, что и РТ||КЕ.

Задание. Известно, что ОА и СD – скрещивающиеся прямые, а ОВ||CD. Чему равен угол между ОА и CD, если

Если CD||ОВ, то угол между CD и ОА совпадает с углом между ОВ и ОА. В задании а) он совпадет с ∠АОВ и составляет 40°. В случае б) угол не может составлять 135°, так как он не должен превышать 90°. Поэтому он равен

Наконец, в случае в) он составит 90°.

Ответ: а) 40°; б) 45°; в) 90°.

Задание. Дан куб, вершины которого обозначены так, как это показано на рисунке:

Найдите угол между прямыми:

Решение. Во всех трех случаях нам даны скрещивающиеся прямые. Для вычисления угла надо найти такие параллельные им прямые, которые будут пересекаться.

а) AD и GH. Заметим, что GH||СD, ведь это противоположные стороны квадрата СDHG, поэтому мы можем определить угол между AD и CD. Другими словами, мы просто заменяем в задаче GH на CD, так как эти отрезки параллельны. Так как отрезки AD и CD в свою очередь являются уже смежными сторонами в квадрате АВСD, то ∠ADC, который нам надо найти, составляет 90°.

б) BD и FG. Здесь уже уместно заменить FG на ВС. Это можно сделать, ведь FG||ВС (это стороны квадрата). Тогда нам необходимо вычислить ∠СВD. Он составляет 45°, ведь диагональ квадрата делит его угол пополам.

в) BD и AF. Здесь есть смысл AF заменить на GD. Но для этого надо сначала показать, что AF||DG.Рассмотрим отрезки AD и FG. Каждый из них параллелен ВС (по свойству квадратов ABCD и ВСGH). Значит, по свойству транзитивности AD||FG, то есть эти отрезки располагаются в одной плос-ти. Тогда AFGD – плоский четырехугольник.

Заметим, что отрезки AD и FG ещё и одинаковы, так каждый из них равен ВС (вообще в кубе все ребра одинаковы). Получается, что в четырехугольнике AFGD стороны AD и FG одинаковы и параллельны, а потому AFGD – параллелограмм, по одному из его признаков. Отсюда и вытекает, что AF||DG.

Мы поняли, искомый нами угол между прямыми равен∠BDG. Как его вычислить? Для этого надо рассмотреть ∆BDG. Можно заметить, что он равносторонний. Действительно, отрезки BG, GD и BD – это диагонали в равных квадратах ВСGH, СDHG, АВСD, поэтому и сами эти диагонали также одинаковы. В любом равностороннем треугольнике все углы составляют по 60°, поэтому и ∠BDG равен этому же значению, то есть 60°.

Ответ: а) 90°; б) 45°; в) 60°.

Задание (стереометрическая задача из ЕГЭ). Точки А, В, С и D в пространстве располагаются так, что расстояния между любыми двумя из этих точек одинаковы. Можно доказать (попробуйте сделать это самостоятельно), что такая ситуация возможна лишь в случае, когда точки не располагаются в одной плос-ти. М – середина ВС, а L – середина АВ. Найдите косинус угла между прямыми МD и CL.

Решение. Из условия вытекает, что ∆АВС, ∆ВСD, ∆ABD – равносторонние и притом равные друг другу. Проведем в ∆АВС отрезок такой отрезок MF, что MF||СL. Тогда нам необходимо вычислить ∠DMF (точнее, его косинус). Это можно сделать, используя теорему косинусов применительно к ∆MDF, но для этого сперва надо найти все стороны в этом треугольнике:

Для удобства обозначим длину отрезков АВ, ВС, АС, BD, AD и CD буквой R. Так как L– середина АВ, то CL– медиана в ∆АВС. Но в равностороннем треугольнике она одновременно будет и высотой. Тогда ∆АСL – прямоугольный. Запишем для него теорему Пифагора:

Аналогичным образом легко определить, что длина медианы DМ в ∆ВСD равна этому же значению:

Теперь исследуем ∆ВСL. Так как MF||CL и М – середина ВС, то MF оказывается средней линией в ∆ВСL. Значит, ее длина вдвое меньше, чем у СL:

