Как найти координаты точки?
3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие системы координат
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.
Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
Определение координат точки
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.
Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.
Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).
Особые случаи расположения точек
В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:
Способы нахождения точки по её координатам
Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.
Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):
Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):
Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:
Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве
При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.
Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.
Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление О х слева направо, а O y – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.
Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.
Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве
По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.
Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.
Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости
Имеющееся число x M называют координатой точки М на заданной координатной прямой.
Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве
Система координат в математике с примерами решения и образцами выполнения
Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.
Координаты на прямой
Если на прямой задано направление, то такую прямую называют направленной, а выбранное направление — положительным. Например, на горизонтальной прямой можно отметить направление вправо, тогда будем говорить, что направленная прямая имеет положительное направление вправо. Можно с таким же правом считать положительным и направление влево. Направление прямой будем указывать стрелкой (рис. 1).
Выберем на направленной прямой точку, которую назовем началом отсчета или началом координат, и будем обозначать ее буквой О.
Кроме того, выберем отрезок, длину которого будем считать единицей длины. Этот отрезок назовем единицей масштаба.
Определение:
Прямая линия, на которой указаны: начало отсчета, единица масштаба и направление отсчета, называется осью координат.
Рассмотрим отрезок, расположенный на оси координат. Если одну из точек, ограничивающих отрезок, назовем началом отрезка, а другую—его концом, то отрезок будем называть направленным отрезком. Направленный отрезок обозначают двумя буквами, например: АВ, СМ, КР, причем на первом месте ставят букву, обозначающую начало, на втором—букву, обозначающую конец. Таким образом, запись АВ показывает, что начало отрезка есть точка А, а конец — точка В. Направление отрезка считается от начала к концу.
Если направление отрезка совпадает с направлением оси, то отрезок называют положительно направленным; если же его направление противоположно направлению оси, то — отрицательно направленным. Таким образом, отрезки АВ и ВА имеют противоположные направления. Это записывают так:
Отметим, что положительный отрезок может находиться в любом месте координатной оси, только его направление должно совпадать с направлением оси.
Сложение направленных отрезков производится по следующему правилу:
Для того чтобы сложить два направленных отрезка, нужно к концу первого приложить начало второго; тогда отрезок, имеющий началом начало первого отрезка и концом конец второго, называют суммой двух направленных отрезков.
Из этого определения вытекает, что сумма отрезков АВ и ВС равна отрезку АС при любом расположении точек А, В, С, т. е. всегда:
Координатным отрезком точки А называется направленный отрезок, имеющий начало в точке О (т. е. в начале координат), а концом — рассматриваемую точку А.
Всякий направленный отрезок, лежащий на оси, можно выразить через координатные отрезки его начала и конца. В самом деле, рассмотрим направленный отрезок АВ. На основании равенства (2) можно написать
(здесь вместо точки В поставлена точка О, а вместо точки С точка В) или
Отрезок ОВ есть координатный отрезок (его начало есть точка О), но отрезок АО не является координатным, поскольку его начало не является началом координат. Но в силу равенства (1)
поэтому можно написать
Получен следующий результат:
Направленный отрезок равен разности координатного отрезка его конца и координатного отрезка его начала.
Это верно для любого отрезка, лежащего на координатной оси.
Теперь дадим одно из самых важных определений: Координатой точки на координатной оси называется число, равное по абсолютной величине длине координатного отрезка этой точки и по знаку совпадающее со знаком координатного отрезка.
Точку А, имеющую координатной число х, будем обозначать А (х).
Указанные на рис. 4 точки имеют следующие координаты:
Будем также писать
Если даны точки А(х1) и В(х2), то на основании формул (3) и (4) получим
т. е. направленный отрезок равен разности координат его конца и начала.
Отсюда сразу получаем, что длина отрезка равна абсолютной величине разности координат его конца и начала.
