Устный счет: как научиться считать в уме
Математику уже за то любить следует, что она ум в порядок приводит» – говорил Михаил Ломоносов. Умение считать в уме остается полезным навыком и для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него.
Но возможность обходиться без специальных девайсов и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это не единственное применение данного навыка. Помимо утилитарного назначения, приемы устного счета позволят вам научиться организовывать себя в различных жизненных ситуациях.
К примеру, они позволяют грамотно и оперативно планировать семейный бюджет, высчитывать проценты по кредитам и понимать уровень переплаты, делать более выгодные покупки и видеть экономию. Кроме того, умение считать в уме положительно сказывается на имидже интеллектуальных способностей и выгодно выделяет человека среди окружающих его «гуманитариев».
В дополнение к этому можно уверенно сказать, что устный счет служит отличной тренировкой мышления. Согласитесь: если человек будет месяцами сидеть на диване и выходить из дома разве что в магазин, через некоторое время он заплывет жиром, наберет вес и серьезно ухудшит свое здоровье. Точно так же и с мозгом – если им не пользоваться, он перестанет работать должным образом и просто-напросто атрофируется.
Так вот практика счета в уме как раз и не дает мозгу «набрать вес и заплыть жиром». Именно поэтому мы считаем, что данный «мягкий» навык требует развития и тренировки, и именно для этого мы и создали наш курс.
Содержание:
Однако чтобы более конкретно указать на важность умения считать в уме, а также на возможность овладеть этим умением, мы хотим познакомить вас с нашим курсом подробнее.
Цели и задачи курса
Задача курса состоит не просто в том, чтобы познакомить вас с понятием устного счета, обучить интересным техникам и приемам и научить считать в уме. На самом деле преследуются значительно большие цели. Перечислим лишь несколько наиболее существенных:
| ✔ | Тренировка внимания и концентрации. Устный счет требует активизации многих интеллектуальных способностей, в том числе и умения сосредотачиваться на решении сложных задач, требующих времени. Чем больше вы будете практиковаться, тем более гибким и податливым будет ваше мышление и тем лучше вы будете сосредотачиваться, причем на совершенно любых задачах. |
| ✔ | Тренировка логического мышления. Устный счет, логика и последовательность мыслей связаны друг с другом очень тесно. Именно благодаря последним вы можете без проблем и очень даже быстро определить, что выйдет дешевле: 10 упаковок семян чиа весом 150 граммов по 280 рублей или 7 упаковок весом 180 граммов по цене 315 рублей. Порой даже нужно не столько считать, сколько рассуждать логически. |
| ✔ | Тренировка аналитического мышления. Считая, к примеру, на калькуляторе, мы, строго говоря, выполняем всего лишь одно простое действие – нажимаем на клавиши счетного устройства или сенсор смартфона. Если же мы считаем в уме, мы и производим и вычисления, и анализируем полученные данные, и продолжаем считать дальше, если это необходимо, а затем делаем заключительные выводы. |
| ✔ | Борьба с зависимостью от гаджетов. Высокотехнологичные устройства заполонили нашу жизнь. Многие не в состоянии посчитать в уме, сколько будет 37-18, не говоря уже о том, что глаза, руки и даже мысли огромного количества людей сосредоточены лишь на гаджете, которым они владеют. Устный счет не только помогает активизировать мышление, но и на время отвлекает от использования технологий и мотивирует к применению своего главного устройства – мозга. |
| ✔ | Профилактика болезней мозга. Неочевидно, неправда ли? Между тем, ученые уже давно установили, что отсутствие интеллектуальной деятельности провоцирует множество недугов, связанных с мозгом (болезнь Альцгеймера, деменция и т.д.) Если же вы будете чаще считать в уме, вы тем самым будете чаще задействовать свой мозг и нагружать его работой, что позволит предупредить серьезные проблемы. |
Думаем, что этого более чем достаточно, чтобы в общих чертах понять, для чего нужно уметь считать в уме. Но что если копнуть чуть глубже и разобраться в вопросе подробнее?
Что такое устный счет и зачем он нужен?
Устный счет – процесс произведения математических операций в уме, т.е. без использования вспомогательных устройств, таких как калькуляторы, компьютеры, телефоны, смартфоны и т.п., а также без сторонних приспособлений, таких как ручка и бумага. Устный счет объединяет в себе представления человека о числах, знание арифметических алгоритмов и умение выполнять математические операции.
Но зачем же современному человеку уметь считать в уме, если перед ним открыто столько возможностей этого не делать? К тому же сегодня устный счет все чаще оказывается ненужным, особенно когда дело касается нынешних школьников, выросших с планшетами в руках. Но тут важно вспомнить о том, что как только мы перестаем считать в уме, мы перестаем развиваться, и это касается не только подрастающего поколения.
Все мы знаем, что мозг составляют два полушария. Правое отвечает за интуитивное мышление, художественное восприятие и творчество. Левое же отвечает за логику, речь, память, аналитику. И чем больше в мозге нейронных связей между полушариями, тем полноценнее и гармоничнее он развит. А каким образом можно развивать эти межполушарные связи? Именно таким способом и является устный счет.
Цель ментальной арифметики – натренировать мозг человека на максимально быструю обработку информации. И эти тренировки дают свою плоды, ведь благодаря специальным заданиям гармонично развиваются оба полушария мозга, вследствие чего намного легче и проще воспринимается как гуманитарная, так и техническая информация.
Особое внимание в ментальной арифметике уделяется именно устному счету, служащему эффективным тренажером для мозга. И не нужно быть гением, чтобы понять, какие преимущества имеет развитый мозг и развитое мышление. Они пригождаются везде, всегда и в любой области жизни.
Посему можно заключить, что такой, казалось бы, «простенький» или «обычный» навык, как умение считать в уме, способен повлиять на всю жизнь человека, его успехи, жизненные результаты и даже личные качества. Так что если все это имеет для вас значение, предлагаем узнать, как научиться устному счету.
Как научиться устному счету?
Есть люди, которые умеют совершать несложные арифметические операции в уме. Умножить двузначное число на однозначное, умножать в пределах 20, перемножить два небольших двузначных числа и т.д. – все эти действия они могут производить в уме и достаточно быстро, быстрее среднего человека. Часто этот навык оправдан необходимостью постоянного практического использования. Как правило, люди, которые хорошо считают в уме, имеют математическое образование или, по крайней мере, опыт решения многочисленных арифметических задач.
Несомненно, опыт и тренировка играют важнейшую роль в развитии любых способностей. Но навык устного счета не опирается на один лишь опыт. Это доказывают люди, которые, в отличие от вышеописанных, способны считать в уме гораздо более сложные примеры. Например, такие люди могут умножать и делить трехзначные числа, совершать сложные арифметические операции, которые не каждый человек и в столбик сможет посчитать.
Что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть такой феноменальной способностью? На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме. Изучив многие подходы к обучению навыку считать устно, можно выделить три основных составляющих данного навыка:
Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.
Нужно отметить, что третий фактор имеет ключевое значение. Не обладая необходимым опытом, вы не сможете удивить окружающих быстрым счетом, даже если вы знаете самый удобный алгоритм.
Однако не стоит недооценивать важность первых двух составляющих, поскольку, имея в своем арсенале способности и набор нужных алгоритмов, вы сможете «переплюнуть» даже самого опытного «счетовода», при условии, что вы тренировались одинаковое время.
Наряду с этим, и обучаться устному счету лучше всего, используя для этого правильную и эффективную систему. С учетом этой системы и разработан наш курс, и сейчас будет логичным вкратце познакомить вас с содержанием его уроков.
Уроки устного счета
Уроки устного счета, представленные в нашем курсе, направлены именно на развитие трех вышеназванных составляющих. Вот их краткое описание:
Урок 1. Внимание и концентрация
Чтобы научиться считать в уме по-настоящему быстро, необходимо уметь концентрироваться на конкретном примере. Этот навык полезен не только для совершения математических операций, но и для решения любых жизненных задач. Умение быть внимательным в нужный момент – этот навык, который выделяет великих ученых, спортсменов, политиков, несомненно, пригодится и вам.
Урок 2. Простые арифметические закономерности
Чтобы уметь решать сложные арифметические задачи, нужно для начала усвоить некоторые базовые закономерности. От того, как быстро вы сможете считать простейшие примеры, напрямую зависит ваше умение быстро выполнять более сложные математические операции. По сути, это можно считать базой для всего последующего обучения.
Урок 3. Традиционное умножение в уме
В этом уроке мы рассмотрим, как можно умножать двузначные числа, используя традиционные методы, которым нас обучают в школе. Некоторые из этих методов могут позволить вам быстро перемножать в уме двузначные числа при достаточной тренировке. Знать эти методы полезно, однако важно понимать, что это лишь вершина айсберга. В данном уроке рассмотрены наиболее популярные приемы умножения двузначных чисел.
Урок 4. Частные методики умножения двузначных чисел до 30
Способы умножения двузначных чисел хороши тем, что они универсальны для любых чисел, и при хорошем навыке могут позволить вам достаточно быстро прийти к правильному ответу. Однако эффективность умножения некоторых двузначных чисел в уме может быть выше за счет меньшего количества действий при использовании специальных алгоритмов. В этом уроке вы узнаете, как можно быстро умножать любые числа до 30. Здесь представлены специальные методики, в том числе и введение в использование опорного числа.
Урок 5. Опорное число при умножении чисел до 100
Наиболее популярной методикой умножения больших чисел в уме является прием использования так называемого опорного числа. Опорное число при умножении – это число, к которому близко находятся оба множителя и на которое удобно умножать. При умножении чисел до 100 опорными числами удобно использовать все числа кратные 10, а особенно 10, 20, 50 и 100. В уроке вы познакомитесь с данной методикой и научитесь сами ее применять.
Урок 6. Умножение в уме любых чисел до 100
Чтобы умножать любые числа до 100 в уме, важно быстро подобрать нужный алгоритм. Для удобства этого подбора в данном уроке выделены наиболее эффективные случаи для каждой методики умножения. В уроке будут рассмотрены как универсальные методики (подходящие для любых чисел), так и частные (удобные для конкретных случаев).
Урок 7. Возведение в квадрат в уме
Умение считать в уме квадраты чисел может пригодиться в разных жизненных ситуациях, например, для быстрой оценки инвестиционных сделок, для подсчета площадей и объемов, а также во многих других случаях. Кроме того, умение считать квадраты в уме может служить демонстрацией ваших интеллектуальных способностей. В этом уроке разобраны методики и алгоритмы, позволяющие научиться этому навыку.
Также в нашем курсе представлены дополнительные материалы, помогающие тренировать и развивать умение считать устно:
Книги, учебники и ссылки на материалы по устному счету
К сожалению, в Интернете далеко не всегда удается найти качественные материалы, посвященные именно обучению счету в уме. Однако есть ряд интересных книг и сайтов, связанных с вопросами устного счета. С некоторыми из них вы и сможете познакомиться поближе, изучив данный раздел.
Дополнительные материалы по устному счету
Уместить в один курс всю важную и нужную информацию очень проблематично. Но она, несомненно, нужна, так что вы сможете углубить свои знания по рассматриваемой теме. В этом разделе вы найдете небольшую подборку полезных материалов (а именно эффективных обучающих программ и статей), которые помогут вам лучше изучить отдельные вопросы.
Далее предлагаем познакомиться с краткой инструкцией по прохождению курса.
Как проходить курс?
Уроки данного курса мы настоятельно рекомендуем проходить последовательно, не пропуская ни один из них, подробно рассматривая каждую тему и выполняя все практические указания. Лучше всего, если после изучения предлагаемых примеров вы будете придумывать несколько своих. Это позволит вам лучше понять и закрепить материал.
Если вам что-либо непонятно, перечитайте урок еще раз. Для более надежного закрепления материала в памяти советуем по окончании курса еще раз вернуться к наиболее сложным для вас темам. И, конечно же, по завершении обучения не примените возможностью познакомиться со всеми дополнительными материалами.
Цитаты известных людей о математике
Теперь же мы хотим, чтобы вы немного отдохнули перед основной работой. Ниже мы подобрали несколько цитат известных людей об умении считать. Пусть их слова станут для вас дополнительной мотивацией и еще раз напомнят о том, как важна математика:
Математика – это язык, на котором написана книга природы.
Галилео Галилей
Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется.
Иоганн Вольфганг фон Гете
В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.
Николай Жуковский
Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.
Алексей Крылов
Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.
Михаил Калинин
Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, – это быть точным, второе – быть ясным и, насколько можно, простым.
Готфрид Лейбниц
Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.
Алексей Маркушевич
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!
Дьердь Пойа
Счет и вычисления – основа порядка в голове.
Иоганн Генрих Песталоцци
Устройство нашего мира непостижимо без знания математики.
Роджер Бэкон
А сейчас вы можете проверить, насколько быстро вы считаете в уме:
Напоминаем, что для полноценной работы сайта вам необходимо включить cookies, javascript и iframe. Если вы ввидите это сообщение в течение долгого времени, значит настройки вашего браузера не позволяют нашему порталу полноценно работать.
Система быстрого счета (может кому пригодится)
Тридцать простых приемов устного счета
Умножение на однозначное число
Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 X 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20X8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.
Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:
Зная эту таблицу, можно умножение например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8-140*8+7*8= 1120 + 56= 1176
Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350
Умножение на двузначное число
Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.
Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:
Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656
(или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656
Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.
Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:
Умножение на 4 и на 8
Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:
(Eще удобнее: 217*8=200*8 +17*8= 1600*13=1736.
Деление на 4 и на 8
Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:
Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:
516:8=258:4=129:2= 64 1/2
Умножение на 5 и на 25
Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:
При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:
Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют
при остатке: к частному
Основание приема ясно из того, что
Чтобы устно умножить число на 1/ прибавляют к множимому его половину. Например:
23*1/=23 + 11/ = 34/ (или 34,5)
Чтобы устно умножить число на 1/Прибавляют к множимому его четверть. Например:
58*1/= 58+14 /=72/ или 72,5
Чтобы устно умножить число на 2/. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.
Например: 18*2/.=36+9= 45;
39*2/.= 78 + 19/.= 97/ (или 97,5)
Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:
Чтобы устно умножить число на / (т. е. чтобы найти / этого числа), умножают число на 1 и делит пополам. Например:
30 * / = (30+15)/2= 22/ (или 22,5)
Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.
Умножение на 15, на 125, на 75
Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 1/, (потому что 10*1/=15) Например:
Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 1 (потому что 100*1125). Например:
26*125 = 26*100*1= 2600 + 650 = 3250
47*125 = 47*100*1 = 4700+4700/4= 4700+1175 = 5875
Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на / (потому что 100*/=75). Например:
18*75= 18*100*/=1800* / =(1800 + 900)/2=1350
Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6
26*125 = 130*25 = 3250
Умножение на 9 и на 11
Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:
Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:
Деление на 5, на 1,на 15
Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числ-последнюю цифру. Например:
Чтобы устно разделить число на 1делят удвоенное число на 3. Например:
Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например
462:15=924:30=30/=30/=30,8 (или 924:30 =308:10=30,8)
Возвышение в квадрат
Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8*9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:
145; 14*15 = 210; 21025
Прием этот вытекает из формулы (10х+5) = 100х+100х+25=100х(х+1)+25
Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:
Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом § 25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½:
При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a +-b) = a+b+- 2ab.
Например: 4140 +1+2*40= 1601+80= 1681
36 =(35+1)=1225+1+ 2*35=1296
Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.
Вычисления по формуле
Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48
Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2)
и применяем приведенную в заголовке формулу:
Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:
Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:
Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.
37*15=37*3*5 =555 и т. д,
Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:
Не помешала бы ссылка на источник, ну или как минимум отсылка к господину Перельману
Прикалываешься что ли? Почему тебе показалось хорошей идеей скопипастить сюда памятку для первоклассника и даже не проверить, нормально ли она скопипастилась?
Немного криво скопировано, но, в целом, полезная информация
7 ½*6½=(7 + ½ )*(7 — ½)=48 что это?
Молдавские учёные решили проблему, над которой 140 лет бились математики всего мира
Два математика из Молдовы первыми в мире решили алгебраическую проблему, над которой 140 лет размышляли великие ученые мира. Об этом на этой неделе сообщил Технический университет Молдовы (UTM).
«Доктор физико-математических наук Михаил Попа и доктор математических наук Виктор Прикоп первыми в мире нашли решение знаменитой проблемы центра и фокуса, поставленной выдающимся французским математиком Анри Пуанкаре, над которой великие математики мира размышляли более века», — говорится на сайте университета.
Этой проблеме посвятили тысячи работ математики из Франции, России, Беларуссии, Китая, Великобритании, Канады, США и других стран мира. Только в Молдове число работ, посвященных проблеме Пуанкаре, приближается к сотне, отметили в UTM.
Профессор университета Михаил Попа, основатель научной школы алгебры Ли и дифференциальных систем, предложил собственное решение проблемы центра и фокуса, которое привело его к результату, ставшему открытием.
Во время исследований к профессору присоединился его ученик Виктор Прикоп. Вместе они усовершенствовали первоначальную гипотезу в монографии «Проблема центра и фокуса. Алгебраические решения и гипотезы».
Работа была переведена на английский язык и представлена для издания в несколько зарубежных издательств. В итоге лучшие условия предложил издательский дом «Taylor & Francis Group», расположенный в Великобритании и специализирующийся на публикациях научной литературы и журналов.
Где-то всплакнул Гриша Перельман.
Панорама, да не та. И с такими лицами не шутят.
Единственный в своём роде треугольник Шарыгина, открытый лишь в 1982 году
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать об удивительном геометрическом объекте, впервые рассмотренным советским математиком Игорем Федоровичем Шарыгиным.
Для начала посмотрите на рисунок ниже. Что Вы на нём видите?
Но, погодите, есть же еще биссектрисы!
И тут становится интересно! Оказывается, и это показал Игорь Федорович, полученный из биссектрис треугольник может быть равнобедренным!
Заметка Шарыгина об этом объекте опубликована в книге «Задачи по геометрии. Планиметрия», 1982.
Впрочем, есть одно очень тонкое условие: угол такого треугольника должен попадать в диапазон от 102,663 до 104,478 градусов!
Основная суть доказательства сводится к рассмотрению подобных треугольников и применению теоремы косинусов, что позволяет получить вот такие выражения для сторон треугольника:
Самим доказательством (доступным каждому школьнику 9 класса!) можно проникнуться в телеграмм-канале «Математика не для всех».
Тогда еще, наверное, не знали, что квадратные уравнения будут уметь решать все.
Сегодня я хочу рассказать Вам о методе дополнения до квадрата, который широко использовал арабский математик Аль-Хорезми, живший в 8 веке нашей эры. Пусть имеется такое квадратное уравнение:
Отдельно стоит сказать, что отрицательные числа во времена Аль=Хорезми еще были не в ходу. Отсюда и необычная запись условия.
Сразу же мы построили квадрат со стороной х. Теперь необходимо коэффициент при х разделить на 4 и отложить по сторонам квадрата соответствующие прямоугольники:
Теперь еще одно построение: дополним нашу фигуру до квадрата и посчитаем площади двумя способами:
Получается точь-в-точь как при решении через дискриминант. Можете проверить
Гениальная, но простая идея Рихарда Дедекинда, ставшая озарением для математики
Что мы знаем об этом поле? В нём существуют понятные каждому законы:
1. Если число a > b, b > c, то a > c. На числовой прямой, иначе говоря, это будет значить, что b лежит между a и c.
2. Если a и b различные числа, то между ними существует бесконечное количество других чисел.
Без потери общности можно рассматривать только положительные рациональные числа
3.
Важно добавить, что число a является наибольшим элементом в A1 либо в наименьшим в A2.
Само число а можно произвольно отнести к первому или второму классу, но самый важный вывод в том, что получено определение рационального числа а как сечения (A1, A2). С другой стороны понятно, что каждое заданное таким образом сечение определяет натуральное число.
На самом деле, сечение, производимое √2 имеет значительные различия от сечений, которые производят рациональные числа. Например, в классе А1 (красный цвет) нет наибольшего числа: мы сколько угодно можем приближать к √2 слева, применяя всё более точные рациональные дроби, но никогда не найдем «того самого наибольшего». Такая же ситуация и справа: для класса А2 (синий цвет) никогда не найти «наименьшего» в мире рациональных чисел.
Таким образом, мы закрываем всю вещественную прямую плотным слоем рациональных и иррациональных чисел, а доопределив среди них отношение порядка и арифметические операции, порождаем совокупный класс вещественных чисел, каждое из которых может быть приближено рациональными числами с любой точностью.