Математика
Кроме четырех основных, существует очень много сложных арифметических действий. Они происходят от сочетания основных действий и потому не носят никаких особенных названий. Иногда результат арифметических действий между числами обозначают только знаками, не производя самого вычисления. Это бывает всякий раз, когда обращают главное внимание на саму связь между числами.
В таком случае результаты четырех основных арифметических действий между числами 6 и 2 изобразятся в виде
Действие, составленное из сочетания основных, называются сложными действиями.
Результаты сложных действий, выраженные при помощи одних знаков, бывают весьма разнообразны. Так, результат сложного действия, в котором нужно 6 умножить на 7, а затем приложить к произведению число 5, выразится в виде:
Действие, в котором из суммы чисел 5 и 6 нужно вычесть 3, выразится в виде:
Действие, в котором из произведения 6 на 5 нужно вычесть произведение 3 на 7, выразится в виде:
Результат одного или нескольких арифметических действий, выраженный одними знаками, называют арифметическим выражением.
Арифметическое выражение по числу входящих в него членов называют одночленом, двучленом и вообще многочленом.
Так, арифметические выражения
Сумма и разность двух чисел есть двучлены.
Скобки
При действиях с арифметическими выражениями употребляют скобки.
Чтобы обозначить, что данное арифметическое действие нужно выполнить над арифметическим двучленом или многочленом, помещают его между скобками или, как обыкновенно выражаются, заключают его в скобки.
При этом скобки обозначают так:
Так, например, чтобы показать, что нужно сумму чисел 5 и 6 умножить на 7, пишут:
Чтобы уяснить значение скобок, вычислим сначала величину выражения (5 + 6 ) × 7 и затем величину выражения 5 + 6 × 7, в котором скобки опущены.
В первом случае, умножая сумму 5 + 6 на 7, имеем (5 + 6) × 7 = 77.
Во втором случае нужно умножить на 7 только 6, и в результате получим:
Если нужно выполнить действие над несколькими многочленами, заключают их всех в скобки.
Если нужно все это последнее выражение разделить на сумму 2 + 5, пишут
При помощи скобок легко написать арифметическое выражение по данной зависимости между числами и найти его величину.
Чтобы определить результат сложного арифметического действия, нужно каждое выражение, а в выражении каждый член вычислять отдельно.
Так, определяя величину выражения
мы заменяем арифметические выражения
Заменяя члены 3 × 9 и 4 × 5 числами
Иногда прибегают к скобкам при действии над одночленами. Так, желая указать, что частное 6 ÷ 3 нужно умножить на 5, пишут (6 ÷ 3) × 5.
Скобки ввел в первый раз Альберт Жирард (1629 г.).
Угловые скобки
Ско́бки — па́рные знаки, используемые в различных областях.
Используются также скобки, в которых открывающий и закрывающий знак не различаются, например, косые скобки /…/, прямые скобки |…|, двойные прямые скобки ||…||.
В математике, физике, химии и др. используются при написании формул.
Различные скобки (как и другие, непарные символы ASCII) применяются в смайликах (эмотиконах), например, 🙂.
Содержание
Круглые скобки
Используются в математике для задания приоритета математических и логических операций. Например, (2+3)·4 означает, что надо сначала сложить 2 и 3, а затем сумму умножить на 4; аналогично выражение 
означает, что сначала выполняется логическое сложение 
а затем — логическое умножение 
Наряду с квадратными скобками используются также для записи компонент векторов:
Круглые скобки в математике используются также для выделения аргументов функции: 
для обозначения открытого сегмента и в некоторых других контекстах. Иногда круглыми скобками обозначается скалярное произведение векторов:
(здесь приведены три различных варианта написания, встречающиеся в литературе) и смешанное (тройное скалярное) произведение:
При обозначении диапазона чисел круглые скобки обозначают, что числа, которые находятся по краям множества не включаются в это множество. То есть запись А = (1;3) означает, что в множество включены числа, которые 1(открытый) интервал.
В химических формулах круглые скобки применяются для выделения повторяющихся функциональных групп, например, (NH4)2CO4, Fe2(SO4)3, (C2H5)2O. Также скобки используются в названиях неорганических соединений для обозначения степени окисления элемента, например, хлорид железа(II), гексацианоферрат(III) калия.
Скобки (обычно круглые, как в этом предложении) употребляются в качестве знаков препинания в естественных языках.
Во многих языках программирования используются круглые скобки для выделения конструкций. Например, в языках Паскаль и Си в скобках указываются параметры вызова процедур и функций, а в Лиспе — для описания списка.
Квадратные скобки
В лингвистике употребительны для обозначения транскрипции в фонетике или границ составляющих в синтаксисе.
Квадратными скобками в цитатах задают авторский текст, который проясняет контекст цитаты. Например, «Их [заложников] было около 100 человек».
Квадратными скобками в математике могут обозначаться:
В вики-разметке двойные квадратные скобки используются для внутренних ссылок, перенаправлений, категорий и интервики, одинарные — для внешних.
В программировании чаще всего применяются для указания индекса элемента массива.
Часто квадратные скобки используются для обозначения необязательности, например, параметров командной строки (см. подробнее в статье Форма Бэкуса — Наура).
Фигурные скобки
Фигурными скобками в одних математических текстах обозначается операция взятия дробной части, в других — они применяются для обозначения приоритета операций, как третий уровень вложенности (после круглых и квадратных скобок). Фигурные скобки применяют для обозначения множеств. Одинарная фигурная скобка объединяет системы уравнений или неравенств. В математике и классической механике фигурными скобками обозначается оператор специального вида, называемый скобками Пуассона: 
Как уже было сказано выше, иногда фигурными скобками обозначают антикоммутатор.
В вики-разметке двойные фигурные скобки применяются для шаблонов.
В программировании фигурные скобки являются или операторными (Си, C++, Perl и комментарием (Паскаль), могут также служить для образования списка (в Сетл).
Угловые скобки
В математике угловыми скобками обозначают кортеж, реже — скалярное произведение в предгильбертовом пространстве, например:
В квантовой механике угловые скобки используются в качестве так называемых бра и кет (от англ. bracket — скобка), введённых П. А. М. Дираком для обозначения квантовых состояний (векторов) и матричных элементов. При этом квантовые состояния обозначаются как 
(кет-вектор) и 
(бра-вектор), их скалярное произведение как 
матричный элемент оператора А в определённом базисе как 
Кроме того, в физике угловыми скобками обозначают усреднение (по времени или другому непрерывному аргументу), например, 
— среднее значение по времени от величины f.
В текстологии и издании литературных памятников угловыми скобками обозначают лакуны в тексте — 
.
Типографика
В типографике же угловые скобки 
являются самостоятельными символами. От « » их можно отличить по бо́льшему углу между сторонами — 
.
В ТеХе для записи угловых скобок используются команды «\langle» и «\rangle».
ASCII-тексты
В некоторых языках разметки, напр., HTML, XML угловыми скобками выделяют теги.
В вики-разметке также можно использовать HTML-разметку, например комментарии — « », которые видны только при редактировании статьи.
В программировании угловые скобки используются редко, чтобы не создавать путаницы между ними и знаками отношений (« »). Например в Си угловые скобки используются в директиве препроцессора #include вместо кавычек, чтобы показать что включаемый заголовочный файл необходимо искать в одном из стандартных каталогов для заголовочных файлов, например в следующем примере:
файл stdio.h находится в стандартном каталоге, а myheader.h — в текущем каталоге (каталоге исходника программы).
В некоторых текстах, сдвоенные парные « » используются для записи кавычек-ёлочек, например — >.
Косые скобки
Появились на пишущих машинках для экономии клавиш.
В программировании на языке Си косые скобки вместе с дополнительным знаком «*» обозначают начало и конец комментария:
Прямые скобки
Используются в математике для обозначения модуля числа или вектора, определителя матрицы:
Двойные прямые скобки
Используются в математике для обозначения нормы элемента линейного пространства: ||x||; иногда — для матриц:
Раскрытие скобок
Понятие раскрытия скобок
В задачах по математике постоянно встречаются числовые и буквенные выражения, а также выражения с переменными, которые составлены с использованием скобок.
