Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя — основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.
Свойства
Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, α и β — соответствующие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной.
Стороны могут быть найдены следующим образом:
Углы могут быть выражены следующими способами:
Периметр равнобедренного треугольника может быть вычислен любым из следующих способов:
Площадь треугольника может быть вычислена одним из следующих способов:
(формула Герона).
Признаки
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Равнобедренный треугольник» в других словарях:
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК — РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ТРЕУГОЛЬНИК, имеющий две равные по длине стороны; углы при этих сторонах также равны … Научно-технический энциклопедический словарь
ТРЕУГОЛЬНИК — и (прост.) трёхугольник, треугольника, муж. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник.… … Толковый словарь Ушакова
РАВНОБЕДРЕННЫЙ — РАВНОБЕДРЕННЫЙ, ая, ое: равнобедренный треугольник имеющий две равные стороны. | сущ. равнобедренность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
треугольник — ▲ многоугольник ↑ имеющий, три, угол треугольник простейший многоугольник; задается 3 точками, не лежащими на одной прямой. треугольный. остроугольник. остроугольный. прямоугольный треугольник: катет. гипотенуза. равнобедренный треугольник. ▼… … Идеографический словарь русского языка
треугольник — ТРЕУГОЛЬНИК1, а, м чего или с опр. Предмет, имеющий форму геометрической фигуры, ограниченной тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Она перебирала письма мужа пожелтевшие фронтовые треугольники. ТРЕУГОЛЬНИК2, а, м… … Толковый словарь русских существительных
Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия
Треугольник (многоугольник) — Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы и центр тяжести; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия. ТРЕУГОЛЬНИК, многоугольник с 3 сторонами. Иногда под… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
треугольник — а; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… … Энциклопедический словарь
треугольник — а; м. 1) а) Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный треуго/льник. Вычислить площадь треугольника. б) отт. чего или с опр. Фигура или предмет такой формы.… … Словарь многих выражений
Треугольник — а; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… … Энциклопедический словарь
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Содержание:
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
АВ = ВС — боковые стороны
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.
Боковые стороны равны АВ = ВС,
Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.
Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника
Доказательство теоремы:
Вывод:
Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
Доказательство теоремы:
Доказательство от противного.
Признаки равнобедренного треугольника
Формулы равнобедренного треугольника
Формулы сторон равнобедренного треугольника
Формулы длины стороны (основания — b):
Формулы длины равных сторон — (а):
Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
Площадь равнобедренного треугольника
Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
В геометрия, равнобедренный треугольник это треугольник имеющий две стороны равной длины. Иногда указывается как имеющий точно две стороны равной длины, а иногда и имеющие по меньшей мере две стороны равной длины, последняя версия, таким образом, включает равносторонний треугольник как особый случай. Примеры равнобедренных треугольников: равнобедренный прямоугольный треугольник, то золотой треугольник, и лица бипирамиды и некоторые Каталонские твердые вещества.
Математическое изучение равнобедренных треугольников восходит к древнеегипетская математика и Вавилонская математика. Равнобедренные треугольники использовались в качестве украшения еще раньше и часто встречаются в архитектуре и дизайне, например, в фронтоны и фронтоны зданий.
Две равные стороны называются ногами, а третья сторона называется основанием треугольника. Другие размеры треугольника, такие как его высота, площадь и периметр, могут быть рассчитаны по простым формулам, исходя из длин сторон и основания. Каждый равнобедренный треугольник имеет ось симметрии вдоль оси. серединный перпендикуляр своей базы. Два угла напротив ног равны и всегда равны острый, поэтому классификация треугольника как острого, прямого или тупого зависит только от угла между двумя его сторонами.
Содержание
Терминология, классификация и примеры
Евклид определил равнобедренный треугольник как треугольник с двумя равными сторонами, [1] но современные методы лечения предпочитают определять равнобедренные треугольники как имеющие как минимум две равные стороны. Разница между этими двумя определениями состоит в том, что современная версия делает равносторонние треугольники (с тремя равными сторонами) частным случаем равнобедренных треугольников. [2] Неравнобедренный треугольник (имеющий три неравные стороны) называется неравносторонний. [3] «Равнобедренный» сделан из Греческие корни «isos» (равный) и «skelos» (нога). Это же слово используется, например, для равнобедренные трапеции, трапеции с двумя равными сторонами, [4] и для равнобедренные наборы, множества точек, каждые три из которых образуют равнобедренный треугольник. [5]
В равнобедренном треугольнике, у которого ровно две равные стороны, равные стороны называются ноги а третья сторона называется основание. Угол между ножками называется углом. угол при вершине а углы, основание которых является одной из сторон, называются базовые углы. [6] Вершина напротив основания называется вершиной вершина. [7] В случае равностороннего треугольника, поскольку все стороны равны, любую сторону можно назвать основанием. [8]
Является ли равнобедренный треугольник острый, правый или тупой зависит только от угла при его вершине. В Евклидова геометрия, базовые углы не могут быть тупыми (больше 90 °) или прямыми (равными 90 °), потому что их размеры будут составлять по крайней мере 180 °, сумму всех углов в любом евклидовом треугольнике. [8] Поскольку треугольник является тупым или прямым тогда и только тогда, когда один из его углов тупой или прямой, соответственно, равнобедренный треугольник является тупым, прямым или острым тогда и только тогда, когда его угол при вершине соответственно тупой, прямой или острый. [7] В Эдвин Эбботткнига Плоская земляэта классификация форм использовалась как сатира социальная иерархия: равнобедренные треугольники представляли рабочий класс, с острыми равнобедренными треугольниками выше в иерархии, чем прямые или тупые равнобедренные треугольники. [9]
Так же хорошо как равнобедренный прямоугольный треугольник, были изучены несколько других специфических форм равнобедренных треугольников, в том числе Треугольник Калаби (треугольник с тремя равными вписанными квадратами), [10] в золотой треугольник и золотой гномон (два равнобедренных треугольника, стороны и основание которых находятся Золотое сечение), [11] треугольник 80-80-20 появляется в Дополнительные углы Лэнгли головоломка, [12] и треугольник 30-30-120 треугольная плитка Triakis.Пять Каталонские твердые вещества, то триакис тетраэдр, триакис октаэдр, тетракис шестигранник, пентакид додекаэдр, и триакис икосаэдр, каждая из которых имеет грани равнобедренного треугольника, как и бесконечно много пирамиды [8] и бипирамиды. [13]
Формулы
Высота
Для любого равнобедренного треугольника следующие шесть отрезки линии совпадают:
Эта формула также может быть получена из теорема Пифагора используя тот факт, что высота делит основание пополам и делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. [17]
Линия Эйлера любого треугольника проходит через точку треугольника. ортоцентр (пересечение трех его высот), его центроид (пересечение трех его медиан) и его центр окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров трех сторон, которая также является центром описанной окружности, проходящей через три вершины). В равнобедренном треугольнике с ровно двумя равными сторонами эти три точки различны и (по симметрии) все лежат на оси симметрии треугольника, из чего следует, что линия Эйлера совпадает с осью симметрии. В стимулятор треугольника также лежит на линии Эйлера, что неверно для других треугольников. [15] Если любые два из биссектрис угла, медианы или высоты совпадают в данном треугольнике, этот треугольник должен быть равнобедренным. [18]
Площадь
Та же формула площади может быть получена из Формула Герона для площади треугольника с трех сторон. Однако прямое применение формулы Герона может быть численно нестабильный для равнобедренных треугольников с очень острыми углами из-за почти полного сокращения между полупериметр и длина стороны в этих треугольниках. [19]
Это частный случай общей формулы для площади треугольника, равной половине произведения двух сторон, умноженной на синус включенного угла. [21]
Периметр
Это строгое неравенство для равнобедренных треугольников со сторонами, не равными основанию, и становится равенством для равностороннего треугольника. Площадь, периметр и основание также могут быть связаны друг с другом уравнением [23]
Длина биссектрисы угла
В Теорема Штейнера – Лемуса утверждает, что каждый треугольник с двумя биссектрисами равной длины равнобедренный. Он был сформулирован в 1840 г. К. Л. Лемус. Другой его тезка, Якоб Штайнер, был одним из первых, кто предложил решение. [28] Хотя изначально он был сформулирован только для биссектрис внутреннего угла, он работает во многих (но не во всех) случаях, когда вместо этого две биссектрисы внешних углов равны. 30-30-120 равнобедренный треугольник составляет граничный случай для этого варианта теоремы, так как он имеет четыре равных биссектрисы угла (две внутренние, две внешние). [29]
Радиусы
Центр круга лежит на оси симметрии треугольника, на этом расстоянии от основания. Равнобедренный треугольник имеет наибольшую возможную вписанную окружность среди треугольников с тем же основанием и углом при вершине, а также имеет наибольшую площадь и периметр. среди того же класса треугольников. [31]
Центр круга лежит на оси симметрии треугольника, на этом расстоянии ниже вершины.
