Парабола: формулы, примеры решения задач
Определение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, таких, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Каноническое уравнение параболы имеет вид:
,
где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.
В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:
Фокус параболы имеет координаты 
Директриса параболы определяется уравнением 
.
Расстояние r от любой точки 
параболы до фокуса определяется формулой 
.
Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.
Пример 1. Определить координаты фокуса параболы 
Находим координаты фокуса параболы:
Пример 2. Составить уравнение директрисы параболы 
Получаем уравнение директрисы параболы:
Пример 3. Составить уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2.
Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Зона достижимости для пущенных камней вновь будет параболой. В данном случае речь идёт об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью.
Парабола обладает следующим оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (фигур, получающихся при вращении параболы вокруг оси). Пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в её фокусе.
Парабола:
Определение: Параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки F, называемой фокусом параболы, и прямой (l), называемой директрисой.
Получим каноническое уравнение параболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокус F лежал на оси абсцисс, а директриса проходила бы через точку, расположенную симметрично фокусу, перпендикулярно к оси абсцисс (Рис. 34). Пусть точка M(х; у) принадлежит параболе: Вычислим расстояния от точки M(х; у) до фокуса и директрисы
Рис. 34. Парабола, (уравнение директрисы
.
Возведем обе части уравнения в квадрат
Раскрывая разность квадратов, стоящую в правой части уравнения, получим каноническое уравнение параболы: 
(а также аналогичные ему, см. Рис. 35а и Рис. 356).
Рис. 35а. Параболы и их уравнения.
Рис. 356. Параболы и их уравнения.
Найдем координаты точек пересечения параболы с координатными осями:
Определение: Точка О(0; 0) называется вершиной параболы.
Если точка М(х; у) принадлежит параболе, то ей принадлежат и точка 
следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.
Пример:
Дано уравнение параболы 
Определить координаты фокуса параболы и составить уравнение параболы.
Решение:
Так как из уравнения параболы 
следует, что 
следовательно, 
Таким образом, фокус этой параболы лежит в точке 
а уравнение директрисы имеет вид 
Пример:
Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат, а параметр р равен расстоянию от фокуса гиперболы 
до её асимптоты.
Решение:
Для определения координат фокусов гиперболы преобразуем её уравнение к каноническому виду.
Гипербола: 
Следовательно, каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат имеет вид: 
Пример:
Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 
Написать уравнение директрисы.
Решение:
Для определения координат фокусов эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: 
Следовательно, большая полуось эллипса 
а малая полуось 
Так как 
, то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса 
Итак, 
Так как фокус параболы 
совпадает с одним из фокусов 
или 
эллипса, то параметр р найдем из равенства 
уравнение параболы имеет вид 
Директриса определяется уравнением 
Уравнение параболоида вращения
Пусть вертикальная парабола
расположенная в плоскости Охz, вращается вокруг своей оси (ось Oz). При вращении получается поверхность, носящая название параболоида вращения (рис. 207).
Для вывода уравнения поверхности рассмотрим произвольную точку 
параболоида вращения, и пусть эта точка получена в результате вращения точки N(X, 0, Z) данной параболы вокруг точки С(0, 0, Z).
Так как точки М и N расположены в одной и той же горизонтальной плоскости и CN = СМ как радиусы одной и той же окружности, то имеем
Подставляя формулы (2) в уравнение (1), получим уравнение параболоида вращения
Заметим, что форму параболоида вращения имеет поверхность ртути, находящейся в вертикальном цилиндрическом сосуде, быстро вращающемся вокруг своей оси. Это обстоятельство используют в технике для получения параболических зеркал.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Каноническое уравнение параболы
Вы будете перенаправлены на Автор24
То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.
Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.
Основные термины из канонического уравнения параболы
Вершиной параболы называется точка, расстояние от которой до директрисы минимальное. Эта точка делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.
Что из себя представляет каноническое уравнение параболы
Каноническое уравнение параболы довольно простое, его несложно запомнить и оно имеет следующий вид:
Готовые работы на аналогичную тему
Вывод с помощью графика канонического уравнения для параболы
Рисунок 1. График и вывод канонического уравнения параболы
Из определения, приведённого выше в данной статье, составим уравнение для параболы с верхушкой, расположенной на пересечении координатных осей.
Для произвольной точки M, лежащей на нашей кривой, согласно определению, справедливо следующее соотношение:
Запишем уравнение (1) в координатной форме:
Теперь для того чтобы избавиться от корня необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:
Парабола, описываемая с помощью квадратичной функции
Уравнение, описывающее параболу с верхушкой, расположенной где угодно на графике и необязательно совпадающей с пересечением осей координат, выглядит так:
Пример составления классического уравнения параболы
Как составить уравнение параболы по имеющемуся графику
Рисунок 2. Каноническое уравнение для параболы график и пример для решения
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 03 12 2021
Содержание:
Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения 
, т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.
Возможны два вида задач:
Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.
Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:
Эллипс
Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек 
, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между 
).
Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:
(7.5)
Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку 
координаты которой задаются формулами 
будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением 
Число 
называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет 
характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении 
становится более вытянутым
Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. 
Гипербола
Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек 
есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между 
).
Тогда 
А расстояние 
Подставив в формулу r=d, будем иметь
. Возведя обе части равенства в квадрат, получим
или
(9.4.1)
Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения 
также определяют параболы.
Легко показать, что уравнение 
, определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а 
О. Для этого выделим полный квадрат:
и сделаем параллельный перенос по формулам
Пример:
Кривые второго порядка на плоскости
Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:
где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю 
Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.
Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.
Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению
которое называют каноническим уравнением эллипса.
Число а называют большей полуосью эллипса, число 
— мень-
Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.
В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид 
и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.
Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:
Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы 
и характеризует форму эллипса. Для окружности 
Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.
Пример:
Показать, что уравнение
является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.
Решение:
Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:
— каноническое уравнение эллипса с центром в точке 
большей полуосью а=3 и меньшей полуосью 
Найдем эксцентриситет эллипса:
Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке 
а оси 
параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е. 
В новой системе координат координаты 
вершин и фокусов гиперболы будут следующими:
Переходя к старым координатам, получим:
Построим график эллипса.
Задача решена.
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.
Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.
Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.
Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.
Что такое парабола и как она выглядит
Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.
Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:
Каноническое уравнение параболы
На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.
Каноническое уравнение имеет вид:
где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).
В алгебре оно запишется иначе:
y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2 ).
Свойства и график квадратичной функции
Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.
Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.
Как определить, куда направлены ветви параболы
Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.
Как найти вершину параболы по формуле
Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.
Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.
Формулы нахождения вершины:
Пример.
Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.
Смещение параболы
Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).
Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.
Пример.
Как строить параболу по квадратному уравнению
Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.
Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:
Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:
Для этого нужно приравнять выражение к нулю.
Наличие корней параболы зависит от результата:
Получаем алгоритм построения параболы:
Пример 1.
По полученным точкам можно построить параболу.
Пример 2.
По полученным точкам можно построить параболу.
Директриса, эксцентриситет, фокус параболы
Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).
Эксцентриситет (константа) = 1.
Заключение
Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.