Длину отрезка будем обозначать, пользуясь знаком | |, т. е. знаком абсолютной величины. Таким образом, длина отрезка АВ будет записываться так:
Пример:
Если даны точки А (+4), В (+8), то отрезок АВ = (+8) — (+4), а его длина |АВ|= |+ 4 | = 4.
Если даны точки М (+5) и Р (+3), то отрезок МР = (+3)—(+5) = —2, а его длина |МР| = | —2| = 2. Даны две точки: Q (+ 3) и S (—4). Длина отрезка
Даны две точки R (— 6) и Т (—2); отрезок RТ = ( — 2) — (—6) = +4, а его длина | RТ | = 4.
Пример:
Начало отрезка АВ находится в точке А (—950), а конец—в точке В ( —1200); найти его направление и длину.
Отрезок АВ = ( — 1200)—( — 950) = —250. Так как он
получился отрицательным, то его направление противоположно направлению оси. Его длина равна | АВ | = | —250 | = 250.
Задача:
На координатной оси даны две точки: A (x1) и В (x2) Найти точку С, лежащую между ними и делящую отрезок АВ в отношении т : п.
Чтобы найти точку, надо найти ее координату. По условию задачи должно быть
Обозначая координату искомой точки С через х и выражая отрезки через координаты, т. е. применяя формулу (5), получим, что АС = х—х1, СВ = х2 — х. Подставляя эти выражения в равенство (6), будем иметь
Решая последнее уравнение относительно х, найдем:
Это и есть координата искомой точки.
Пример:
Найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении 1:2, если даны начало отрезка А (+ 3) и конец В ( + 5) (рис. 5).
Здесь т = 1, п = 2, х1=-3, х2 = 5. Применяя формулу (7), получим
Пример:
Найти точку М, делящую расстояние между точками Р ( — 2) и Q (—9) в отношении 3:4 (рис. 5). Здесь т = 3, п = 4, х1 = —2, х2 = —9. По формуле (7) находим
Если т = n т. е. точка С делит отрезок АВ пополам, тогда формула (7) перепишется так:
Таким образом, координата точки, делящей отрезок пополам, равна средней арифметической координат его начала и конца.
Пример:
Найдем середину отрезка, заключенного между точками А (—6) и B (4) (рис. 6).
Применяя формулу (8), получим, что
Координаты на плоскости
Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О. На каждой из этих прямых зададим направление, указав его стрелкой (рис. 7).
Установим масштаб, общий для обеих прямых, а за начало отсчета выберем точку О.
Определение:
Координатными осями на плоскости называются две взаимно перпендикулярные прямые, на которых установлены: 1) на-правления, 2) масштаб и 3) общая точка отсчета.
Назовем одну из осей осью Ох или осью абсцисс, другую — осью Оу или осью ординат. Точку их пересечения назовем началом координат.
Возьмем произвольную точку M, лежащую на плоскости, и опустим из нее перпендикуляры на оси координат, т. е. найдем ее проекции на оси. Обозначим проекцию на ось Ох через А, а проекцию на ось Оу через В. Обозначим координату точки А (по оси Ох) через х, а координату точки В (по оси Оу) через у. Введем определение:
Определение:
Абсциссой точки называется координата ее проекции на ось Ох. Ординатой точки называется координата ее проекции на ось Оу.
Абсциссу точки обычно обозначают буквой х, ординату— буквой у. Точку М, имеющую абсциссу х и ординату у, обозначают следующим образом: пишут скобку и в ней на первом месте ставят абсциссу, на втором ординату и разделяют эти два числа запятой или точкой с запятой. Таким образом, запись точки выглядит так: М(х, у).
Координатные оси разделяют плоскость на четыре части, которые называют четвертями.
Первой четвертью называется та часть плоскости, в которой абсцисса и ордината положительны.
Второй четвертью — та часть, в которой абсцисса отрицательна, а ордината положительна.
Пример:
Найти точку Р( — 4, 2) (рис. 9), Возьмем на оси Ох точку А с координатой —4, ее координатный отрезок ОА = —4. На оси Оу возьмем точку В с координатным отрезком ОВ= 2. Восставим перпендикуляры к осям из точек А и В, точка их пересечения и даст искомую точку Р.
Задача:
Найти расстояние между точками Р (х1, у1) и Q( х1, у1 ). Иначе говоря, нужно найти длину отрезка РQ(рис. 10).
Обозначим проекцию точки Р на ось Ох через А1, а ее проекцию на ось Оу — через В1. Проекцию точки Q на ось Ох обозначим через А2 и через В2— ее проекцию на ось Oy. Тогда ОА1 = х1, ОВ1 = y1, ОА2 = х2, ОВ2 = у2. Из точки Р проведем прямую, параллельную оси Ох, до пересечения с прямой A2Q в точке К. Рассмотрим треугольник PKQ. По теореме Пифагора имеем
Но РК = А1А2, KQ = B1B2, как противоположные стороны прямоугольников; кроме того, на основании формулы (3 из § 1) направленные отрезки А1А2 и В1В2 будут равны
Подставляя полученные выражения в (*), получим
т. е. расстояние между двумя точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей координат.
Примечание:
Расстояние между двумя точками, так же как длина отрезка, всегда положительно, поэтому в формуле (1) перед квадратным корнем берут только знак плюс.
Пример:
Найти расстояние между точками Р (— 2, — 1) и Q (2, 2). Применяя формулу (1), получим
Пример:
Найти длину отрезка MN, если даны М (8, 2) и N(2, 10). Применяя формулу (1), получим
Задача:
Найти точку С, делящую отрезок PQ в отношении т : п, если известны координаты точек Р (х1, у1) и Q (х2, у2). По условию задачи надо найти такую точку С, чтобы было выполнено равенство
Решение:
Так как прямые А1Р, АС и А2Q параллельны между собой, то на основании теоремы о пропорциональных отрезках можно записать, что
Но А1А = ОА — ОА1 = х—х1, АА2 = ОА2 — ОА = х2—х; поэтому, подставляя в равенство (*), будем иметь уравнение
решая которое найдем абсциссу точки С:
Рассуждая аналогично о проекциях на ось Оу, т. е. о точках В1, В и В2, получим ординату точки С, делящей отрезок в отношении т : п,
Итак, искомая точка С имеет координаты, определяемые равенствами (2) и (3).
Пример:
Найти точку, делящую в отношении 1:2 отрезок PQ, где Р (4, —3) и Q (8, 0). Здесь х1 = 4, у1 = — 3, х2 = 8, у2 = 0, т = 1, п = 2. Применяя формулы (2) и (3), получим:
Пример:
Найти точку, делящую расстояние между точками А (4, 2) и B (8, 10) в отношении 3 : 1. Здесь х1=-4, у1 = 2, х2 = 8, у2= 10, т = 3, п = 1. По формулам (2) и (3) находим:
Следствие (из формул (2) и (3)). Если точка С делит отрезок РQ пополам, то т = n, поэтому
т. е. абсцисса середины отрезка равна средней арифметической абсцисс его начала и конца; ордината середины отрезка равна средней арифметической ординат его начала и конца.
Задача:
Даны три вершины треугольника: А (7, 0), В (4, 4) и С (7, 10). Найти длину биссектрисы угла A (рис. 12).
Найдем длины сторон АВ и АС. Для этого применим формулу (1):
Обозначим точку пересечения биссектрисы угла А с противоположной стороной ВС через М, а ее координаты—через х и у. Помня, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, можно утверждать, что точка М делит отрезок ВС в отношении 5 : 10 = 
; поэтому, применяя формулы (2) и (3), получим:
Теперь вычисляем длину биссектрисы между точками А(7, 0) и М(5, 6):
Задача:
Найти точку пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А(4, 6), В(—8, 10), С( —2, —6) (рис. 13).
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Обозначим через М середину стороны АС; по формулам (4) и (5) можно найти ее координаты:
т. е. М(19 0). Точка Р пересечения медиан делит отрезок ВМ в отношении 2:1, поэтому ее координаты найдутся по формулам (2)
Итак, искомая точка
Задача:
Записать условие того, что точка М (х, у) находится на расстоянии По формуле (1) имеем
или, возводя обе части равенства в квадрат, получим
Это равенство есть уравнение с двумя неизвестными х и у. Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на расстоянии 5 от точки С. Иначе говоря, ему удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей геометрическому месту точек, расстояние которых от точки С равно 5. Это геометрическое место есть окружность.
Следовательно, можно сказать, что уравнение (*) есть уравнение окружности с центром в точке С и радиуса 5.
В следующих главах будут рассмотрены уравнения с двумя неизвестными х и у и те линии (геометрические места), точки которых имеют координаты, удовлетворяющие этим уравнениям.
Числовая ось
Числовой осью называют направленную прямую, на которой указывается начальная точка О и задается некоторый «эталон» длины Е. Каждой точке 
этой прямой отвечает вещественное число, равное длине отрезка 
если расположено правее точки О, и равное этой
длине со знаком минус — в противном случае (см. рис. 1 а). Числовую ось будем обозначать 
(смысл этого обозначения прояснится ниже).
Указанное соответствие между точками числовой оси и множеством вещественных чисел 
является взаимно однозначным, т. е. каждой точке 
соответствует единственное число 
, обратно, каждому числу соответствует единственная точка Таким образом, множество . вещественных чисел можно отождествлять с числовой осью , чем мы будем впредь постоянно пользоваться.
Декартова система координат
Декартовой (прямоугольной) системой координат на плоскости называют две взаимно перпендикулярные числовые оси 
и 
, имеющие общее начало О и одинаковые единицы масштаба (см. рис. 1 б). Ось называют осью абсцисс, а ось — осью ординат. Плоскость 
называют координатной плоскостью и обозначают 
Пусть М — произвольная точка координатной плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ на оси и соответственно. Декартовыми координатами точки М называют числа, которым соответствуют точки А к В. Например, точка 
имеет декартовы координаты 
что записывается в виде 
Точка О имеет координаты (0,0).
Полярная система координат
В плоскости зададим луч — полярную ось, выходящий из точки О — полюса полярной системы координат (см. рис. 2 а). Произвольная точка М плоскости определяется парой чисел 
называемой ее полярными координатами, где р — длина отрезка ОМ, а 
— выраженный в радианах угол между ОМ и осью . Угол в считается положительным, если откладывается против часовой стрелки, и отрицательным в противоположном случае. Точка О имеет полярные координаты 
где — любой угол.
Полярные и декартовы координаты, заданные на одной плоскости (см. рис. 2 6), связаны очевидными равенствами:
Системы координат в пространстве
Декартова система координат в пространстве определяется тремя взаимно перпендикулярными осями , и 
, называемыми соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат (см. рис. 4 а). Проcтранство 
обозначают 
. Положение точки М в определяется тройкой чисел 
Аналогами полярной системы координат в пространстве служат цилиндрическая и сферическая системы координат.
Цилиндрическая система координат (рис. 4 б) представляет собой объединение полярной системы координат в плоскости с аппликатой z:
где 
Сферическая система координат (рис. 4 в) связана с декартовой системой равенствами
где 
Пространство
Пространство 
На плоскости и в пространстве положение точки в декартовых координатах полностью определяется соответственно, парой и тройкой чисел вида [
) и (x,y,z). Желая обобщить эти геометрические подходы, в анализе вводят понятие пространства
Упорядоченную систему из 
вещественных чисел 
называют -мерной точкой, а множество всех -мерных точек называют —мерным пространством или короче — пространством .
Понятие пространства естественно дополнить понятиями основных операций над его элементами. По определению полагают
Наконец, обобщая известную из аналитической геометрии формулу, определяют расстояние между двумя точками 
и 
Прямую, плоскость и пространство можно рассматривать как пространства , 
и соответственно. Ниже это будет практиковаться постоянно.
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института