Также из того факта, что МF – средняя линия, вытекает то, что F – середина LВ. Тогда можно вычислить FB:

Далее обратим внимание на ∆ВFD. ∠В в нем составляет 60°, ведь это одновременно и угол в равностороннем ∆АВD. Стороны FB и BD нам известны, а потому с помощью теоремы косинусов можно вычислить и FD:

Теперь можно составить и для ∆МDF уравнение на основе теореме косинуса, из которого удастся выяснить интересующий нас косинус ∠DMF:

В ходе сегодняшнего урока мы познакомились с новым понятием – скрещивающимися прямыми. Также мы узнали, как вычислять угол между ними. Подобные задачи могут встречаться и на ЕГЭ.

Источник

Общая характеристика

Алгоритм определения того, что прямые линии (ПЛ) могут называться скрещивающимися, описывает расположение вне бесконечной поверхности. Существует несколько теорем и доказательств пересечения прямых в одной точке.

Основные понятия и теоремы

Из курса планиметрии известно, что две ПЛ в плоскости пересекаются, имеют одну точку или располагаются параллельно по отношению друг к другу.

Произвести вычисления, необходимые расчеты и графическое построение можно, изучив главные особенности и характеристику понятий. Когда прямые заданы векторными параметрическими уравнениями, выполняется равенство (формула) р = р0+SU и r = r0+tv.

Вычисление удаленности между ними определяется смешанным и векторным произведением D = (r 0 — p 0, u, v)/u, v.

Существует первая теорема, доказывающая признаки скрещивающихся ПЛ. Ее смысл заключается в теоретическом аспекте, указывающим на то, что когда одна из двух ПЛ расположена в плоскости, а другая ПЛ пересекает пространство в точке, не находящейся на отрезке, то эти ПЛ являются скрещивающимися. Данные можно доказать графически, используя методы черчения и рисования фигур, углов и перпендикуляров.

Например, дана плоскость α, в ней находится АВ, а прямая CD пересекается с плоскостью в т. С, расположенной на АВ. Для доказательства скрещивания прямых используется метод от обратного. Предполагается, что существует вторая плоскость, в которой расположены AB и DC. Во второй плоскости лежит отрезок АВ и т. С. Через ПЛ и точку, не лежащую на ней, проходит плоскость альфа. Второй плоскости бета не существует. Прямые скрещиваются.

Существует три положения прямых. В первом случае линии a и b пересекаются в т. С. Сквозь 2 ПЛ, которые пересекаются, проходит плоскость. ПЛ А II В, лежат в едином пространстве и не смогут пересечься. Прямые скрещиваются, когда не находятся в едином поле.

Вторая теорема о скрещивающихся прямых гласит, что через каждую из пары скрещивающихся ПЛ проходит одна плоскость, параллельная другой. Для подтверждения даны две ПЛ AB и CD. Требуется доказать, что через линию АВ проложена плоскость, параллельная СД.

Для этого через точку А проводится линия АЕ, расположенная параллельно DC. Согласно теореме о параллельных ПЛ, эта линия является единственной. Пересечение двух линий АВ и АЕ позволяет проложить плоскость альфа. Прямая DC, не лежащая в пространстве альфа, II АЕ, значит, DC параллельна пространству α.

Для доказательства единства такого пространства предполагается, что существует другая плоскость бета (β), проходящая через АВ, и является параллельной по отношению к DC.

Особенности ПЛ:

Возникло противоречие, а плоскость α является единственной.

Прочие условия

У отрезков, которые скрещиваются, нет общей точки соприкосновения, потому что тогда они бы располагались в едином пространстве.

Признаки скрещивающихся прямых:

Угол между скрещивающимися ПЛ — когда из одной точки выходят 2 луча между двумя ПЛ, которые пересекаются, а также параллельны данным линиям.

В тригонометрии еще существует понятие обозначения косинуса — это отношение длины стороны, прилежащей к острому углу, к гипотенузе. Осуществить нахождение ПЛ параллельно скрещивающимся можно через произвольную точку. Это официальное утверждение. Две ПЛ могут быть параллельными или пресекать плоскость, значит, они находятся в едином пространстве координат.

Практическое применение

Теоретические основы, понятия на уроках геометрии в режиме онлайн понятны, но для закрепления материала в классе решаются разные задачи с доказательствами. Сначала нужно найти в пространстве линии, углы и охарактеризовать их вид.

Типовые задачи

Чтобы на практике понять действие теорем, нужно использовать пример решения и наглядный рисунок. Например, точка D не лежит в плоскости АВС, точки M, N, P будут центром DA, DB и DC. Точка К расположена на прямой ВС. Требуется определить взаимное расположение линий.

Линии будут обозначаться буквами АВ и BD, они находятся в плоскости АВD и пересекаются.

Эти две линии расположены в единой плоскости, поэтому являются параллельными или пересекающимися. Нужно провести среднюю линию NP, где N, P являются серединой отрезка DB и DC. По свойству средней линии, NP II (знак параллельности) ВС. Через т. Р проводится отрезок, II ВС, и это NP. Любая другая линия, проходящая через т. Р, не II ВС, поэтому PK и ВС пересекаются.

В треугольнике ABD точки M и N являются центрами сторон АD и ВD, значит, МN — средняя линия. Основываясь на типовых свойствах, МN II АВ.

В ADС точки M и Р будут серединами АD и СD. Значит, МР является средней линией. МР IIАС.

Прямопроходящая линия КN и ВD являются одной и той же прямой. АС располагается в плоскости АВС, линия ВD пересекает АВС в точке, не расположенной на АС. По признаку ВD и АС являются скрещивающимися, КN и АС — такая же.

MD и АD будут одинаковой ПЛ по всем характеристикам и параметрам. Линия ВС располагается в плоскости АВС, прямая АD пересекает АВС в точке, расположенной в стороне от ВС. АD и ВС относятся к скрещиванию, а МD и ВС такие же.

Сложные задания

В нижней части пирамиды SABC расположена геометрическая фигура с прямым углом при вершине С, гипотенузой АВ = 13 и катетом АС = 12 (когда 1 из 2 сторон прямоугольного треугольника образует прямой угол). Максимальная точка пирамиды S проектируется в основании В. Боковое ребро CS равняется 5*корень из 5. Требуется выяснить расстояние между ребрами AS и ВС.

Для решения нужно определить расстояние между отрезками AS и ВС. Они лежат на скрещивающихся прямых (СП). Точка s не принадлежит отрезку АВС, а точка А принадлежит АВС. AS пересекает АВС, ВС включает отрезок АВС и А не принадлежит ВС.

Расстояние между 1 из СП и плоскостью, проложенной через другую II первой, называется промежутком между СП. Нужно построить такое пространство, проходящее через 1 из СП, параллельно другой, и добавить перпендикуляр к пространству из точки, принадлежащей другой линии.

Выбрав прямую AS, нужно провести через нее плоскость, II ВС.

Пирамиду нужно достроить до параллелепипеда, через т. А на плоскости АВС проведя параллельную ВС и через т. В — АС. Точку пересечения ПЛ обозначают буквой D. Через А, С, D нужно провести прямые II SB, на каждой отложить отрезки, равные BS, а точки соединить линиями.

Определение скрещивающихся прямых подтверждено теоремами, также существует условие, описывающее, что через каждую пару ПЛ, которые скрещены, проложена плоскость, II другой линии. Изучены случаи расположения ПЛ в пространстве: они пересекаются, являются параллельными или скрещиваются.

Источник

Скоро вебинар
«ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ»
(Аналитическая геометрия). Жми подробнее.

Скрещивающиеся прямые. Расположение прямых в пространстве.

Если две прямые в пространстве параллельны или пересекаются, то они лежат в одной плоскости.
Возможен еще один случай взаимного расположения в пространстве, когда прямые не лежат в одной плоскости.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Теорема о скрещивающихся прямых.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Автор: Аникина Марина

Комментарии к этой заметке:

Добавить Ваш комментарий

Хотите внести свою лепту в его развитие!? Тогда Вам сюда!

Источник