Вписанный квадрат
Равнобедренное подразделение других форм
Обобщая разбиение острого треугольника, любое циклический многоугольник содержащий центр описанной окружности, можно разбить на равнобедренные треугольники радиусами этой окружности, проходящей через ее вершины. Тот факт, что все радиусы окружности имеют одинаковую длину, означает, что все эти треугольники равнобедренные. Это разбиение можно использовать для получения формулы площади многоугольника как функции его длин сторон, даже для циклических многоугольников, которые не содержат центров окружности. Эта формула обобщает Формула Герона для треугольников и Формула Брахмагупты за циклические четырехугольники. [36]
Либо диагональ из ромб делит его на два конгруэнтный равнобедренные треугольники. Аналогично, одна из двух диагоналей a летающий змей делит его на два равнобедренных треугольника, которые не совпадают, за исключением случая, когда воздушный змей является ромбом. [37]
Приложения
В архитектуре и дизайне
в архитектура средневековья, стала популярной другая форма равнобедренного треугольника: египетский равнобедренный треугольник. Это равнобедренный треугольник, имеющий меньшую остроту, чем равносторонний; его высота пропорциональна 5/8 его основания. [38] Египетский равнобедренный треугольник вернулся в современную архитектуру голландским архитектором. Хендрик Петрус Берлаге. [39]
Ферма Уоррена конструкции, такие как мосты, обычно располагаются в виде равнобедренных треугольников, хотя иногда также включаются вертикальные балки для дополнительной прочности. [40] Поверхности мозаичный по тупым равнобедренным треугольникам можно образовать развертываемые конструкции которые имеют два стабильных состояния: разложенное состояние, в котором поверхность расширяется до цилиндрической колонны, и сложенное состояние, в котором она складывается в более компактную форму призмы, которую легче транспортировать. [41]
В графический дизайн и декоративное искусство, равнобедренные треугольники были частым элементом дизайна в культурах по всему миру, по крайней мере, с Ранний неолит [42] к современности. [43] Они являются обычным элементом дизайна в флаги и геральдика, выступая на видном месте с вертикальным основанием, например, в флаг Гайаны, или с горизонтальным основанием в флаг Сент-Люсии, где они образуют стилизованное изображение горного острова. [44]
Они также использовались в орнаментах религиозного или мистического значения, например, в Шри Янтра из Индуистская медитационная практика. [45]
В других областях математики
Если кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет три корня, которые не все действительные числа, то при нанесении этих корней в комплексная плоскость как Диаграмма Аргана они образуют вершины равнобедренного треугольника, ось симметрии которого совпадает с горизонтальной (действительной) осью. Это потому, что сложные корни комплексные конъюгаты и, следовательно, симметричны относительно действительной оси. [46]
В небесная механика, то проблема трех тел был изучен в частном случае, когда три тела образуют равнобедренный треугольник, поскольку предположение, что тела расположены таким образом, уменьшает количество степени свободы системы, не сводя ее к решенным Точка лагранжиана случай, когда тела образуют равносторонний треугольник. Первые примеры неограниченных колебаний в задаче трех тел были в равнобедренной задаче трех тел. [47]
История и заблуждения
Задолго до того, как равнобедренные треугольники были изучены древнегреческие математики, практикующие Древнеегипетская математика и Вавилонская математика умели рассчитывать свою площадь. Проблемы этого типа включены в Московский математический папирус и Математический папирус Райнда. [48]
Теорема о том, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, появляется как Предложение I.5 в Евклиде. [49] Этот результат получил название pons asinorum (мост ослов) или теорема о равнобедренном треугольнике. Соперничающие объяснения этого имени включают теорию, что это потому, что диаграмма, используемая Евклидом в его демонстрации результата, напоминает мост, или потому, что это первый трудный результат Евклида, и он действует, чтобы отделить тех, кто может понять геометрию Евклида от тех, кто кто не может. [50]
Известный заблуждение является ложным доказательством утверждения, что все треугольники равнобедренные. Робин Уилсон приписывает этот аргумент Льюис Кэрролл, [51] кто опубликовал его в 1899 году, но У. В. Роуз Болл опубликовал его в 1892 году и позже написал, что Кэрролл получил аргумент от него. [52] Заблуждение коренится в непризнании Евклидом концепции посредственность и возникающая в результате неоднозначность внутри против за пределами фигур. [53]