Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок
Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.
Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.
Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.
Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.
Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.
То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:
Как обозначить прямую
Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.
Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.
Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс
Решение задачи
Опишем взаимное расположение точек и прямой.
Как обозначается пересечение прямых
Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).
Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.
Взаимное расположение прямой и точек
Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.
Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.
Сколько общих точек имеют две прямые
Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.
Первый случай расположения прямых
На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.
Второй случай расположения прямых
Третий случай расположения прямых
Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс
Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
Решение задачи
Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.
Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.
Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.
Ответ: точек пересечения получается одна или три.
Что такое отрезок
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.
В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.
Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2
Вступление
Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.
Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.
Задача №1
Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.
Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P1(x1, y1), P2(x2, y2). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P1P2 и P1M и по его знаку сделать вывод.
Задача №2
Определить принадлежит ли точка лучу.
Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P1(x1, y1) — начало луча, а P2(x2, y2) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.
Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P1(x1, y1), где P2(x2, y2) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P1P2, P1M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)
Задача №3
Определить принадлежит ли точка отрезку.
Решение
Пусть точки P1(x1, y1), P2(x2, y2) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P1, P2. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P1 и P2, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP1, MP2). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.
Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP1,MP2) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P1 и P2)
Задача №4
Взаимное расположение двух точек относительно прямой.
Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.
Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.
Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] ≤ 0.
Задача №5
Определить пересекаются ли две прямые.
Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a1b2 — a2b1 = 0.
Если же прямые заданы точками P1(x1, y1), P2(x2, y2), M1(x3, y3), M2(x4, y4), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P1P2 и M1M2: если оно равно нулю, то прямые параллельны.
В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b1, a1), (-b2, a2) которые называются направляющими векторами.
Задача №6
Определить пересекаются ли два отрезка.
Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:
Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P1P2, P1M2] > 0, [P1P2, P1M1] [P1P2, P1M2] * [P1P2, P1M1] 2 + b 2 ).
Задача №8
Расстояние от точки до луча.
Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.
В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.
Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 находится между точками O1 и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d2. Использование отрицательного значения d2 приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.
Заключение
Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.
Урок 32. Пересекаются ли два отрезка?
Урок из серии «Геометрические алгоритмы»
Здравствуйте, дорогой читатель. Напишем еще три новые функции.
Функция LinesCross() будет определять, пересекаются ли два отрезка. В ней взаимное расположение отрезков определяется с помощью векторных произведений. Для вычисления векторных произведений напишем функцию — VektorMulti().
Функция RealLess() будет использоваться для реализации операции сравнения «
Задача1. Два отрезка заданы своими координатами. Составить программу, которая определяет, пересекаются ли эти отрезки, не находя точку пересечения.
Решение
Пусть даны два отрезка. Первый задан точками 
. Второй задан точками 
.
Взаимное расположение отрезков можно проверить с помощью векторных произведений:
Рассмотрим отрезок 
и точки 
и 
.
Точка 
лежит слева от прямой 
, для нее векторное произведение 
> 0, так как векторы положительно ориентированы.
Точка расположена справа от прямой, для нее векторное произведение 
и 
, лежали по разные стороны от прямой 
, достаточно, чтобы выполнялось условие 
Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка 
и точек 
и 
.
Итак, если 
, то отрезки пересекаются.
Для проверки этого условия используется функцию LinesCross(), а для вычисления векторных произведений – функция VektorMulti().
Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле:
ax, ay — координаты первого вектора,
bx, by — координаты второго вектора.
Результаты выполнения программы:
Мы написали программу, определяющую, пересекаются ли отрезки, заданные своими координатами.
На следующем уроке мы составим алгоритм, с помощью которого можно будет определить, лежит ли точка внутри треугольника.
Уважаемый читатель. Вы уже познакомились с несколькими уроками из серии «Геометрические алгоритмы». Все ли доступно написано? Я буду Вам очень признательна, если Вы оставите отзыв об этих уроках. Возможно, что-то нужно еще доработать.
Нахождение точки пересечения двух прямых (и отрезков)
Введение
Довольно часто при разработке игр возникает необходимость находить точку пересечения прямых, отрезков, лучей и т.д. О том, как реализовать это максимально простым способом, в этой статье.
Популярные способы и их критика
Возможно, многие вспомнят способ из школьной алгебры — составить уравнения двух прямых, приравнять их правые части, найти x, и подставить его в уравнение прямой, чтобы найти y (Подробнее здесь).
Однако данный способ становится достаточно громоздким при написании кода (возможно поэтому вы сейчас читаете эту статью), к тому же, он не является универсальным: если одна из прямых параллельна оси Y, мы получим ошибку деления на ноль при вычислении углового коэффициента, и нам придётся прописать код на этот случай; если две прямые перпендикулярны осям, требуется повозиться с обработкой и этого случая. Такой код становится длинным и некрасивым.
