Слово Как пишется число в периоде - однокоренные слова и морфемный разбор слова (приставка, корень, суффикс, окончание):

Периодические дроби

Существуют дроби, у которых в дробной части некоторые цифры бесконечно повторяются. Выглядят эти дроби следующим образом:

Дроби такого вида называют периодическими. В данном уроке мы попробуем разобраться, что это за дроби и как с ними работать.

Получаем периодическую дробь

Попробуем разделить 1 на 3. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Этот момент подробно описан в уроке действия с десятичными дробями, в теме деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

Видно, что мы постоянно получаем остаток 1, далее приписываем к нему 0 и делим 10 на 3. И это повторяется вновь и вновь. В результате в дробной части каждый раз получается цифра 3. Деление 1 на 3 будет выполняться бесконечно, поэтому разýмнее будет остановиться на достигнутом.

Такие дроби называют периодическими, поскольку у них присутствует период цифр, который бесконечно повторяется. Период цифр может состоять из нескольких цифр, а может состоять из одной как в нашем примере.

В примере, который мы рассмотрели выше, период в дроби 0,33333 это цифра 3. Обычно такие дроби записывают сокращённо. Сначала записывают цéлую часть, затем ставят запятую и в скобках указывают период (цифру, которая повторяется).

В нашем примере повторяется цифра 3, она является периодом в дроби 0,33333. Поэтому сокращённая запись будет выглядеть так:

Читается как «ноль целых и три в периоде»

Пример 2. Разделить 5 на 11

Это тоже периодическая дробь. Период данной дроби это цифры 4 и 5, эти цифры повторяются бесконечно. Сокращённая запись будет выглядеть так:

Читается как «ноль целых и сорок пять в периоде»

Пример 3. Разделить 15 на 13

Здесь период состоит из нескольких цифр, а именно из цифр 153846. Для наглядности период отделён синей линией. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

Читается как: «одна целая сто пятьдесят три тысячи восемьсот сорок шесть в периоде».

Пример 4. Разделить 471 на 900

В этом примере период начинается не сразу, а после цифр 5 и 2. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

Читается как: «ноль целых пятьдесят две сотых и три в периоде».

Виды периодических дробей

Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смéшанные.

Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют чистой. Например, следующие периодические дроби являются чистыми:

Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.

Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют смéшанной. Например, следующие периодические дроби являются смéшанными:

Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр.

Избавляемся от хвоста

Подобно тому, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавить периодическую дробь от повторяющегося периода. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нýжного разряда.

Например, округлим периодическую дробь 0, (3) до разряда сотых. Чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру, временно запишем дробь 0, (3) не в сокращённом виде, а в полном:

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых обращается в дробь 0,33

Округлим периодическую дробь 6,31 (6) до разряда тысячных.

Запишем эту дробь в полном виде, чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру:

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит периодическая дробь 6,31 (6) при округлении до тысячных обращается в дробь 6,317

Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную дробь

Перевод периодической дроби в обыкновенную это операция, которую мы будем применять довольно редко. Тем не менее, для общего развития желательно изучить и этот момент. А начнём мы с перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь.

Мы уже говорили, что если период в периодической дроби начинается сразу после запятой, то такую дробь называют чистой.

Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числитель обыкновенной дроби записать период периодической дроби, а в знаменатель обыкновенной дроби записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби.

В качестве примера, рассмотрим чистую периодическую дробь 0, (3) — ноль целых и три в периоде. Попробуем перевести её в обыкновенную дробь.

Правило гласит, что в первую очередь в числитель обыкновенной дроби нужно записать период периодической дроби.

Итак, записываем в числителе период дроби 0, (3) то есть тройку:

А в знаменатель нужно записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (3).

В периодической дроби 0, (3) период состоит из одной цифры 3. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем одну девятку:

Полученную дробь можно сократить на 3, тогда получим следующее:

Получили обыкновенную дробь .

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (3) в обыкновенную дробь получается

Пример 2. Перевести периодическую дробь 0, (45) в обыкновенную дробь.

Здесь период составляет две цифры 4 и 5. Записываем эти две цифры в числитель обыкновенной дроби:

А в знаменатель записываем некоторое количество девяток. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (45).

В периодической дроби 0, (45) период состоит из двух цифр 4 и 5. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем две девятки:

Полученную дробь можно сократить эту дробь на 9, тогда получим следующее:

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (45) в обыкновенную дробь получается

Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числителе записать разность в которой уменьшаемое это цифры, стоящие после запятой в периодической дроби, а вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и первым периодом периодической дроби.

В знаменателе же нужно записать некоторое количество девяток и нулей. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби, а количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

Например, переведём смешанную периодическую дробь 0,31 (6) в обыкновенную дробь.

Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

Итак, записываем в числителе разность:

А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,31 (6)

В дроби 0,31 (6) период состоит из одной цифры. Значит в знаменатель дроби записываем одну девятку:

Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

В дроби 0,31 (6) между запятой и периодом располагается две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

Получили выражение, которое вычисляется легко:

Получили ответ

Таким образом, при переводе периодической дроби 0,31 (6) в обыкновенную дробь, получается

Пример 2. Перевести смешанную периодическую дробь 0,72 (62) в обыкновенную дробь

Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

Итак, записываем в числителе разность:

А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,72 (62)

В дроби 0,72 (62) период состоит из двух цифр. Значит в знаменатель дроби записываем две девятки:

Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

В дроби 0,72 (62) между запятой и периодом располагаются две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

Получили выражение, которое вычисляется легко:

Получили ответ

Значит при переводе периодической дроби 0,72 (62) в обыкновенную дробь, получается

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

34 thoughts on “Периодические дроби”

Когда же следующие уроки? Уже что-то долго ничего нету

Большое спасибо за урок! Откровенно говоря…эту тему не помню вообще…Будто ее и не было в школе О__о Ну или я ее проболела… (Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь)

Вы бы хоть номер кошелька написали. А то столько трудились и никакой отдачи. С такими уроками никакой экзамен не страшен.

Спасибо большое Тэла, за столь добрый отзыв ?
Если люди получают пользу от этих уроков — это уже отдача)

Огромное Вам спасибо за уроки! Всё объясняете доступно и наглядно! На ваших уроках готовлюсь поступать на ФИТ на программиста. Хорошо бы еще алгебру выложили.)

Вы не могли бы объяснить логику алгоритма перевода периодической дроби в обычную?

Зачем в знаменателе ставятся девятки — заместно, например, округления числа, подставляемого в числитель, до последней цифры периода, и постановки степени 10 в знаменатель? Зачем, при переводе смешанной периодической дроби, производится соотв. вычитание и чем объясняется подстановка нулей и единиц в зависимости от принадлежности цифры к периоду??…

Спасибо большое за урок ? Скажите пожалуйсто при округлении(когда избавляемся от хвоста) откуда знать до каких разряд надо округлять?

Вот и здесь последняя задача говорит округлить до разряда сотых,а почему не до десятых(например)?

зависит от задачи, которую решаете. Если в задаче сказано округлять до десятых, значит округляете до десятых. Если сказано округлять до сотых — округляете до сотых

Источник

Периодические дроби с примерами решения

Каждое рациональное число является действительным числом, а поэтому может быть записано в виде десятичной дроби — конечной или бесконечной. Хорошо известно, как это делается, когда

Применим теперь этот метод обращения обыкновенной дроби в десятичную к числу Для этого разделим

Таким образом,

Бесконечная дробь, стоящая в правой части этого равенства, содержит периодически повторяющуюся группу цифр 72. Эта группа цифр называется периодом дроби, а сама дробь — периодической. При записи таких дробей период заключают в скобки и пишут один раз:

(Читается: «Одна целая семьдесят два в периоде».)

Еще один пример:

(Читается: «Нуль целых восемь десятых шестьдесят три в периоде».)

Приписывая к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы получаем бесконечную десятичную дробь. Поэтому конечные десятичные дроби тоже считаются периодическими с периодом 0. (При делении двух натуральных чисел не могут получиться дроби с числом 9 в периоде, поэтому в школьном курсе алгебры их не рассматривают.)

Приведенные примеры дают возможность догадаться, что каждое рациональное число записывается в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Чтобы в этом убедиться, заметим, что для обращения обыкновенной дроби в десятичную мы на каждом шаге остаток от деления (он был равен либо 8, либо 3) умножали на 10 и делили на 11. Но при делении на 11 вообще возможны лишь 11 различных остатков. Значит, на каком-то шаге остаток обязательно повторится (в нашем примере это случилось на третьем шаге), и поэтому в результате деления должна получиться периодическая дробь.

Наоборот, каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.

Каждую периодическую десятичную дробь можно рассматривать либо как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, либо как сумму конечной десятичной дроби и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Это позволяет представлять периодические десятичные дроби в виде обыкновенных дробей.

Пример №1

Обратить в обыкновенную дробь число:

Решение:

Таким образом, число 0,(7) есть — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии где

Значит,

б)

Сумму, стоящую в скобках, обозначим буквой S. Тогда есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем

Значит,

Ответ:

Изучением периодических дробей занимался великий немецкий математик К- Ф. Гаусс (1777—1855). Уже в детстве он делил единицу на все подряд простые числа р из первой тысячи. При этом Гаусс подметил, что, начиная с какого-то места, десятичные знаки начинают повторяться, т. е. получаются периодические десятичные дроби. А периоды некоторых дробей достигали нескольких сотен десятичных знаков. Рассматривая эти примеры, Гаусс установил, что число цифр в периоде всегда является делителем числа

Пример №2

Найти значение выражения:

Решение:

Обратив каждое из чисел в обыкновенную дробь (см. пример 1), получим:

Ответ:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Как записать число ноль с девяткой в периоде

*Чтение данной статьи может вызвать противоречивые чувства.

**Это о-о-очень длиннопост.

Целью статьи является показать, как можно записать число 0 в виде бесконечной десятичной дроби с периодом 9 стандартными средствами. Сама статья является продолжением поста из Лига математиков с сухим заголовком Формы записи действительных чисел (где в комментариях @nbvehbectw совершенно верно указал суть проблемы: #comment_153360302) и написана под впечатлением от истории из жизни за авторством @Gella4ka: ЯКласс. Сколково. Строить или не строить? (из которой многие с удивлением для себя узнали, что торф является горной породой).

Итак, просто о сложном. Что такое бесконечная десятичная дробь?

Представьте, что вам нужно указать своё местонахождение в пространстве, т.е. фактически указать свой текущий адрес.

Давайте начнём с самого начала:

▪ местная группа галактик,

▪ галактика Млечный Путь,

▪ третья планета от Солнца.

Здесь каждый следующий пункт уточняет предыдущий (т.е. указывает на одну из его частей). Список последовательных уточнений может продолжаться довольно долго.

Так вот: бесконечная десятичная дробь – это адрес действительного числа на числовой прямой, содержащий бесконечный список последовательных уточнений.

Давайте посмотрим, как строится этот адрес и какие нас здесь ожидают сюрпризы. Для определённости выберем число x = 1/2 = 0.5 (в качестве десятичного разделителя будем использовать точку «.»).

Во-первых, вся числовая прямая с помощью целых чисел делится на единичные отрезки:

И первое, что мы делаем – определяем, в какой отрезок попадает наше число. Тогда, если прямая – это Вселенная, то, скажем, отрезок [0; 1] – это сверхскопление Ланиакея. При этом уже на этом этапе нас подстерегают сюрпризы. Дело в том, что целые числа (например, 1) находятся на границе двух отрезков и, вообще говоря, могут быть отнесены к любому из них. Конкретно для числа 1 это означает, что его адрес может начинаться и как «Вселенная, сверхскопление Ланиакея» – отрезок [0; 1], и как «Вселенная, сверхскопление Персея-Рыб» – отрезок [1; 2]. Это очень важный момент. Ведь действительно: в точку 1 мы можем попасть и со стороны отрезка [0; 1], и со стороны отрезка [1; 2]. Интересующая нас точка x = 1/2 однозначно попадает в отрезок [0; 1], и первая цифра «адреса» равна 0 (указывает левый конец отрезка).

Далее, мы делим наш отрезок [0; 1] на 10 частей (мы ведь строим бесконечную десятичную дробь):

И теперь мы имеем неопределённость: к какому отрезку отнести точку x = 1/2 – к левому [0.4; 0.5] («суперкластер Девы») или к правому [0.5; 0.6] («суперкластер Гидры-Центавра»). На самом деле, оба варианта абсолютно равнозначны и нам нет совершенно никакой разницы, какой именно выбор мы сделаем – в любом случае в адресе у нас будет бесконечное количество цифр.

Если мы выберем правый отрезок [0.5; 0.6], то второй цифрой «адреса» будет 5, а следующей (и всеми остальными за ней) – 0:

Таким образом, правый «адрес» числа x = 1/2 будет x = 0.5000. = 0.5(0).

Следует отметить, что все нули здесь важны, т.к. каждый из них указывает на положение числа x = 1/2 в следующем «подадресе»: континент, страна, область, город, улица, дом, корпус, подъезд, этаж, квартира, комната, кровать, подушка, и т.д. – список уточнений можно продолжать (в случае действительного числа – до бесконечности). Короткая запись в виде конечной десятичной дроби x = 0.5 имеет тот недостаток, что она ничего нам не говорит о том, абсолютно ли мы уверены, что все последующие цифры равны нулю. Например, измерение в 49.5 см может на практике означать и 49.51, и 49.53 (и даже 49.49) – всё зависит от точности измерительного прибора. При этом запись x = 49.5(0) говорит нам о том, что да – это честные 49.5 см.

Теперь рассмотрим левый отрезок [0.4; 0.5]. В этом случае второй цифрой «адреса» будет 4, а следующей (и всеми остальными за ней) – 9:

Таким образом, левый «адрес» числа x = 1/2 будет x = 0.4999. = 0.4(9).

По «точности» указания положения точки x = 1/2 оба «адреса» совершенно равноправны (хотя это и не совсем очевидно из приведённых рисунков), т.к. суть такого метода адресации заключается в следующем: вы заранее не знаете, где именно находится точка x, а просто на каждом шаге уверены, что она находится в пределах того отрезка, который написан на конверте (а уточнить положение сможете на следующем шаге, и т.д. до бесконечности). В общем случае, обойтись меньшим, чем счётная бесконечность, количеством цифр, к сожалению, невозможно.

Из данной истории мы можем сделать вывод: если на каком-то этапе наша точка попадает точно на границу двух отрезков, то она всегда будет иметь два адреса (построенных по приведённой схеме). Вообще говоря, такая ситуация происходит всегда, когда что угодно оказывается на границе. Например, сверху стакан кажется наполовину пустым, а снизу – наполовину полным. Полночь – это конец предыдущих или начало новых суток? 60-я секунда заканчивает предыдущую минуту или начинает новую? Кстати, бывают такие минуты, которые состоят из 61 секунды (и с каждым годом их становится всё больше). Про календарь от Рождества Христова (и пропущенный нулевой год) я здесь даже не буду начинать разговор. И про резкое падение рождаемости в России в феврале 1918 года тоже не скажу ни слова.

Если вам нужна ещё аналогия, то, например, последний день предыдущего месяца (скажем, 31 декабря) вы смело можете считать нулевым днём следующего месяца (0 января). Это очень удобно, т.к. запомнив, на какой день недели выпадает нулевое число текущего месяца, вы точно будете знать, что на этот же день недели выпадает также 7-е, 14-е, 21-е и 28-е число. А про то, в каком году началось новое тысячелетие (в 2000 или в 2001), я, пожалуй, тоже разговор заводить не буду.

Итак, мы выяснили, что все конечные десятичные дроби могут быть записаны в виде бесконечных десятичных дробей двумя способами. Надеюсь, с этим все согласны. Но как же это поможет нам записать число 0 в виде дроби с периодом 9? Обратимся к нашей схеме: число 0 расположено на границе двух отрезков: [–1; 0] и [0; 1]. Если мы выберем второй вариант, мы получим стандартную запись 0 = 0.(0). Если же мы выберем первый вариант, то целая часть у нас получится отрицательной (–1), а дробная – положительной (0.999999. ). В школе сегодня не учат записывать такие числа. Но обратимся к истории.

Ключевое слово здесь – десятичный логарифм (думаю, на этом этапе многие уже догадались, к чему я веду). Как известно, любое положительное действительное число можно записать в стандартном виде в виде произведения некоторого множителя, большего 0 и меньшего 10, и некоторой степени числа 10.

149 600 000 км = 1.496×10⁸ км – расстояние от Земли до Солнца,

31 536 000 с = 3.1536×10⁷ с – число секунд в невисокосном году,

384 400 км = 3.844×10⁵ км – расстояние от Земли до Луны,

0.495 м = 4.95×10⁻¹ м – характеристический размер.

При логарифмировании по основанию 10 результат распадается на две части: логарифм степени десятки даёт целую часть (характеристику), а логарифм множителя – дробную часть (мантиссу). При этом характеристика всегда получается целой (но может быть отрицательной), а мантисса всегда заключена между нулём и единицей:

lg(3.844×10⁵) = lg(10⁵) + lg(3.844) = 5 + 0.585 = 5.585,

lg(4.95×10⁻¹) = lg(10⁻¹) + lg(4.95) = –1 + 0.695.

В последнем случае (когда характеристика отрицательна) для удобства придумали специальную запись со знаком минус над целой частью:

Многие школьники прошлого века (в том числе некоторые современные дедушки и прабабушки) были хорошо знакомы с такой записью. Её можно встретить в «Основах математического анализа» Фихтенгольца и школьных учебниках под редакцией Колмогорова. Встречается она и в Википедии:

Таким образом, чтобы записать левый «адрес» числа 0, мы можем воспользоваться указанным приёмом:

–1 + 0.999999. = ̅1.999999. = ̅1.(9).

Такая запись выглядит вполне логичной:

На этом пока всё. Но если вы хотите спросить, является ли 0 натуральным числом, может ли в военное время значение π достигать 4, а синуса – 5, то ответ на все эти вопросы: «Да, если вам так угодно (и вы хорошо понимаете, что именно вы хотите спросить)». Но это уже совсем другая история.

Источник