Основная функция скобок — менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений.
Часто можно перейти от одного выражения со скобками к тождественно равному выражению без скобок. Например:
Такой переход от выражения со скобками к тождественно равному выражению без скобок несет в себе основную идею о раскрытии скобок.
Начальное выражение со скобками и результат, полученный после раскрытия скобок, удобно записывать в виде равенства, как мы это сделали в предыдущем примере.
В школе тему раскрытия скобок обычно подходят в 6 классе. На этом этапе раскрытие скобок воспринимают, как избавление от скобок, которые указывают порядок выполнения действий. И изучают раскрытие скобок на примерах выражений, которые содержат:
Раскрытие скобок также можно рассматривать шире.
Раскрытием скобок можно назвать переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению без скобок. Например:
Или, если в описанных выше выражениях вместо чисел и переменных могут быть любые выражения. В полученных таким способом выражениях тоже можно проводить раскрытие скобок. Например:
Раскрытие скобок — это избавление от скобок, которые указывают порядок выполнения действий, а также избавление от скобок, в которые заключены отдельные числа и выражения.
Важно отметить еще один момент, который касается особенностей записи решения при раскрытии скобок. При раскрытии скобок в громоздких выражениях можно прописывать промежуточные результаты в виде цепочки равенств. Например, вот так:
Первое правило раскрытия скобок
Это выражение равно двум. А теперь раскроем скобки, то есть избавимся от них. Мы ожидаем, что после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) также должно быть равно 2.
Первое правило раскрытия скобок
Если перед скобками стоит знак плюс — все числа, которые стоят внутри скобок, сохраняют свой знак.
Формула раскрытия скобок
Мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Значит плюс нужно опустить вместе со скобками. То, что было в скобках — запишем без изменений, вот так:
Так мы получили выражение без скобок 8 − 9 + 3. Снова получаем в результате вычисления два.
Поэтому между выражениями 8 + (−9 + 3) и 8 − 9 + 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
Потренируемся применять правило на примерах.
Пример 1. Раскрыть скобки в выражении 8 + (−3 − 1)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опустим вместе со скобками. А то, что было в скобках оставим без изменений:
Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 + (−2)
Перед скобками стоит плюс, значит применим то же правило:
Раскрытие скобок в предыдущих пример выглядит, как обратная операция замены вычитания сложением.
В выражении 6 − 2 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 6 + (−2). Но если в выражении 6 + (−2) раскрыть скобки, то получится снова 6 − 2.
Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после любых других преобразований.
Идем дальше. Теперь упростим выражение 2a + a − 5b + b.
Чтобы упростить такое выражение, нужно привести подобные слагаемые. Для этого нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:
Получили выражение 3a + (−4b). Раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок: опустим скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками.
Таким образом, выражение 2a + a − 5b + b упрощается до 3a − 4b.
После открытия одних скобок, по пути можно найти другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в таком выражении:
Здесь нужно раскрыть скобки в двух местах. Снова применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед:
Пример 3. Раскрыть скобки 6 + (−3) + (−2)
В обоих местах перед скобками стоит плюс. Применяем первое правило раскрытия скобок:
Можно встретить такой пример, когда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1 + (2 + 3 − 4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ интуитивно понятен — перед двойкой будет стоять плюс.
Дело в том, что даже в скобках перед двойкой стоит плюс, просто мы его не видим так как плюс не принято записывать. Полная запись положительных чисел выглядит так: +1, +2, +3, но плюсы по традиции не записывают, поэтому положительные числа мы всегда видим в таком виде: 1, 2, 3.
Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1 + (2 + 3 − 4), нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении (−7)
Перед скобками стоит плюс, но мы его не видим так как до него нет других чисел или выражений. Убираем скобки, применив первое правило раскрытия скобок:
Пример 5. Раскрыть скобки 9a + (−5b + 6c) + 2a + (−2d)
Видим два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишем без изменений:
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Второе правило раскрытия скобок
Здесь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Звучит так:
Второе правило раскрытия скобок
Если перед скобками стоит знак минус — все числа, которые стоят внутри скобок, меняют свой знак на противоположный.
Формула раскрытия скобок
Например, раскроем скобки в выражении 5 − (−2 − 3)
Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:
Так мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Это выражение равно десяти, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.
Поэтому между выражениями 5 − (−2 − 3) и 5 + 2 + 3 можно поставить знак равенства так как они равны одному и тому же значению:
Пример 1. Раскрыть скобки в выражении 18 − (−1 − 5)
Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:
18 − (−1 − 5) = 18 + 1 + 5
Пример 2. Раскрыть скобки −(−6 + 7)
Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:
Пример 3. Раскрыть скобки −(−7 − 4) + 15 + (−6 − 2)
Здесь мы видим два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае применим второе правило раскрытия скобок, а во втором — первое правило:
−(−7 − 4) + 15 + (−6 − 2) = 7 + 4 + 15 − 6 − 2
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении a − (3b + 3) + 10
Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:
a − (3b + 3) + 10 = a − 3b − 3 + 10
Другие правила раскрытия скобок
Правило раскрытия скобок при делении
Если после скобок стоит знак деления — каждое число внутри скобок делится на делитель, который стоит после скобок.
Формула раскрытия скобок
Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые.
Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.
Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x + 2) : 2/3. Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число:
Далее умножим скобку на число:
Правило раскрытия скобок при умножении:
Если перед скобками стоит знак умножения — каждое число, которое стоит внутри скобок, нужно умножить на множитель перед скобками.
Формула раскрытия скобок
Пример 1. Раскрыть скобки 5(3 − x)
В скобке у нас стоят 3 и −x, а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки нужно умножить на 5:
Знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.
Пример 2. Упростить выражение: 5(x + y) − 2(x − y)
Как решаем: 5(x + y) − 2(x − y) = 5x + 5y − 2x + 2y = 3x + 7y.
Таблица с формулами раскрытия скобок
Эти таблицы с правилами раскрытия скобок можно распечатать и обращаться к ним, когда возникнут сомнения в ходе решения задачки.
Правила раскрытия круглых скобок вида (-a), в которых находится одночлен
Правила раскрытия круглых скобок, в которых находится многочлен
Скобки убирают, знаки всех слагаемых в скобках не меняют, если:
Скобки убирают, знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные, если:
Раскрытие круглых скобок при умножении одночлена на многочлен
Раскрытие круглых скобок при умножении многочлена на многочлен
Раскрытие круглых скобок при возведении многочлена в степень
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)= a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Скобка в скобке
В 7 классе на алгебре можно встретить задачи со скобками, которые вложены внутрь других скобок. Вот пример такого задания:
Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение и просто переписывать его, как есть. Разберем подробнее тот же самый пример.
Пример 1. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые 7x + 2(5 − (3x + y))
Начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относится – это сама скобка и минус перед ней. Всё остальное переписываем также как было.
Теперь раскроем вторую скобку, внешнюю:
Упростим получившееся выражение:
Порядок раскрытия скобок
Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида. То есть в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.
Порядок раскрытия скобок согласован с порядком выполнения действий:
Пример 1. Раскрыть скобки и упростить выражение:
Значение выражения не зависит от переменной и всегда отрицательно. Что и требовалось доказать.
Задачи для самостоятельного решения
На алгебре в 6 и 7 классе придется решать задачки с раскрытием скобок много и часто. Поэтому лучше запомнить правила и практиковаться уже сейчас.
Задание 6. Раскройте скобки:
Задание 7. Раскройте скобки:
Общая характеристика
Главная задача знаков — описание этапов осуществляемых действий. Математическое уравнение или выражение имеет одиночную пару квадратных, фигурных и других скобок, а также может использовать их некоторое количество.
Значение и разновидности
Скобки — это парные знаки, используемые во всевозможных областях. Чтобы правильно выстроить фразу в русском языке, для понимания смысла текста в предложении они употребляются как знаки препинания. С начальных классов школы изучают основы этих знаков.
В расчетах первая из скобок считается открывающей, а вторая — замыкающей. Оба знака соответствуют друг другу, но также используются те, в которых открытие или закрытие не различается (косые /…/, прямые скобки |…|, двойные прямые ||…||. Раскрывать значение можно чаще всего в математике, физике, химии и остальных науках для указания важности выполнения операции в формулах. На компьютерной клавиатуре представлены все виды знаков препинания.
Разновидности:
Открытие круглых () произошло в 1556 году для подкоренного выражения. По правилу первым выполняется действие внутри знака, затем произведение или определение частного (деление), а в конце — суммирование и разница.
В Microsoft word, Excel включена электронная конфигурация этих знаков. Часто используемые виды скобок, следующие: (), [ ], < >(), [ ], < >. Также встречаются двойные, называемые обратными (]] и [ [) или > в виде уголка. Их использование является двойственным — с открывающейся и замыкающей скобочкой.
Основные цели квадратной скобки в математике:
Другие варианты расчета:
Квадратные скобки в математике обозначают, что действие выполняется последовательно. Эти знаки позволяют разграничить операции.
Треугольные актуальны в теории групп. Правило записи ⟨ a ⟩ n характеризует циклическую группу порядка n, сформированную элементом a.
Круглые (операторные) () используются в математике для описания первостепенности действий. Например, (1 +5)*3 означает, что нужно сначала сложить 1 и 5, а затем полученную величину перемножить на 3. Наряду с квадратными, используются для записи разных компонент векторов, матриц и коэффициентов.
На уроке математики преподаватель объясняет, как раскрыть скобки в уравнении для последующего решения. Фигурная одинарная < встречается при решении систем уравнений, обозначает пересечение данных, а [[ используется при их слиянии.
Одинарные или двойные выражения
Употребление [] происходит реже. Одно уравнение со скобками объединяет несколько значений или неравенств различных размеров. Для решения совокупности нужно выполнить любое условие. Конец, завершение действия замыкает закрывающий знак.
В персональных компьютерах, ноутбуках, нетбуках встроена кодировка Юникод, закрепленная не за левыми или правыми объединяющими знаками, а за открывающими и замыкающими, поэтому при воспроизведении печатного текста со скобочками в режиме «справа налево» каждый знак меняет внешнее направление на обратное.
Квадратные скобки в уравнении означают, что установлен порядок действий, задаются границы промежутков и необходимость выполнения действия над выражением. Двойные квадратные скобки необходимы для записи выражений наряду с круглыми для рационального порядка действий.
По правилам интервал [−a;+a] записывается в виде нестрогого неравенства −a≤x≤a, означающего, что x находится на промежутке от −a до a включительно.
В середине парного знака с отделяющей точкой или запятой указываются два числа — наименьшее, затем большее, ограничивающие интервал. Круглая скобочка, прилегающая к цифре, означает невключение числа в промежуток, а квадратная — добавление.
В некоторых учебных пособиях для вузов встречаются расшифровки числовых интервалов, в которых вместо круглой скобочки (применяется обратная квадратная скобка ], и наоборот. В обозначениях запись ]0, 1[ равносильна (0, 1).
Открытая квадратная скобка (символ [) значит, что совокупность представляет систему уравнений разных размеров, для которых справедливы все множества решений для каждого уравнения, входящего в общее задание. Например, [x+11=2yy2−12=0
Прежде чем решать задачу или выполнять задание, нужно правильно определить принципы действий. В некоторых случаях скобочки могут быть не нужны, а иногда их обязательно нужно поставить.
Прочие знаки
Для математических, алгебраических и прочих расчетов важно знать различие обобщающих знаков. От правильности вычислений зависит итоговый результат.
Удобство записи системы уравнений
Применение фигурных знаков относится к представлению совмещения множеств. При решении системы с фигурной скобкой уравнения пересекаются, а [] объединяет их.