В поисках более элегантного решения данной проблемы я наткнулся на весьма интересные способы, основанные на векторном умножении ( habr.com/ru/post/267037 ) и ray castinging’е ( ru.wikipedia.org/wiki/Ray_casting#Концепция ). Но на мой взгляд, они неоправданно сложные в вычислительном плане. Поэтому представляю вашему вниманию (и критике) мой способ.
Мой способ
Задача
Даны координаты двух отрезков. Нужно узнать, пересекаются ли отрезки, и если да, в какой точке. Для этой цели напишем функцию.
Решение
Условные обозначения для исключения недопониманий: a — вектор a, a(y) — проекция вектора a на ось Y, a
Представим наши отрезки в виде двух векторов: a
a(x)*k+b(x)*n=c(x)
a(y)*k+b(y)*n=c(y)
Наша задача сводится к нахождению этих коэффициентов (правда сказать, достаточно найти лишь один из них).
Внимательный читатель заметит, что при a(y)=0, мы получим ошибку. Пропишем ветвление на этапе нахождения a(y). Этот случай ещё проще, ведь мы сразу получаем уравнение с одной неизвестной.
Рекомендую попробовать вывести n самостоятельно, так будет понятнее, что откуда берётся в коде ниже.
Зная n, можно найти точку пересечения, для этого мы отнимем от координаты точки (x3,y3) вектор b*n
Собираем воедино
Данная функция принимает координаты вершин и возвращает значение 1, если прямые отрезков (именно прямые) пересекаются, иначе 0. Если же вам нужны координаты вершин, вы сможете взять их из массива dot[].
Важно: при введении двух совпадающих прямых, алгоритм выводит отсутствие пересечения. Алгоритм находит точку пересечения прямых, на которых лежат отрезки, поэтому точка может оказаться за пределами отрезка (что вам придётся дополнительно проверить в уже своём коде).
Программирование на C, C# и Java
Уроки программирования, алгоритмы, статьи, исходники, примеры программ и полезные советы
ОСТОРОЖНО МОШЕННИКИ! В последнее время в социальных сетях участились случаи предложения помощи в написании программ от лиц, прикрывающихся сайтом vscode.ru. Мы никогда не пишем первыми и не размещаем никакие материалы в посторонних группах ВК. Для связи с нами используйте исключительно эти контакты: vscoderu@yandex.ru, https://vk.com/vscode
Найти точку пересечения отрезков
В статье покажем, как найти точку пересечения отрезков. Это совсем не тривиальная задача, хотя на первый взгляд она кажется именно такой. Поиск пересечения двух отрезков имеет множество полезных приложений. Например, с помощью него можно определить пересекаются ли фигуры на плоскости или нет.
Начальные условия
На протяжении всей статьи мы будем писать метод, который ищет пересечение двух отрезков на плоскости и даёт ответ: пересекаются они или нет.
Входными параметрами метода являются 4 точки – точки начала и конца двух отрезков.
Точка – это экземпляр класса Point. Она имеет два параметра: значение абсциссы (x) и значение ординаты (y). Класс Point:
Поиск пересечения двух отрезков
Метод, который будет искать пересечение двух отрезков, назовём: checkIntersectionOfTwoLineSegments. Он возвращает true, если отрезки пересекаются и false в противном случае.
Его аргументы – это четыре точки. p1 и p2 – начало и конец первого отрезка, а p3 и p4 – соответственно начало и конец второго отрезка.
Мы подразумеваем, что начальная точка находится левее конечной относительно оси абсцисс (оси X). Также возможен вариант, когда точки имеют одинаковую абсциссу, то есть отрезок является вертикальным.
В общем случае должно выполняться условие: p1.x
После того, как точки отрезков расставлены по порядку, мы можем сразу проверить наличие потенциального интервала, на котором отрезки могут пересекаться.
Если конец первого отрезка находится левее начала правого отрезка (по оси X), то отрезки точно не имеют точки пересечения.
Потенциальный интервал пересечения имеется. Идём далее.
Оба отрезка вертикальные (частный случай)
Мы отдельно от общего решения будем рассматривать вертикальные отрезки, поскольку тангенс 90 градусов не определён, и, тем самым, мы в общем решении избежим деления на ноль.
Сначала обсудим такой частный случай, когда оба отрезка являются вертикальными.
Непересекающиеся (слева) и пересекающиеся (справа) вертикальные отрезки
Отрезок вертикальный, тогда и только тогда, когда абсциссы его обеих точек равны.
В случае проверки условия вертикальности обоих отрезков, выражение (p1.x – p2.x == 0) && (p3.x – p4.x == 0) должно быть истинным.
Два отрезка будут иметь точку пересечения в том случае, когда их абсцисса одинакова (для этого достаточно условия p1.x == p3.x) и они имеют общую часть по оси ординат (общий Y); в противном случае делаем вывод, что они не пересекаются.
Составить условие для проверки существования общего Y мысленно довольно сложно. Поэтому мы поступим проще: составим условие для проверки того, что отрезки не имеют общего Y и возьмём от него отрицание.
Напишем код на Java для всего вышесказанного: