Составить уравнение прямой, проходящей через две точки
Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).
1 способ — составим уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2 способ — составим общее уравнение прямой.
Общее уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0. Подставив координаты точек A и B в уравнение, получаем систему:
Поскольку количество неизвестных больше количества уравнений, система не разрешима. Но можно все переменные выразить через одну. Например, через b.
получим: 5a-10b=0. Отсюда a=2b.
2bx+by-3b=0. Осталось разделить обе части на b:
Общее уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой с угловым коэффициентом:
3 способ — составим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:
Подставим в это уравнение координаты точек A(-3; 9) и B(2;-1)
В школьном курсе чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом. Но самый простой способ — вывести и использовать формулу уравнения прямой, проходящей через две точки.
Если при подстановке координат заданных точек один из знаменателей уравнения
окажется равным нулю, то искомое уравнение получается приравниваем к нулю соответствующего числителя.
Подставляем в уравнение прямой, проходящей через 2 точки, координаты точек C и D:
Составить уравнение прямой, проходящей через точки M (7; 3) и N (7; 11).
Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения
Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости
Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.
Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.
При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.
Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:
Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.
При подстановке получаем, что
Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.
Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве
Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.
Уравнение прямой через координаты двух точек
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти параметрическое и каноническое уравнение прямой проходящей через две точки.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения прямой и закрепить пройденный материал.
Найти уравнение прямой
Выберите необходимую вам размерность:
Введите координаты точек.
Ввод данных в калькулятор для составления уравнения прямой
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора для составления уравнения прямой
Теория. Уравнение прямой.
Прямая – один из базовых элементов геометрии. Используя уравнения прямых можно существенно упростить решение многих задач.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
По введенным пользователем координатам двух точек вывести уравнение прямой, проходящей через эти точки.
Алгоритм решения данной задаче на языке программирования будет таков:
k : = ( y1 – y2 ) / ( x1 – x2 ) ;
b : = y2 – k * x2 ;
Неверно введено число.
Точки должны быть разными.
Уравнение прямой по двум точкам
Введите координаты точек:
Количество знаков после разделителя дроби в числах:
Общее уравнение прямой:
Теория
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1,y1) и (x2,y2), имеет вид:
Т.е. получили общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:
Прямая линия. Уравнение прямой.
Свойства прямой в евклидовой геометрии.
Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются
параллельными (следует из предыдущего).
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия
задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Общее уравнение прямой.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим
уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)
подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На
плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
Дробь 
= k называется угловым коэффициентом прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить 
, то полученное уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание
прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор 
(α1, α2), компоненты которого удовлетворяют условию
Аα1 + Вα2 = 0 называется направляющим вектором прямой.
Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,
коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:
или 
, где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения
прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число 
, которое называется
нормирующем множителем, то получим
Урок 29. Нахождение уравнение прямой по двум точкам
Урок из серии «Геометрические алгоритмы»
Здравствуйте, дорогой читатель!
Сегодня мы начнем изучать алгоритмы, связанные с геометрией. Дело в том, что олимпиадных задач по информатике, связанных с вычислительной геометрией, достаточно много и решение таких задач часто вызывают затруднения.
За несколько уроков мы рассмотрим ряд элементарных подзадач, на которые опирается решение большинства задач вычислительной геометрии.
На этом уроке мы составим программу для нахождения уравнения прямой, проходящей через заданные две точки. Для решения геометрических задач нам понадобятся некоторые знания из вычислительной геометрии. Часть урока мы посвятим знакомству с ними.
Сведения из вычислительной геометрии
Вычислительная геометрия – это раздел информатики, изучающий алгоритмы решения геометрических задач.
Исходными данными для таких задач могут быть множество точек на плоскости, набор отрезков, многоугольник (заданный например, списком своих вершин в порядке движения по часовой стрелке) и т.п.
Результатом может быть либо ответ на какой то вопрос (типа принадлежит ли точка отрезку, пересекаются ли два отрезка, …), либо какой-то геометрический объект (например, наименьший выпуклый многоугольник, соединяющий заданные точки, площадь многоугольника, и т.п.).
Мы будем рассматривать задачи вычислительной геометрии только на плоскости и только в декартовой системе координат.
Векторы и координаты
Чтобы применять методы вычислительной геометрии, необходимо геометрические образы перевести на язык чисел. Будем считать, что на плоскости задана декартова система координат, в которой направление поворота против часовой стрелки называется положительным.
Теперь геометрические объекты получают аналитическое выражение. Так, чтобы задать точку, достаточно указать её координаты: пару чисел (x; y). Отрезок можно задать, указав координаты его концов, прямую можно задать, указав координаты пары ее точек.
Но основным инструментом при решении задач у нас будут векторы. Напомню поэтому некоторые сведения о них.
Отрезок АВ, у которого точку А считают началом (точкой приложения), а точку В – концом, называют вектором АВ и обозначают либо 
, либо жирной строчной буквой, например а.
Для обозначения длины вектора (то есть длины соответствующего отрезка) будем пользоваться символом модуля (например, 
).
Произвольный вектор 
будет иметь координаты, равные разности соответствующих координат его конца и начала:
,
здесь точки A и B имеют координаты 
соответственно.
Для вычислений мы будем использовать понятие ориентированного угла, то есть угла, учитывающего взаимное расположение векторов.
Ориентированный угол между векторами a и b положительный, если поворот от вектора a к вектору b совершается в положительном направлении (против часовой стрелки) и отрицательный – в другом случае. См рис.1а, рис.1б. Говорят также, что пара векторов a и b положительно (отрицательно) ориентирована.
 Рис. 1а |  Рис. 1б |
Таким образом, величина ориентированного угла зависит от порядка перечисления векторов и может принимать значения в интервале 
.
Многие задачи вычислительной геометрии используют понятие векторного (косого или псевдоскалярного) произведений векторов.
Векторным произведением векторов a и b будем называть произведение длин этих векторов на синус угла между ними:
.
Векторное произведение векторов в координатах:
Выражение справа — определитель второго порядка:
В отличии от определения, которое дается в аналитической геометрии, это скаляр.
Знак векторного произведения определяет положение векторов друг относительно друга:
Если величина 
, то пара векторов a и b положительно ориентирована.
Если величина 
, то пара векторов a и b отрицательно ориентирована.
Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны ( 
). Это значит, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Рассмотрим несколько простейших задач, необходимых при решении более сложных.
Уравнение прямой
Определим уравнение прямой по координатам двух точек.
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, заданные своими координатами.
Пусть на прямой заданы две не совпадающие точки: 
с координатами (x1;y1) и 
с координатами (x2; y2). Соответственно вектор с началом в точке 
и концом в точке 
имеет координаты (x2-x1, y2-y1). Если P(x, y) – произвольная точка на нашей прямой, то координаты вектора 
равны (x-x1, y – y1).
С помощью векторного произведения условие коллинеарности векторов 
и 
можно записать так:
, т.е. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0
(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0
Последнее уравнение перепишем следующим образом:
Итак, прямую можно задать уравнением вида (1).
Задача 1. Заданы координаты двух точек. Найти её представление в виде ax + by + c = 0.
На этом уроке мы познакомились с некоторыми сведениями из вычислительной геометрии. Решили задачу по нахождению уравнения линии по координатам двух точек.
На следующем уроке составим программу для нахождения точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями.