Как пишется знак неравенства в математике

Морфемный разбор слова:

Однокоренные слова к слову:

Понятие неравенства, связанные определения

Неравенство – обратная сторона равенства. Материал данной статьи дает определение неравенства и начальную информацию о нем в разрезе математики.

Определение неравенства

Понятие неравенства, как и понятие равенства, связывается с моментом сравнения двух объектов. В то время как равенство означает «одинаковы», то неравенство, напротив, свидетельствует о различиях объектов, которые сравниваются. К примеру, и — одинаковые объекты или равные. и — объекты, отличающиеся друг от друга или неравные.

Неравенство объектов определяется по смысловой нагрузке такими словами, как выше – ниже (неравенство по признаку высоты); толще – тоньше (неравенство по признаку толщины); длиннее – короче (неравенство по признаку длины) и так далее.

Возможно рассуждать как о равенстве-неравенстве объектов в целом, так и о сравнении их отдельных характеристик. Допустим, заданы два объекта: и . Без сомнений, эти объекты не являются одинаковыми, т.е. в целом они не равны: по признаку размера и цвета. Но, в то же время, мы можем утверждать, что равны их формы – оба объекта являются кругами.

В контексте математики смысловая нагрузка неравенства сохраняется. Однако, в этом случае речь идет о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений величин (длина, площадь и т.д.), векторов, фигур и т.п.

Не равно, больше, меньше

В зависимости от целей поставленной задачи ценным можем являться уже просто факт выяснения неравенства объектов, но обычно вслед за установлением факта неравенства происходит выяснение того, какая все же величина больше, а какая – меньше.

Значение слов «больше» и «меньше» нам интуитивно знакомо с самого начала нашей жизни. Очевидным является навык определять превосходство объекта по размеру, количеству и т.д. Но в конечном счете любое сравнение приводит нас к сравнению чисел, которые определяют некоторые характеристики сравниваемых объектов. По сути, мы выясняем, какое число больше, а какое – меньше.

Утром температура воздуха составила 10 градусов по Цельсию; в два часа дня этот показатель составил 15 градусов. На основе сравнения натуральных чисел мы можем утверждать, что значение температуры утром было меньше, чем ее значение в два часа дня (или в два часа дня температура увеличилась, стала больше, чем была температура утром).

Запись неравенств с помощью знаков

Существуют общепринятые обозначения для записи неравенств:

Подробнее их смысл разберем ниже. Дадим определение неравенств по виду их записи.

Строгие и нестрогие неравенства

Знаки строгих неравенств – это знаки «больше» и «меньше»: > и Неравенства, составленные с их помощью – строгие неравенства.

Верные и неверные неравенства

Верное неравенство – то неравенство, которое соответствует указанному выше смыслу неравенства. В ином случае оно является неверным.

Приведем простые примеры для наглядности:

Неравенство 5 ≠ 5 является неверным, поскольку на самом деле числа 5 и 5 равны.

Или такое сравнение:

Аналогичными по смыслу термину «верное неравенство» являются фразы «справедливое неравенство», «имеет место неравенство» и т.д.

Свойства неравенств

Опишем свойства неравенств. Очевидный факт, что объект никак не может быть неравным самому себе, и это есть первое свойство неравенства. Второе свойство звучит так: если первый объект не равен второму, то и второй не равен первому.

Опишем свойства, соответствующие знакам «больше» или «меньше»:

Знакам нестрогих неравенств также присущи некоторые свойства:

Двойные, тройные и т.п. неравенства

Источник

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Знаки: «>» больше, «

Однажды решили Белочка и Ёжик проверить, что птицы любят есть больше всего: пшеничные зерна или крошки белого хлеба. На один пень насыпали зерна, а на другой крошки хлеба и стали наблюдать.

— Ежик, ну что ты там видишь?

— О, теперь вижу. Два воробья прилетели. Сейчас зерна будут клевать.

— Ой. Ко второму пню, ну там где крошки, сорока наша прилетела.

— Так где птиц больше?

— На пне с зернышками птиц больше, чем около пня с крошками.

— Белочка, кажется дядя Филя прилетел.

— Ну, и где сейчас птиц стало больше?

— Теперь птиц стало одинаково.

— Любик, а ты знаешь, что в математике, чтобы сравнивать объекты или предметы используют специальные математические знаки: больше, меньше и равно.

Например, вот у нас одно яблоко и одна груша, т.е. яблок столько же сколько и груш. Значит между ними можно поставить знак равно. А записать это можно так: два равно двум.

Теперь мы сравним грибы: три боровика и две лисички. Что больше?

— Три боровика больше, чем две лисички.

— Правильно. В этом случае мы между грибами поставим знак больше. А записать это можно так: три больше чем два.

— А сейчас сравним жёлуди и орехи. Чего меньше?

— Ага… Желудей у нас три, а орехов пять. Значит желудей меньше, чем орехов.

— Правильно, в этом случае мы поставим знак меньше. А записать это можно так: пять меньше чем три.

А теперь мы посмотрим, как пишутся эти знаки.

— Я помню как пишется знак равно. Он состоит из двух палочек, которые пишутся друг под другом. Вот.

— Правильно. Знаки больше и меньше тоже состоят из двух палочек. В знаке больше палочки расходятся к большему числу, а записывается этот знак так.

В знаке меньше палочки сходятся к меньшему числу и записывается он так.

— Ежик, допиши пожалуйста знаки в строчку, в пустые клеточки.

— Ага… Сейчас, сейчас. Сначала допишу знак равно, теперь больше и меньше.

А чтобы ты не запутался, запомни: левая рука, согнутая в локте даст нам знак меньше, а правая рука согнутая в локте даст нам знак больше.

Если между двумя числами поставить знак равно, то получится числовое равенство. А если между двумя числами поставить знаки больше или меньше, то получится числовые неравенства.

Ежик, а теперь проверь пожалуйста, верные ли равенства и неравенства.

Так, так, так. Ага. Два больше чем один – все верно, три больше, чем четыре…ага…

что-то не так, три обозначает большее количество предметов, чем четыре и при счете

идет раньше, чем четыре значит это неравенство не верное. Мы его зачеркнем.

— А давай лучше исправим, чтобы у нас не было ошибок.

— Давай. Значит здесь надо поставить знак меньше. Вот.

— Так-так. Пять равно пяти. Все верно.

— Ага, а здесь совсем сложно.

— Ничего сложного. Смотри, чтобы проверить, надо сначала посчитать, сколько будет два да один.

— А сколько будет два да три.

— Пять. Значит три меньше пяти. Здесь опять ошибка. Надо поставить знак меньше.

— Ну молодец Ежик. Ты все правильно выполнил. Итак, ты должен запомнить:

1. Чтобы сравнить числа в математике используют знаки больше, меньше или равно.

2. Знак больше, расходится палочками к большему числу. И если согнуть правую руку в локте, то получится знак больше. Выражение, в котором стоит знак больше называется неравенство.

3. Знак меньше, сходится палочками к меньшему числу. И если согнуть левую руку в локте, то получится знак меньше. Выражение, в котором стоит знак меньше тоже называется неравенство.

4. Знак равно состоит из двух палочек, которые пишутся друг под другом, а выражение, в котором стоит знак равно называется числовым равенством.

— Белочка, а давай посмотрим, что там наши птицы делают?

— Все склевали и улетели. Да, теперь мы не сможем определить, что же птицы любят больше. Ничего не осталось.

— Наверное, Ежик, одни птицы больше любят есть зерна, а другие хлебные крошки.

Источник

Равенство и неравенство. Знаки: больше, меньше, равно

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Математические знаки

Скорее всего, к первому классу ребенок уже отличает на слух и визуально, что горстка из десяти ягод больше трех штук. Чтобы внедрить в жизнь новые обозначения, посмотрим на знаки «больше», «меньше», «равно» в картинках.

Символ больше (>) — это когда острый нос галочки смотрит направо. Его нужно использовать, когда первое число больше второго:

Символ меньше (

Символ равенства (=) — это когда два коротких отрезка записаны горизонтально и параллельны друг другу. Используем его при сравнении двух одинаковых чисел:

Чтобы ребенку было легче запомнить схожие между собой знаки, можно применить игровой метод. Для этого нужно сравнить числа и определить в каком порядке они стоят. Далее ставим одну точку у наименьшего числа и две — рядом с наибольшим. Соединяем точки и получаем нужный знак. Вот так просто:

Равенство и неравенство

Что такое равенство в математике — это когда одно подобно по количеству другому и между ними можно поставить знак =.

Для примера посмотрим на картинку с изображением геометрических фигур. Справа и слева количество одинаковое, значит можно поставить символ «равно».

Наглядный пример неравенства изображен на картинке ниже. Слева видим три фигуры, а справа — четыре. При этом мы знаем, что три не равно четырем или еще так: три меньше четырех.

Урок в школе зачастую проходит перед учебником, тетрадью и доской. Дома же можно использовать компьютер и некоторые задания выполнять в онлайн-формате. Как найти знаки на клавиатуре? Ответ на картинке:

Типы неравенств

Источник

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Таблица числовых промежутков

Алгоритм решения линейного неравенства
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
Примеры решения линейных неравенств:
№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )
№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14
6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4
x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).
Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).
№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
x + 6 − 9 x > − 8 x + 48
Квадратные неравенства
Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.
Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).
Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов
Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.
Примеры решения квадратных неравенств:
№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49
D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня
x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3
x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1
D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня
x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1
− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25
D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня
x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1
− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
№4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6.
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49
D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня
x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1
x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
№5. Решить неравенство x 2 4.
Решение:
Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.
( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2
x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.
Решение:
Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.
x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1
x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )
Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.
Дробно рациональные неравенства
Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).
Примеры дробно рациональных неравенств:
x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3
Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.
Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.
Примеры решения дробно рациональных неравенств:
№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0
3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0
x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )
№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.
x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
Системы неравенств
Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Пример системы неравенств:
Алгоритм решения системы неравенств
Примеры решений систем неравенств:
№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.
Графическая интерпретация решения:
Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
Графическая интерпретация решения:
№3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения:
Графическая интерпретация решения:
Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.
№4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения первого неравенства:
Решаем методом интервалов.
D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1
Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.
Графическая интерпретация решения второго неравенства:
Источник
Категория: Правописание слов Метки: как написать, как пишется, как пишется слово, написание слов, правописание слов, слово.
Теперь вы знаете какие однокоренные слова подходят к слову Как пишется знак неравенства в математике, а так же какой у него корень, приставка, суффикс и окончание. Вы можете дополнить список однокоренных слов к слову "Как пишется знак неравенства в математике", предложив свой вариант в комментариях ниже, а также выразить свое несогласие проведенным с морфемным разбором.

Запись навигация

← Как пишется знак на клавиатуре компьютера
Как пишется знак номер в математике →

Какие вы еще знаете однокоренные слова к слову Как пишется знак неравенства в математике:

Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *

Email *

Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.

Δ

Найти:
Учи русский
Правила русского языка

Правописание слов

Онлайн словарь однокоренных слов русского языка.

Неравенство Графическое решение Форма записи ответа

x c