Теорема Пифагора
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.
Формула Теоремы Пифагора выглядит так:
где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Из этой формулы можно вывести следующее:
Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:
Теорема Пифагора: доказательство
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.
Пошаговое доказательство:
a 2 + b 2 = c * HB + c * AH
a 2 + b 2 = c * (HB + AH)
Обратная теорема Пифагора: доказательство
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.
Дано: ∆ABC
Доказать: ∠C = 90º
Пошаговое доказательство:
Обратная теорема доказана.
Решение задач
Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?
Как решаем:
Пусть катеты a = 6 и b = 8.
Подставим значения a и b в формулу:
c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10.
Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?
Ответ: треугольник не является прямоугольным.
Пифагора теорема
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Содержание
Формулировки
Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
Обратная теорема Пифагора:
Доказательства
Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений).
Через подобные треугольники
Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.
Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения
Доказательства методом площадей
Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.
Доказательство через равнодополняемость
Что и требовалось доказать.
Доказательства через равносоставленность
Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах.
Доказательство Евклида
Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.
Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника — BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.
Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.
Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, — это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно — AB=AK,AD=AC — равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата — 90°).
Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.
Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.
Доказательство Леонардо да Винчи
Главные элементы доказательства — симметрия и движение.
Доказательство методом бесконечно малых
Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди, жившему в первой половине XX века.
Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a, мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):
Пользуясь методом разделения переменных, находим
Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов
Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем
c 2 = a 2 + b 2 + constant. 
Таким образом, мы приходим к желаемому ответу
Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.
Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет b ). Тогда для константы интегрирования получим
Вариации и обобщения
История
В древнекитайской книге Чу-пей говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.
Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.
Теорема Пифагора.
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение
между сторонами прямоугольного треугольника.
Будет полезно сохранить таблицу Пифагора.
Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.
Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.
Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов,
построенных на катетах.
Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:
Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не
требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и
Обратная теорема Пифагора.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то
Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что
,
существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.
Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.
Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.
Доказательства теоремы Пифагора.
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема
Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие
можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:
доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например,
с помощью дифференциальных уравнений).
1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.
Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся
напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.
Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим
её основание через H.
Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.
,
или , что и требовалось доказать.
2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.
Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они
используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.
Расположим четыре равных прямоугольных
треугольника так, как показано на рисунке
Четырёхугольник со сторонами c – квадратом,
так как сумма двух острых углов 90°, а
развёрнутый угол — 180°.
Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,
площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и
Что и требовалось доказать.
3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.
Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и
записать следующее соотношение для бесконечно
малых приращений сторон с и a (используя подобие
Используя метод разделения переменных, находим:
Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:
Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:
Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:
Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной
пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми
вкладами от приращения разных катетов.
Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения
(в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим:
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (в прямоугольном треугольнике); формула: c² = a² + b².
Доказательство
Доказательство теоремы Пифагора, используя алгебру
Нужно доказать, что c² = a² + b²:
Это квадрат, в котором есть 4 одинаковых треугольника abc:
Что и требовалось доказать.
«Пифагоровы штаны на все стороны равны»
Это шуточная фраза, которая именует ещё одно доказательство теоремы Пифагора
На этой фигуре c — гипотенуза, a и b — катеты.
Проведём перпендикулярную линию к гипотенузе (c):
Таким образом появились два новых прямоугольных треугольника (A и B) внутри большого (исходный треугольник С).
Что и требовалось доказать.
Примеры
Задача 1
На рисунке видно, что длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 3 см, длина другой — 4 см. Найдите длину гипотенузы.
Подставить известные значения
Ответ: длина гипотенузы равна 5.
Задача 2
Длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 12 см, длина гипотенузы 13 см. Найдите длину другой стороны треугольника.
Подставить известные значения
Ответ: длина другой стороны треугольника равна 5.
Следствия из теоремы Пифагора
Это основные следствия теоремы:
Кто придумал теорему Пифагора
Концепция теоремы Пифагора была известна ещё в древнем Египте и Вавилоне (около 1900 г. до н. э.). Связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была изображена на вавилонской глиняной табличке (которой около 4000 лет). Однако это знание стало широко использоваться лишь после того, как сам Пифагор заявил о нём (он жил в 6 веке до н. э.).
Узнайте также, что такое Теорема Виета и Аксиома.
Теорема Пифагора онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника используя теорему Пифагора. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Теорема Пифагора. Доказательство
  |
Доказательство (метод площадей). Пусть задан прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c (Рис.1). Докажем, что \( \small c^2=a^2+b^2. \)
Построим квадрат со стороной a+b из четырех таких прямоугольных треугольников (Рис.2). Тогда внутренний белый четырехугольник будет квадратом со стороной c.
Действительно. В прямоугольных треугольниках (Рис.2) \( \small \angle 1 +\angle 2=90° \) Следовательно, каждый угол квадрата со стороной c равен \( \small \angle 3=180°-(\angle 1 +\angle 2)=180°-90°=90°.\)
Далее, площадь квадрата со стороной a+b равна:
Площадь квадрата со стороной c равна:
Площадь каждого прямоугольного треугольника на рисунке 2 равна:
Площадь квадрата со стороной a+b равна сумме площади квадрата со стороной c и четырех площадей прямоугольных треугольников c катетами a и b:
Подставляя (1)-(3) в (4), получим:
| \( \small (a+b)^2=с^2+4 \cdot \frac12ab, \) |
| \( \small a^2+2ab+b^2=с^2+2ab, \) |
\( \small a^2+b^2=с^2. \) |
 |
Сложив уравнения (5) и (6), получим
Доказательство (Евклид). Пусть задан прямоугольный треугольник ABC с катетами a, b и гипотенузой c (Рис.4). Докажем, что \( \small c^2=a^2+b^2. \)
 |
Достаточно доказать, что площадь квадрата ABFD равна сумме площадей ACLK и BCGJ:
Площадь треугольника ACD по двум сторонам и углу между ними равен:
Учитывая, что \( \small \sin \angle ACH=\sin (90°-\alpha)=\sin \alpha, \) применим теорему синусов для прямоугольного треугольника ACH:
Подставляя (8) в (7), получим:
Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника ABC:
Подставляя (10) в (7), получим:
Учитывая, что \( \small AD=AB, \) получим:
Аналогично можно показать, что
Сложив (13) и (14), получим:
Теорема Пифагора. Примеры и решения
Решение: Для нахождения гипотенузы воспользуемся формулой Пифагора:
Подставляя значения \( \small a \) и \( \small b \) в (15), получим:
 |
Ответ:
Решение: Для нахождения неизвестного катета воспользуемся теоремой Пифагора:
Подставляя значения \( \small a \) и \( \small b \) в (16), получим:
 |
Ответ: