Решение оптимизационных задач управления методом линейного программирования
Ранее я описал, как принимать решения с учетом ограничивающих факторов. Цель таких решений – определить ассортимент продукции (производственный план), максимально увеличивающий прибыль компании. Решение заключалось в том, чтобы распределить ресурсы между продуктами согласно маржинальной прибыли, полученной на единицу ограниченных ресурсов, при соблюдении любых других ограничений, таких как максимальный или минимальный спрос на отдельные виды продукции. [1]
Если ограничивающий фактор один (например, дефицитный станок), решение может быть найдено с применением простых формул (см. ссылку в начале статьи). Если же ограничивающих факторов несколько, применяется метод линейного программирования.
Линейное программирование – это название, данное комбинации инструментов используемых в науке об управлении. Этот метод решает проблему распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими видами деятельности с тем, чтобы максимизировать или минимизировать некоторые численные величины, такие как маржинальная прибыль или расходы. В бизнесе он может использоваться в таких областях как планирование производства для максимального увеличения прибыли, подбор комплектующих для минимизации затрат, выбор портфеля инвестиций для максимизации доходности, оптимизация перевозок товаров в целях сокращения расстояний, распределение персонала с целью максимально увеличить эффективность работы и составление графика работ в целях экономии времени.
Скачать заметку в формате Word, рисунки в формате Excel
Линейное программирование предусматривает построение математической модели рассматриваемой задачи. После чего решение может быть найдено графически (рассмотрено ниже), с использованием Excel (будет рассмотрено отдельно) или специализированных компьютерных программ. [2]
Пожалуй, построение математической модели – наиболее сложная часть линейного программирования, требующая перевода рассматриваемой задачи в систему переменных величин, уравнений и неравенств – процесс, в конечном итоге зависящий от навыков, опыта, способностей и интуиции составителя модели.
Рассмотрим пример построения математической модели линейного программирования
Николай Кузнецов управляет небольшим механическим заводом. В будущем месяце он планирует изготавливать два продукта (А и В), по которым удельная маржинальная прибыль оценивается в 2500 и 3500 руб., соответственно.
Изготовление обоих продуктов требует затрат на машинную обработку, сырье и труд (рис. 1). На изготовление каждой единицы продукта А отводится 3 часа машинной обработки, 16 единиц сырья и 6 единиц труда. Соответствующие требования к единице продукта В составляют 10, 4 и 6. Николай прогнозирует, что в следующем месяце он может предоставить 330 часов машинной обработки, 400 единиц сырья и 240 единиц труда. Технология производственного процесса такова, что не менее 12 единиц продукта В необходимо изготавливать в каждый конкретный месяц.
Рис. 1. Использование и предоставление ресурсов
Николай хочет построить модель с тем, чтобы определить количество единиц продуктов А и В, которые он доложен производить в следующем месяце для максимизации маржинальной прибыли.
Линейная модель может быть построена в четыре этапа.
Этап 1. Определение переменных
Существует целевая переменная (обозначим её Z), которую необходимо оптимизировать, то есть максимизировать или минимизировать (например, прибыль, выручка или расходы). Николай стремится максимизировать маржинальную прибыль, следовательно, целевая переменная:
Z = суммарная маржинальная прибыль (в рублях), полученная в следующем месяце в результате производства продуктов А и В.
Существует ряд неизвестных искомых переменных (обозначим их х1, х2, х3 и пр.), чьи значения необходимо определить для получения оптимальной величины целевой функции, которая, в нашем случае является суммарной маржинальной прибылью. Эта маржинальная прибыль зависит от количества произведенных продуктов А и В. Значения этих величин необходимо рассчитать, и поэтому они представляют собой искомые переменные в модели. Итак, обозначим:
х1 = количество единиц продукта А, произведенных в следующем месяце.
х2 = количество единиц продукта В, произведенных в следующем месяце.
Очень важно четко определить все переменные величины; особое внимание уделите единицам измерения и периоду времени, к которому относятся переменные.
