Математический паркет Как домохозяйка совершила научное открытие
Открытый в 2015 году пятиугольный паркет. Изображение: Casey Mann
Современная математика все менее доступна для популярного изложения. Это связано с тенденцией, восходящей еще к программе Николя Бурбаки, предполагающей аксиоматическое изложение на основе теории множеств самой точной из наук и отказ от геометрического описания в пользу алгебраического. Несмотря на экстремальное повышение степени абстракции современной математики, в этой древней науке до сих пор совершаются открытия, понять смысл которых можно сразу. Последнее из них — новый тип пятиугольного паркета: выпуклые пятиугольники, которыми можно замостить плоскость без пробелов и наложений. Эту статью мы включили в число лучших публикаций 2015 года. Другие лучшие материалы можно посмотреть пройдя по этой ссылке.
Поиск и классификация многоугольных паркетов является наглядной и интересной задачей теории замощений современной комбинаторной геометрии. К настоящему времени математикам известно, что любым треугольником и четырехугольником можно замостить плоскость, а также то, что существуют только три типа выпуклых шестиугольников, способных это сделать (многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону).
Выпуклыми фигурами, имеющими более шести сторон, замостить плоскость невозможно. Это же невозможно сделать и при помощи правильных пятиугольников (пентагонов) — выпуклых многоугольников, все пять сторон которых равны друг другу. Таким образом, в настоящее время задача классификации многоугольных паркетов сводится к определению всех типов пятиугольных паркетов. Однако до сих пор математикам не известно точное число типов пятиугольников, способных замостить плоскость.
Первую классификацию пятиугольных паркетов осуществил в 1918 году в своей докторской диссертации аспирант Франкфуртского университета Карл Рейнхард. Он описал пять типов пятиугольных паркетов, а также доказал, что существует всего три типа шестиугольных паркетов. Спустя полвека, в 1968 году, американский математик Ричард Киршнер в журнале The American Mathematical Monthly сообщил об открытии еще трех типов пятиугольных паркетов и утверждал (правда, без доказательств), что вместе с фигурами Рейнхарда он перечислил все выпуклые пятиугольники, которыми можно замостить плоскость.
Исследовательская работа по математике » Геометрические паркеты»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над созданием паркетов – орнаментов трудились многие поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры красоты.
Тема «Паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, украшают стены комнат и зданий Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.
С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.
В моей работе я буду рассматривать геометрические паркеты из многоугольников.
Цель и задачи проектной работы.
1.Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы по теме.
2.Изучить геометрические приёмы составления паркетов.
4.Развитие умений и навыков исследовательской работы.
Выдвинута проблема. Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?
Методы исследования: анализ литературы; систематизация материала; метод аналогии.
1. Историческая справка.
Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I., который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев. В зависимости от употребляемых материалов паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полуцветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.
Паркет в Итальянском зале Паркет начала 18 века
Правда, технология со временем изменяется, детали орнамента и рисунка сегодня вырезаются уже не вручную, а на станках и с применением лазера и компьютера, появилось много машин, облегчающих труд.
2. Геометрические п аркеты.
П аркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.
2.1. Паркеты из правильных одноименных многоугольников.
1.Из каких правильных одноименных многоугольников можно составить паркет?
Предположение: правильные паркеты получатся из квадратов, шестиугольников и треугольников.
В природе и в жизни человека паркеты встречаются часто. Например: шахматная доска и пчелиные соты. Все эти предметы состоят из многоугольников с равными углами и равными сторонами. Пример шахматной доски меня убеждает, что из правильных: четырехугольников тоже можно составить правильный паркет.
На примере пчелиных сот убеждаемся, что паркет можно составить и из правильных шестиугольников. Пчелы бессознательно решают математическую задачу – они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт.
В свою очередь, правильные шестиугольники состоят из правильных треугольников, поэтому паркеты из правильных треугольников тоже существуют
Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?
Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?
Геометрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «налезут» друг на друга).
Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:
Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º
После преобразований получим:
Если n =3, m =6 (6 треугольников в узле).
Если n =4, m =4 (4 четырёхугольника в узле).
Если n =5, m =3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.
Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.
Если n =6, m =3 (шестиугольника)
Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!
Вывод: Наше предположение оказалось верным.
Мы убедились в том, что паркет можно построить из:
На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.
Мастер-класс. на тему «Математический паркет»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Мастер класс внеурочного занятия по теме
«Формирование метапредметных компетенций
во внеурочной деятельности.
Учитель Муллова Т.Б.
В настоящее время в организации внеурочной деятельности особое внимание уделяется на достижении личностных и метапредметных результатов, чему способствует технология педагогических мастерских. В качестве примера можно привести знакомство с одним из видов орнаментов– математическим паркетом. Здесь мы учимся строить с помощью геометрических фигур и компьютера эскизы математического паркета. А также можем проследить связь между художественным и математическим паркетами. Сейчас мы проведем фрагмент внеурочного занятия с использованием технологий педагогических мастерских.
А начать его мне хотелось бы со слов Конфуция
Скажи мне, и я забуду.
Покажи мне, и я запомню.
Дай мне действовать самому,
Учитель Помогите мне вспомнить, а где же мы в жизни встречаемся с паркетом?
( а я считаю, что.. я думаю что к паркетам можно отнести…
Художественный паркет имеет достаточно сложный рисунок, как правило, мозаичный или орнаментальный.
А мы с вами будем создавать математический паркет.
1)Как вы думаете из чего будет состоять наш математический паркет?
( треугольников, четырехугольников, ….) ( Слайд)
А как мы общим словом называем?
А какие многоугольники бывают( выпуклые и невыпуклые).
А еще какие? ( правильные и неправильные).
Назовите формулу для вычисления суммы углов правильного многоугольник
Я предложила Вам найти в Интернете определение математического паркета. Что же Вы нашли?
Определение: математический паркет–это замощение(покрытие )плоскости одинаковыми фигурами, которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства. ( повторить ещё раз) (Слайд)
(Я тоже так считаю, Что нет.
Пчелы не знают математику, но они с успехом решают поставленную задачу. Они покрывают соты воском и используют его как можно меньше.
Кажется, что придумать паркет невероятно сложно.
Я думаю, что у нас с вами хватит таланта и знаний чтобы создать свой математический паркет.
Практическая работа. Разобьемся на пары. Две пары будут работать на месте.
Пока дети работают я скажу несколько слов о технологии педагогических мастерских.
Состав групп может меняться от мастерской к мастерской. Это живой опыт принятия любого партнера, развития толерантности и взаимопомощи.
Обращаемся к детям
Итак, Что же у нас получается? Какие эскизы получились?( Показать)
Учитель. Ребята, всегда ли может получиться паркет?
Учитель. А от чего это зависит?
Учитель. Паркеты можно рисовать.(показать паркеты Мориса Эшера. Он изображал животных, птиц) ( Слайд)
Показать художественный паркет
В. Ребята, Скажите, какие качества характера нужны, чтобы создать такой паркет? (аккуратность, творчество, внимательность, Взаимопомощь, сопережвание за товарища).
Мы познакомились со способом построения математического паркета и увидели, как геометрия служит созданию красоты и удобства..
А такая технология как мастерские наиболее эффективна в развитии метапредметных компетенций учащихся.
Ребятам спасибо за работу. Всем спасибо за внимание
3. Зив Б.Г. Задачи по геометрии.,7-11 классы: пособие для учащихся общеобразовательных организаций, М, Просвещение,2014
4.И.Ф.Шарыгин, Л.Н.Ерганжиева. Наглядгая геометрия.5-6 классы: пособие для общеобразовательных учебных заведений.М, Дрофа 2011
Презентация по математике по теме: » Математический паркет»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
ПРОЕКТ: «Математический паркет» 5 класс «К» Научные руководители: Челышева Елена Станиславовна, Богачёва Надежда Ивановна, Шубина Ирина Игоревна
Введение На уроках математики мы заинтересовались темой «Многоугольники» и решили создать свои математические паркеты из многоугольников.
Актуальность проекта Мы сталкиваемся с паркетами каждый день: полы дома и в школе, тротуарная плитка на дороге, лист школьной тетради, на котором нанесен простейший паркет в клеточку.
Задачи проекта: Узнать как возникли паркеты, мозаики Что означает математический паркет Научиться строить паркеты Где и для чего можно применить созданный паркет
Историческая справка Слово «паркет» имеет французское происхождение.
В России паркетные полы появились во времена Петра I.
Что такое паркет? Понятие паркета в математике – это замощение плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий.
Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников, и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом. Правильный треугольник Квадрат Правильный шестиугольник Предположение: правильные паркеты получатся из квадратов, правильных шестиугольников и правильных треугольников.
Шахматная доска состоит из правильных четырехугольников (квадратов).
Пчелиные соты состоят из правильных шестиугольников.
Правильные шестиугольники состоят из правильных треугольников.
Вывод: Наше предположение оказалось верным. Мы убедились в том, что паркет можно построить из: правильных треугольников; правильных шестиугольников; правильных четырехугольников.
Голландский художник Мауриц Корнелис Эшер родился 17 июня 1898 г. Он создал уникальные и очаровательные работы, в которых использовал широкий круг математических идей.
Самыми необычные паркетные узоры – это паркеты М. Эшера.
Построения мозаик из сложных фигур (рисунков животных, растений)
Ты интересуешься книгами по занимательной математике?
Знаешь ли ты, что такое геометрический паркет?
Встречались ли тебе картины Эшера?
Знаешь ли ты что такое пэчворк?
Заключение Мы подробно изучили паркеты, поняли принципы их построения. Каждый создал свой паркет. А самое главное, получили эстетическое наслаждение от их красоты.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Презентация по математике по теме: » Математический паркет»
2. Исследовательская информация
1) Математические основы паркетов
2) Паркет как элемент дизайна
3) Геометрические фигуры в картинах М.К. Эшера
4) Результаты опроса
3. Технологическая (практическая часть)
Номер материала: ДБ-1305303
Не нашли то, что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Липецкой области начинающие педагоги получат 120 тысяч рублей
Время чтения: 0 минут
Минпросвещения создает цифровую психологическую службу для школьников
Время чтения: 1 минута
В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января
Время чтения: 1 минута
Глава СПЧ предложил ввести подготовительные курсы перед обучением в школе для детей мигрантов
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Презентация. (математический кружок) «Математический паркет»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Математический паркет Андриевский А. Погудина С. 8 “б” класс, школа №43 Приморский район СПб Учитель: Корсукова В.К.
Морис Корнелис Эшер 1898—1972 Нидерландский художник-график. Известен прежде всего литографиями, гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов.
Родился в Голландии в городе Леувардене
В доме, где родился Эшер, сейчас находится музей
Всемирная известность 1951 года Печатался в трёх популярных журналах того времени:
Ящерицы, изображенные голландским художником М. Эшером, образуют, как говорят математики, «п а р к е т». Каждая ящерица плотно прилегает к своим соседям без малейших зазоров, как плашки паркетного пола.
ПИФАГОРЕЙСКАЯ ШКОЛА Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад.
Математический паркет Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек. Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.(3600)
Правильные паркеты Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/n. Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.
Паркеты из неправильных многоугольников Легко покрыть плоскость параллелограммами. Можно замостить плоскость копиями Произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого. Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма Плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами. До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Доказана теорема, утверждающая: «Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника». Существуют паркеты из невыпуклых семиугольников.
Паркеты из одинаковых и правильных многоугольников Формула угла правильного n-угольника
Задача 1. Покажите, как можно составить паркет из равных между собой копий: а) произвольного треугольника, б) произвольного (не обязательно выпуклого) четырехугольника, в) пятиугольника с двумя параллельными сторонами, г) центрально-симметричного (не обязательно выпуклого) шестиугольника.
Решение:а) Из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, а параллелограммами уже легко покрыть плоскость. б) Если задан произвольный четырехугольник, то, повернув его на угол Пи(1800) вокруг середины одной из его сторон, получаем центрально-симметричный шестиугольник, составленный из двух копий заданного четырехугольника. Такими шестиугольниками можно покрыть плоскость (рис. 4). в) Приставляя друг к другу два экземпляра пятиугольника с двумя параллельными сторонами, снова получаем центрально-симметричный шестиугольник, копиями которого можно покрыть плоскость (рис. 5). Рис.4 Рис.5
Спасибо за внимание!
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДВ-108051
Не нашли то, что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор разрешил провести ВПР по некоторым предметам на компьютерах
Время чтения: 0 минут
В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января
Время чтения: 1 минута
Глава СПЧ предложил ввести подготовительные курсы перед обучением в школе для детей мигрантов
Время чтения: 1 минута
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Все школы РФ с 2023 года подключат к государственной информационной системе «Моя школа»
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.