Этап. 2. Построение целевой функции
Целевая функция – это линейное уравнение, которое должно быть или максимизировано или минимизировано. Оно содержит целевую переменную, выраженную с помощью искомых переменных, то есть Z выраженную через х1, х2… в виде линейного уравнения.
В нашем примере каждый изготовленный продукт А приносит 2500 руб. маржинальной прибыли, а при изготовлении х1 единиц продукта А, маржинальная прибыль составит 2500 * х1. Аналогично маржинальная прибыль от изготовления х2 единиц продукта В составит 3500 * х2. Таким образом, суммарная маржинальная прибыль, полученная в следующем месяце за счет производства х1 единиц продукта А и х2 единиц продукта В, то есть, целевая переменная Z составит:
Николай стремится максимизировать этот показатель. Таким образом, целевая функция в нашей модели:
Максимизировать Z = 2500 * х1 + 3500 *х2
Этап. 3. Определение ограничений
Ограничения – это система линейных уравнений и/или неравенств, которые ограничивают величины искомых переменных. Они математически отражают доступность ресурсов, технологические факторы, условия маркетинга и иные требования. Ограничения могут быть трех видов: «меньше или равно», «больше или равно», «строго равно».
В нашем примере для производства продуктов А и В необходимо время машинной обработки, сырье и труд, и доступность этих ресурсов ограничена. Объемы производства этих двух продуктов (то есть значения х1 их2) будут, таким образом, ограничены тем, что количество ресурсов, необходимых в производственном процессе, не может превышать имеющееся в наличии. Рассмотрим ситуацию со временем машинной обработки. Изготовление каждой единицы продукта А требует трех часов машинной обработки, и если изготовлено х1, единиц, то будет потрачено З * х1, часов этого ресурса. Изготовление каждой единицы продукта В требует 10 часов и, следовательно, если произведено х2 продуктов, то потребуется 10 * х2 часов. Таким образом, общий объем машинного времени, необходимого для производства х1 единиц продукта А и х2 единиц продукта В, составляет 3 * х1 + 10 * х2. Это общее значение машинного времени не может превышать 330 часов. Математически это записывается следующим образом:
Аналогичные соображения применяются к сырью и труду, что позволяет записать еще два ограничения:
Наконец следует отметить, что существует условие, согласно которому должно быть изготовлено не менее 12 единиц продукта В:
Этап 4. Запись условий неотрицательности
Искомые переменные не могут быть отрицательными числами, что необходимо записать в виде неравенств х1 ≥ 0 и х2 ≥ 0. В нашем примере второе условия является избыточным, так как выше было определено, что х2 не может быть меньше 12.
Полная модель линейного программирования для производственной задачи Николая может быть записана в виде:
Максимизировать: Z = 2500 * х1 + 3500 *х2
При условии, что: 3 * х1 + 10 * х2 ≤ 330
Рассмотрим графический метод решения задачи линейного программирования.
Этот метод подходит только для задач с двумя искомыми переменными. Модель, построенная выше, будет использована для демонстрации метода.
Оси на графике представляют собой две искомые переменные (рис. 2). Не имеет значения, какую переменную отложить вдоль, какой оси. Важно выбрать масштаб, который в конечном итоге позволит построить наглядную диаграмму. Поскольку обе переменные должны быть неотрицательными, рисуется только I-й квадрант.
Рис. 2. Оси графика линейного программирования
Рассмотрим, например, первое ограничение: 3 * х1 + 10 * х2 ≤ 330. Это неравенство описывает область, лежащую ниже прямой: 3 * х1 + 10 * х2 = 330. Эта прямая пересекает ось х1 при значении х2 = 0, то есть уравнение выглядит так: 3 * х1 + 10 * 0 = 330, а его решение: х1 = 330 / 3 = 110
Аналогично вычисляем точки пересечения с осями х1 и х2 для всех условий-ограничений:
| Область допустимых значений | Граница допустимых значений | Пересечение с осью х1 | Пересечение с осью х2 |
| 3 * х1 + 10 * х2 ≤ 330 | 3 * х1 + 10 * х2 = 330 | х1 = 110; х2 = 0 | х1 = 0; х2 = 33 |
| 16 * х1 + 4 * х2 ≤ 400 | 16 * х1 + 4 * х2 = 400 | х1 = 25; х2 = 0 | х1 = 0; х2 = 100 |
| 6 * х1 + 6 * х2 ≤ 240 | 6 * х1 + 6 * х2 = 240 | х1 = 40; х2 = 0 | х1 = 0; х2 = 40 |
| х2 ≥ 12 | х2 = 12 | не пересекает; идет параллельно оси х1 | х1 = 0; х2 = 12 |
Графически первое ограничение отражено на рис. 3.
Рис. 3. Построение области допустимых решений для первого ограничения
Любая точка в пределах выделенного треугольника или на его границах будет соответствовать этому ограничению. Такие точки называются допустимыми, а точки за пределами треугольника называются недопустимыми.
Аналогично отражаем на графике остальные ограничения (рис. 4). Значения х1 и х2 на или внутри заштрихованной области ABCDE будут соответствовать всем ограничениям модели. Такая область называется областью допустимых решений.
Рис. 4. Область допустимых решений для модели в целом
Теперь в области допустимых решений необходимо определить значения х1 и х2, которые максимизируют Z. Для этого в уравнении целевой функции:
разделим (или умножим) коэффициенты перед х1 и х2 на одно и тоже число, так чтобы получившиеся значения попали в диапазон, отражаемый на графике; в нашем случае такой диапазон – от 0 до 120; поэтому коэффициенты можно разделить на 100 (или 50):
затем присвоим Z значение равное произведению коэффициентов перед х1 и х2 (25 * 35 = 875):
и, наконец, найдем точки пересечения прямой с осями х1 и х2:
| Уравнение целевой функции | Пересечение с осью х1 | Пересечение с осью х2 |
| 875 = 25х1 + 35х2 | х1 = 35; х2 = 0 | х1 = 0; х2 = 25 |
Нанесем это целевое уравнение на график аналогично ограничениям (рис. 5):
Рис. 5. Нанесение целевой функции (черная пунктирная линия) на область допустимых решений
Значение Z постоянно на всем протяжении линии целевой функции. Чтобы найти значения х1 и х2, которые максимизируют Z, нужно параллельно переносить линию целевой функции к такой точке в границах области допустимых решений, которая расположена на максимальном удалении от исходной линии целевой функции вверх и вправо, то есть к точке С (рис. 6).
Рис. 6. Линия целевой функции достигла максимума в пределах области допустимых решений (в точке С)
Можно сделать вывод, что оптимальное решение будет находиться в одной из крайних точек области принятия решения. В какой именно, будет зависеть от угла наклона целевой функции и от того, какую задачу мы решаем: максимизации или минимизации. Таким образом, не обязательно чертить целевую функцию – все, что необходимо, это определить значения х1 и х2 в каждой из крайних точек путем считывания с диаграммы или путем решения соответствующей пары уравнений. Найденные значения х1 и х2 затем подставляются в целевую функцию для расчета соответствующей величины Z. Оптимальным решением является то, при котором получена максимальная величина Z при решении задачи максимизации, и минимальная – при решении задачи минимизации.
Определим, например значения х1 и х2 в точке С. Заметим, что точка С находится на пересечении линий: 3х1 + 10х2 = 330 и 6х1 + 6х2 = 240. Решение этой системы уравнений дает: х1 = 10, х2 = 30. Результаты расчета для всех вершин области допустимых решений приведены в таблице:
| Точка | Значение х1 | Значение х2 | Z = 2500х1 + 3500х2 |
| А | 22 | 12 | 97 000 |
| В | 20 | 20 | 120 000 |
| С | 10 | 30 | 130 000 |
| D | 0 | 33 | 115 500 |
| E | 0 | 12 | 42 000 |
Таким образом, Николай Кузнецом должен запланировать на следующий месяц производство 10 изделий А и 30 изделий В, что позволит ему получить маржинальную прибыль в размере 130 тыс. руб.
Кратко суть графического метода решения задач линейного программирования можно изложить следующим образом:
5 комментариев для “Решение оптимизационных задач управления методом линейного программирования”
Пожалуйста, помогите, не могу определить ограничения в задаче и построить ОДР.
Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.
Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В – 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
Сижу с этой задачей уже неделю.
Надя, я уже решал эту задачку. См. комментарий
Как составить целевую функцию и ограничения к ней
Мощности завода позволяют произвести в текущем месяце ингредиенты для производства удобрений в следующем количестве: 10 т нитратов, 15 т фосфатов и 12 т поташа. В резуль¬тате смешения этих активных ингредиентов с инертными, запа¬сы которых не ограничены, на заводе могут быть получены четы¬ре типа удобрений.
Удобрение 1 содержит 5% нитратов, 10% фосфатов и 5% поташа.
Удобрение 2 содержит 5% нитратов, 10% фосфатов и 10% поташа.
Удобрение 3 содержит 10% нитратов, 10% фосфатов и 10% поташа.
Удобрение 4 содержит 10% нитратов, 5% фосфатов и 5% поташа.
Цены на удобрения соответственно 400, 500, 400 и 450 руб. за тонну. Объем спроса на удобрения практически не ограничен.
Стоимость производства одной тонны нитратов 360 руб., фос¬фатов 240 руб. и поташа 200 руб.Инертные ингредиенты закупаются заводом по цене 100 руб. за тонну. На текущий месяц завод уже заключил контракт на поставку 10 т удобрения 3.Определите, какие удобрения и в каком количестве следует производить, чтобы в текущем месяце завод получил максималь¬ную прибыль.
Вопросы:
1. Сколько удобрения 1 следует производить?
2. Сколько всего следует производить удобрений?
3. Какова максимальная прибыль?
4. На сколько изменилась бы прибыль, если бы заказчик отказался от контракта на поставку удобрения 3?
На счет ограничений:
x1+x5+x9+x13 ≤ 10
x2+x6+x10+x14 ≤ 15
x3+x7+x11+x15 ≤12
x4+x8+x12+x16 ≥ 0
0,05×1+0,1×2+0,05×3+0,8×4 ≥ 0
0,05×5+0,1×6+0,1×7+0,75×8 ≥ 0
0,1×9+0,1×10+0,1×11+0,7×12 ≤ 10
0,1×13+0,05×14+0,05×15+0,8×16≥0
В чем тут ошибка? Excel просто игнорирует тот факт, что удобрения необходимо производить путем смешивания 4х ресурсов. Помогите пожалуйста.
Записать целевую функцию и ограничения
Хозяйство имеет 1000 га пахотной земли, на которых традиционно выращивают кукурузу, горох, рожь и.
Составить целевую функцию и систему ограничений
Здравствуйте. Возникла проблема. Не могу понять, как записать систему ограничений и целевую.
Составить целевую функцию и систему ограничений
Здравствуйте! Возникла сложность с составлением целевой функции и системы ограничений. Задача.
Пусть произвели каждого удобрения x1,x2,x3,x4 тонн, соответственно. На это нужно
(5×1+5×2+10×3+10×4)/100 тонн нитратов
(10х1+10х2+10х3+5х4)/100 тонн фосфатов
(5х1+10х2+10х3+5х4)/100 тонн поташа.
(80х1+75х2+70х3+80х4)/100 тонн наполнителя
Ограничения:
по нитратам: (5×1+5×2+10×3+10×4)/100≤ 10
по фосфатам и по поташу напишите сами
Как в методе золотого сечения записать целевую функцию через сумму?
целевая функция имеет вид: f(alpha) = сумма по k от 0 до n (j(t)-j*(t))2 подскажите пожалуйста.
Найти целевую функцию
Помогите пожалуйста решить задачу:Из всех прямоугольных треугольников,у которых сумма одного катета.
Можно ли упростить функцию и составить по ней переключательную схему?
Добрый день. Подскажите, пожалуйста, можно ли следующим образом упростить функцию и составить по.
Написать функцию, которая строит график траектории движения тела в целевую точку
вот само задание: Написать функцию, которая строит график траектории движения тела в целевую точку.
2.2. Целевая функция (план)
Определение. Целевая функция – выражение, значение которого стремимся сделать максимальным или минимальным.
Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С математической точки зрения целевая функция описывает некоторую (N+1)-мерную поверхность.
1) Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис. 1).
2) Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений (рис. 2).
Определение. При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются Гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами.
Целевая функция в ряде случаев может быть представлена:
только целыми значениями;
двумя значениями – да или нет (дискретная функция).
В каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.
В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов. В результате получается «функция компромисса», позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.
Как написать целевую функцию
«Поиск решений» — функция Excel, которую используют для оптимизации параметров: прибыли, плана продаж, схемы доставки грузов, маркетингового бюджета или рентабельности. Она помогает составить расписание сотрудников, распределить расходы в бизнес-плане или инвестиционные вложения. Знание этой функции экономит много времени и сил. Рассказываем, как освоить функцию поиска решений.
Основные параметры поиска решений
Найти решение задачи можно тремя способами. Во-первых, вручную перебирать параметры, пока не найдется оптимальное соотношение. Во-вторых, составить уравнение с большим количеством неизвестных. В-третьих, вбить данные в Excel и использовать «Поиск решений». Последний способ самый быстрый и покажет максимально точное решение, если знать, как использовать функцию.
Итак, мы решаем задачу с помощью поиска решений в Excel и начинаем с математической модели. В ней четыре типа данных: константы, изменяемые ячейки, целевая функция и ограничения. К поиску решения вернемся чуть позже, а сейчас разберемся, что входит в каждый из этих типов:
Константы — исходная информация. К ней относится удельная маржинальная прибыль, стоимость каждой перевозки, нормы расхода товарно-материальных ценностей. В нашем случае — производительность работников, их оплата и норма в 1000 изделий. Также константа отражает ограничения и условия математической модели: например, только неотрицательные или целые значения. Мы вносим константы в таблицу цифрами или с помощью элементарных формул (СУММ, СРЗНАЧ).
Изменяемые ячейки — переменные, которые в итоге нужно найти. В задаче это распределение 1000 изделий между работниками с минимальными затратами. В разных случаях бывает одна изменяемая ячейка или диапазон. При заполнении функции «Поиск решений» важно оставить ячейки пустыми — программа сама найдет значения.
Целевая функция — результирующий показатель, для которого Excel подбирает наилучшие показатели. Чтобы программа понимала, какие данные наилучшие, мы задаем функцию в виде формулы. Эту формулу мы отображаем в отдельной ячейке. Результирующий показатель может принимать максимальное или минимальное значения, а также быть конкретным числом.
Ограничения — условия, которые необходимо учесть при оптимизации функции, называющейся целевой. К ним относятся размеры инвестирования, срок реализации проекта или объем покупательского спроса. В нашем случае — количество дней и число работников.
Пример использования поиска решений
Теперь перейдем к самой функции.
1) Чтобы включить «Поиск решений», выполните следующие шаги:
Не забудьте ввести формулы. Стоимость заказа рассчитывается как «Оплата труда за 1 изделие» умножить на «Число заготовок, передаваемых в работу». Для того, чтобы узнать «Время на выполнение заказа», нужно «Число заготовок, передаваемых в работу» разделить на «Производительность».
3) Выделите целевую ячейку, которая должна показать максимум, минимум или определенное значение при заданных условиях. Для этого на панели нажмите «Данные» и выберете функцию «Поиск решений» (обычно она в верхнем правом углу).
4) Заполните параметры «Поиска решений» и нажмите «Найти решение».
Совокупная стоимость 1000 изделий рассчитывается как сумма стоимостей количества изделий от каждого работника. Данная ячейка (Е13) — это целевая функция. D9:D12 — изменяемые ячейки. «Поиск решений» определяет их оптимальные значения, чтобы целевая функция достигла минимума при заданных ограничениях.
В нашем примере следующие ограничения: